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LOI BINOMIALE Schéma de Bernoulli Loi de probabilité
équivalent à celle de Bernoulli, mais répétée n fois. Dit-autrement: répétition
du lancer de pièces ou du lancer de dés, par exemple. Nous allons devoir compter,
ou plus exactement dénombrer, et faire apparaitre un outil souvent présent
dans ce genre de cas: les coefficients du
binôme. D'où le nom de loi binomiale. |
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Schéma de Bernoulli |
Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. |
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Loi binomiale B(n; p) |
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L'expérience (ou schéma de
Bernoulli) Trois
lancers de dés de suite (ou un lancer de trois dés). La
variable aléatoire X donne la quantité de fois où on obtient 6. On commence
par dessiner l'arbre des possibilités: en bleu succès avec probabilité de
1/6; et en rouge échec avec probabilité de 5/6. On compte
à destination la quantité de succès et d'échecs sur le chemin. Le chemin du
haut compte trois succès. La probabilité est égale à: (1/3) x (1/3) x (1/3) =
(1/3)3 |
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Loi de probabilité
Évidemment, la somme des probabilités vaut 1. Note: Les
coefficients appliqués aux probabilités sont 1 3 3 1. Ce sont les mêmes que
ceux du développement
du cube (a+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2
+ b3 . Ce sont les coefficients du binôme ou coefficients
binomiaux.. |
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Espérance |
Remarquez que pour B(3; 1/6), on a E = 3 x 1/6 =
1/2 |
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Variance |
Remarquez que pour B(3; 1/6), on a E = ½ et V =
1/2 (1-1/6) = 5/12 = 0,4166… |
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Exemple
du lancer de pièces: B(4; 0,6) |
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L'expérience (ou schéma de
Bernoulli) Quatre
lancers de pièces de suite (ou un lancer de quatre pièces). La pièce est plombée et la probabilité de
tombe sur pile est égale à p = 0,6; alors q = 1 – p = 0,4 La
variable aléatoire X donne la quantité de fois où on obtient pile. |
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Loi de probabilité
Note: Sous cette
forme générique en p et q, on reconnait bien le développement du cube de (p +
q). 1 3 3 1
=> 1 4(=1+3)
6(=3+3) 4(=3+1) 1 |
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Espérance |
Remarquez que pour B(4; 0,6), on a E = 4 x 0,6 =
2,4 |
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Variance |
Remarquez que pour B(4; 0,6) on a E = 2,4 et V =
2,4 (1 – 0,6) = 5/12 = 0,96… |
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Expression
de la loi binomiale: B(n; p) |
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Probabilité Variable
aléatoire qui prend les n+1 valeurs {0, 1, .., n} avec la probabilité:
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Exemples B(8; 0,7):
Calcul des coefficients
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Espérance et variance
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Exemples B(8; 0,7):
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Voir Calcul des
coefficients du binôme
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Concours
de balltrap: B(10; 0,7) |
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Tireur
qui atteint sa cible avec une probabilité de 0,7. Avec 10
essais, quelle est la probabilité d'atteindre exactement 5 fois la cible. |
Pour une espérance de
qui indique que le tireur peut espérer réussir 7 coups sur 10 tirs (ce
qui semble logique compte tenu de la valeur de la probabilité. |
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Plus de
cinq fois la cible: Somme des
cas 6, 7, 8, 9 et10. |
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Combien de
tirs (n) pour atteindre la cible au moins une fois avec une probabilité de
0,9. Il est
plus facile calculer la probabilité de l'événement contraire: il n'atteint
jamais sa cible: P(X=0). |
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