NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 17/05/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Maths et hasard

 

Débutants

Statistiques

PROBABILITÉS

& Statistiques

 

Glossaire

Probabilités

 

 

INDEX

 

Statistiques

 

Grands nombres

 

Dénombrement

Probabilités

Famille

Pile ou Face

Coïncidences

Anniversaire

Probabilités et Dés

Trois dés et une urne

 

Sommaire de cette page

>>> Paire de dés

>>> Total T avec deux dés

>>> Deux  dés de Cardano

>>> Loterie des trois dés

 

 

 

PROBABILITÉS et jeu de DÉS

 

Le lancer de dés est propice à des questions de probabilité.

*      Quelles sont les possibilités avec deux dés? Une bonne introduction aux probabilités.

*      Plus délicat: possibilités avec trois dés? Le problème de Galilée.

*      Un problème célèbre résolu par Pascal sur la fréquence du double-six.

*      Calcul des possibilités de jets avec un ou plusieurs dés.

 

Deux types de problèmes aux dés: obtenir une configuration particulière (Ex: un double-six) ou obtenir une somme de points données (Ex: faire 10 avec trois dés).

 

 

 

 

PAIRE de DÉS

 

*    Quelle est la probabilité d'obtenir deux as (ou la somme 2) en lançant une paire de dés?

Réponse: 1/36 = 0,02777...

 

Tabulation des cas possibles:
En jaune, les possibilités pour chaque dé et en bleu la somme des points des deux dés.

*    Un seul cas sur 36 possibles pour avoir la somme 2.

*    Par contre la somme 3 est atteinte deux fois: sa probabilité est 2/36.

*    Notez que la somme 7 (en bleu) est la plus fréquente. Probabilité: 6/36 = 1/6.

 

Calcul direct pour S = 2       Autre raisonnement

Nombre de cas favorables:  1

Nombre total de cas:            36

Probabilité:                          1/36

Probabilité d'avoir un as avec un dé : 1/6

Probabilité d'avoir un as avec l'autre dé : 1/6

Probabilité combinée: 1/6 x 1/6 = 1/36

Voir Problème de De Méré / Pascal / Choix de la méthode de calcul

 

 

 

 

Probabilité du total T avec une paire de dés

 

 

*    Avec 2 dés, c'est le total 7 qui est le plus fréquent. Probabilité = 1 /6.

 

Autre représentation

 

Comparaison avec les dominos

*    Avec une paire de dés, on reproduit les dominos, mais certaines pièces sont doublées (en jaune) et, surtout, ici, il manque le 0 (en bleu)

*    Les totaux sont 36 pour le double-dé et 28 pour les dominos.

 

Voir Somme avec trois dés

 

 

Somme paire ou impaire?

Avec un dé, il est évident qu'il y a autant de nombres pairs que de nombres impairs.

 

Avec deux dés, le tableau montre qu'il y a 18 sommes paires et 18 sommes impaires.

 

Avec n dés, c'est la même chose: autant de sommes paires que de sommes impaires.

Voir Table d'additions

 

 

 Les  DÉS de CARDANO

 

*    Ce mathématicien, Jérôme Cardan (1501-1576), a écrit " le livre des jeux de la chance ". Voici le genre de questions qu'il y développe:

*           Avec deux dés, quelle est la chance d'obtenir au moins un 4, un 5 ou un 6?

*           Avec les deux mêmes dés lancers trois fois, quelle la probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 à chaque fois?

*           Avec trois dès, quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6?

*           Etc.


 Le calcul des solutions est parfois déroutant

 

*    Il faut parfois passer par le calcul de la probabilité que "l'événement ne se produise pas" pour arriver à celle que "l'événement se produise".

 

*    Il est aussi fréquent qu'un graphique montre plus facilement la solution. On y remarque que l'événement peut se produit en plusieurs occasions. Alors que l'événement contraire ne se produit que dans certaines circonstances uniques.

 

*    Quelques exemples vont illustrer ce propos.

 

 

 

Deux dés / 1 fois  / tirage de 4 ou 5 ou 6

 

Illustration


 

Calcul

 

*    Probabilité que l'on obtienne un 4, un 5 ou un 6 avec un dé:

3/6 = 1/2

*    Probabilité que l'on n'obtienne pas ces valeurs avec le même dé:

3/6 = 1/2

*    Même probabilité avec le deuxième dé:

1/2

*    Probabilité de ne pas avoir ni 4, ni 5, ni 6 avec les deux dès:

1/2 x 1/2 = 1/4

*    Probabilité d'avoir 4, 5 ou 6 avec un lancer de deux dès:

1 – 1/4 = 3/4

 

 

Deux dés / 3 fois / tirage de 4 ou 5 ou 6

*    Probabilité que l'on obtienne un 4, un 5 ou un 6 avec l'un des lancer (cf. ci-dessus):

3/4

*    Idem avec le deuxième lancer:

3/4

*    Itou avec le 3ème lancer.

