jeu de dés, probabilité de gain

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 25/10/2010

-Ý- RUBRIQUE: PROBABILITÉS
§ Probabilités	§ Famille	§ Pile ou Face
§ Moyenne & Médiane	§ Anniversaire	§ Probabilités et Dés
§ Grands nombres	§ Coïncidences	§ Historique
Sommaire de cette page >>> JEUX de DÉS >>> PAIRE de DÉS >>> DEUX DÉS de Cardano >>> LOTERIE des TROIS DÉS >>> SIX DÉS		Pages voisines § Dénombrement et ses applications § Jeux de hasard (loto, tiercé …) § Jeux § Trois pièces § Pentominos § Échecs

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6x7/2 : cumul des points sur un dé.

42 = 2 x 21: cumul des points sur deux dés.

Dés

7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4

§ La somme des points sur les faces opposées d'un dé est toujours 7

§ La probabilité de sortir une somme 7 en lançant deux dés est de 1/6

Ø Probabilité de 1/12 pour la somme 4 et de 1/36 pour 2

-Ý- 0,0277 Probabilité PAIRE de DÉS

1/36 = 0,02777...

Quelle est la probabilité d'obtenir deux as (ou la somme 2)

en lançant une paire de dés?

Cas possibles (table d'addition)

Raisonnement direct

Nombre de cas favorables	1
Nombre total de cas	6 x 6 = 36
Probabilité	1/36 = 0, 027777...

Autre raisonnement

Probabilité d'avoir un as

avec un dé

1/6

Probabilité avec l'autre

1/6

Probabilité combinée

1/6 x 1/6 = 1/36

Probabilité pour obtenir un total T avec une paire de dés

T	Combinaisons	p(T)	en décimal
2	1+1	1/36	0,0277
3	1+2, 2+1	2/36	0,0555
4	1+3, 2+2, 3+1	3/36	0,0833
5	1+4, 2+3, 3+2, 4+1	4/36	0,1111
6	1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1	5/36	0,1388
7	1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1	6/36	0,1666
8	2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2	5/36	0,1388
9	3+6, 4+5, 5+4, 6+3	4/36	0,1111
10	4+6, 5+5, 6+4	3/36	0,0833
11	6+5, 5+6	2/36	0,0555
12	6+6	1/36	0,0277

Avec 2 dés, c'est le total 7

qui est le plus fréquent

Probabilité = 1 /6

Gaussienne

§ Imaginez la courbe passant par les sommets des piles de dés ou dominos

§ La courbe donnant le nombre de cas selon la valeur de la somme est une courbe gaussienne, fondamentale dans la théorie des probabilités

Attention

§ Avec une paire de dés, on reproduit les dominos , mais certaines pièces sont doublées (en jaune)

§ et, surtout, ici, il manque le 0 (en bleu)

§ Les totaux sont 36 pour le double-dé et 28 pour les dominos

Illustration et dénombrement dans les deux cas

Dés														Dominos
1								16
3							15	25	26
5						14	24	34	35	36
7					13	23	33	43	44	45	46			3
9				12	22	32	42	52	53	54	55	56		7
11			11	21	31	41	51	61	62	63	64	65	66	11
	00	01	02	03	03	05	06							7
36	Totaux													28

-Ý- Les DÉS de CARDANO

Les dés de Cardano

§ Ce mathématicien a écrit " le livre des jeux de la chance ".

§ Voici le genre de questions qu'il y développe:

ü Avec deux dés, quelle est la chance d'obtenir au moins un 4, un 5 ou un 6?

ü Avec les deux mêmes dés lancés trois fois, quelle la probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 à chaque fois?

ü Avec trois dès, quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6?

Le calcul des solutions est parfois déroutant

§ Il faut passer par le calcul de la probabilité

"que l'événement ne se produise pas"

§ pour arriver à celle que l'événement se produise.

Un graphique

§ montre plus simplement la solution.

§ Il illustre aussi le fait que l'événement se produit en plusieurs occasions.

§ Alors que l'événement contraire

§ ne se produit que dans certaines circonstances uniques

Quelques exemples

2 dés

4 , 5 ou 6

	*Dé 2*
*Dé 1*	1	2	3	4	5	6
1				X	X	X
2				X	X	X
3				X	X	X
4	X	X	X	X	X	X
5	X	X	X	X	X	X
6	X	X	X	X	X	X

§ Probabilité que l'on obtienne un 4, un 5 ou un 6 avec un dé	1/2
§ Probabilité que l'on n'obtienne pas ces valeurs avec le même dé	1/2
§ Même probabilité avec le deuxième dé	1/2
§ Probabilité de ne pas avoir ni 4, ni 5, ni 6 avec les deux dès	1/2 x 1/2 = 1/4
§ Probabilité d'avoir 4, 5 ou 6 avec les deux dès	1- 1/4 = 3/4

2 dés

3 fois

4 , 5 ou 6 à chaque fois

§ Probabilité que l'on obtienne un 4, un 5 ou un 6 avec l'un des dés	3/4
§ Idem avec le deuxième	3/4
§ Itou avec le 3^ème	3/4
§ Chaque lancé est indépendant de l'autre § La probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 à chaque fois est donc:	3/4 x 3/4 x 3/4 = 27/64

3 dés

obtenir au moins un 6

§ Ne pas avoir un 6 avec un dé	5/6
§ Ne pas avoir un seul 6 avec trois dés	5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216
§ Au moins un six avec les trois dés	1 - 125/216 = 91/216 = 42%

Illustration

§ Le dessin illustre le problème et donne une autre méthode de dénombrement

§ Chaque direction du cube représente les possibilités sur un dé

Il existe
trois tranches:

Total:

3 x 5 x 5 = 75

3 x 5 = 15

1 = 1

Le total des cubes étant:

6 x 6 x 6 =

216

Voir Calcul direct par technique de dénombrement

-Ý- LOTERIE des TROIS DÉS

Loterie aux dés

7,8% =	ü pourcentage de gain du casino avec trois dés
42% =	ü probabilité de gain d'un joueur

Voyons cela …

Dés en cage

§ Loterie aux dés sur les champs de foire: trois dés dans une cage d'écureuil et une manivelle pour les brasser.

§ Chaque joueur choisit un des numéros.

§ Chacun des trois dés désignera un gagnant.

§ Il y aura donc, en première approximation, trois gagnants et trois perdants, sauf si se présentent des doublets ou des triplets.

§ Si 6 joueurs misent 10F => 60F.

§ Trois perdants et, trois gagnants à 20F => 60 F.

§ Bénéfice du camelot = 60 - 60 = 0 F

§ C'est sur la présence des doublets et des triplets que le camelot gagne sa vie.

Base du jeu

Soit 3 dés

Mise 10 F

6 joueurs

Gain

20F pour un numéro simple trouvé

30F pour un doublet

40F pour un triplet

Calcul

§ Calculons sur l'ensemble des 6 x 6 x 6 = 216 cas possibles.

§ Il y a 210 simples (numéros différents), 90 doublets et 6 triplets.

§ Mises: 216 x 10 x 6 = 12 690 F

§ Gain à payer aux joueurs gagnants

§ Il y a 3 gagnants si simple, 1+1 si doublet, 1 seul si triplet

Bilan

	Simple	Doublet	Triplet	Total
	20	30	40
*120 simples*	120 x 3 x 20			7 200
*90 doublets*	90 x 1 x 20	90 x 1 x 30		4 500
*6 triplets*			6 x 1 x 40	240