3/4

*    Chaque lancer est indépendant des autres. La probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 à chaque fois est donc:

3/4 x 3/4 x 3/4 = 27/64

Parc contre:

*    Probabilité d'avoir 4, 5 o u 6 avec un seul dé, donc une fois sur 6:

(1/2) / 6 = 1/12

*    Avec trois lancers, tout se passe comme si nous avions six dés sur la table. Les résultats sont exclusifs entre eux. Les probabilités s'ajoutent six fois.

6 x 1/12 = 1/2

 

Trois dés / 1 fois / Au moins un 6

*     Ne pas avoir un 6 avec un dé

5/6

*    Ne pas avoir un seul  6 avec trois dés

5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216

*    Au moins un six avec les trois dés

1 - 125/216 = 91/216 = 42%

 

 

*    Ce dessin illustre le problème et donne une autre méthode de dénombrement. Chaque direction du cube représente les possibilités sur un dé.

 

 

*    Dénombrement des cas où le 6 apparaît:

*      3 x (5 x 5) – jaune

*      3 x (5) – marron

*      1 x (1) – bleu
 

Total: 91

 

*    Soit 91 cas sur un total de 216

Voir Calcul direct par technique de dénombrement

 

 

La LOTERIE des TROIS DÉS

 

*      7,8% = pourcentage de gain du casino avec trois dés.

42%    = probabilité de gain d'un joueur.

 

*    Voyons cela …

 

Dés en cage

*    Loterie aux dés sur les champs de foire:

*      Trois dés dans une cage d'écureuil et une manivelle pour les brasser.

*      Six joueurs choisissent chacun l'un des six numéros.

*      Les trois dés désigneront trois gagnants et trois perdants.
Par exemple: tirage 123, alors le joueur qui a sélectionné le 1 gagne; même chose pour celui qui a choisit le 2, idem pour le 3.

*      Le cas de doublets ou de triplets permet à certains joueurs de remporter un plus grand gain.

 

Base du jeu

*      Trois dés / 6 joueurs / Mise de chacun 10 €;

*      Gain: 20 € pour un numéro simple trouvé;

*                30 € pour un doublet;

*                40 € pour un triplet.

Remarque

*      Mises des joueurs: 6 x 10 € = 60 €.

*      Trois gagnants simples: 3 x 20 € = 60 €.

*      Bénéfice du camelot = 60 - 60 = 0 €

*      En fait, c'est sur la présence des doublets et des triplets que le camelot gagne sa vie.

 

Calcul

 

*    Pour tenir compte d'une moyenne sur un grand nombre de coups, calculons sur l'ensemble des 6 x 6 x 6 = 216 cas possibles.

*    Il y a:

*      120 singletons (numéros tous différents),

*        90 doublets et

*          6 triplets.

 

*    Mises: 216 x 10 x 6 = 12 960 F.

*    Gain à payer aux joueurs gagnants:

*      singleton: 3 gagnants;

*      doublet 1gagnant + 1 gagnant singleton;

*      triplet, un seul gagnant.

 

Bilan

 

 

Simple

Doublet

Triplet

Total

 Gain

20

30

40

 

Simples

120 x 3 x 20

 

 

7 200

Doublets

90 x 1 x 20

90 x 1 x 30

 

4 500

Triplets

 

 

6 x 1 x 40

240

Total gains

11 940

 

*    Bénéfice du camelot: 12 960 – 11 940 = 1 020

*    Ratio: 1020 / 12 960 = 0, 0787… = 7,87…%

 

 

*    Un joueur perd en moyenne 0,79 € chaque fois qu'il joue 10 €.

*    Un numéro sort 91 fois sur 216. La probabilité qu'un joueur gagne 10 € sur chaque pari est: 91 / 216 = 0,42 soit nettement inférieure à 50%.

 

 

 

 

 

Suite

*    36 et dés

*    421

*    Courbe en cloche (loi normale)

*    Dénombrement avec des dés

*    Jeux de dés

*    Paire de dés

*    Probabilités Junior Diaporama

*    Probabilité de sortie du prisonnier

*    Six dés

*    Statistiques et probabilitésIndex

Voir

*    Dénombrement et ses applications

*    Échecs

*    JeuxIndex

*    Jeux de hasard (loto, tiercé …)

*    Pentominos

*    Prisonnier et sa probabilité de liberté

*    Trois pièces

Livre

*    La conjecture de Fermat – Jean d'Aillon – JC Lattès – 2006

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Probabil/DesProba.htm