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Probabilités

 

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Lois de probabilités

 

Glossaire

Probabilités

 

 

INDEX

 

Combinatoire

 

Probabilités

 

Introduction

Loi de Poisson

Table Poisson

Loi de Bernoulli

Loi Binomiale

 

Sommaire de cette page

>>> Loi de Poisson

>>> Exemple

>>> Évolution selon lambda

>>> Applications

>>> Propriétés

>>> Anglais

 

 

 

LOI de POISSON

 

Loi qui caractérise les événements rares, comme une série de faits improbables, ou une supposée loi des séries. Par exemple, une suite de crashes d'avions ou de catastrophes ferroviaires (quatre en juillet 2013).

 

La loi de Poisson décrit la probabilité qu'un événement se produise durant un intervalle de temps donné, alors

*      que la probabilité de réalisation d'un événement est très faible, et

*      que le nombre d'essais est très grand.

Voir différences entre: Loi, Distribution, Processus

 

 

 

Processus et loi de Poisson

 

*    On s'intéresse à un grand nombre d'événements indépendants. Événements qui surviennent au hasard. On observe qu'ils se produisent  fois en moyenne durant un intervalle de temps donné. La loi de Poisson indique la probabilité que l'événement se produise seulement k fois exactement durant cette période.

Illustration du processus de Poisson

 

 

*    Formulation avec la variable aléatoire (X).
X prend la valeur positive k, entier naturel, avec la probabilité:

 


La probabilité qu'un événement se produire k fois exactement dans une période de temps sachant qu'il s'est déjà produit lambda fois en moyenne est égal à lambda à la puissance k multiplié par exponentielle de moins lambda, divisé par la factorielle de k.

 

 

 

Exemple

 

*    Sur ce trajet ferroviaire, nous avons constaté deux incidents par an.

Quelle est la probabilité qu'il y en ait exactement dix en dix ans?

Quelle est la probabilité qu'il y en ait dix ou moins en dix ans?

*    La quantité moyenne en dix ans (notre période de temps) se note lambda.

2 par an, soit 2 x 10 = 20 en 10 ans

 = 2 x 10 = 20

*    Pour 10 incidents, le calcul (sophistiqué!) de Poisson donne:

*    Expression que l'on calcule sur une calculette.

P(10; 20) = 0,0058 = 0,58%

*    Détail du calcul

2010 = 10 240 000 000 000

e-20   = 2,061153622 10-9

10!   = 3 628 800

*    Pour 0 à 10 incidents, le calcul est à exécuter pour toutes les valeurs de 0 à 10.

*    La probabilité cherchée étant la somme. Ici: 1%.

 

*    Hélas, la probabilité d'avoir plus de 10 incidents en 10 ans est de 99%.

P(de 0 à 10, 20)

= P(0; 20) + P(1; 20) + … +  P(10; 20)

=

= 1%

*    La courbe de la loi de Poisson en fonction de x pour x de 0 à 40.

*    La probabilité de 10 incidents ou moins est représentée par la surface en jaune au pied de la courbe.

 

Courbe de la loi de Poisson pour  = 20

 

 

Évolution selon lambda

 

*    La courbe est presque symétrique pour les grandes valeurs de lambda qui représente la fréquence de l'événement.

*    Elle est asymétrique et se concentre vers les faibles valeurs pour lambda petit.

 



 

 

 

Applications

 

*    Gestion des stocks

*      En demande normale, le stock est approvisionné en fonction de la consommation moyenne;

*      Cependant, pour parer aux aléas d'une demande importante soudaine, d'une demande fluctuante ou d'une demande peu fréquente,  généralement un stock de sécurité est constitué.

*      La taille du stock est calculée en utilisant la loi de Poisson.

*    Contrôles de qualité

*    Défauts de crédit

*    Accidents, catastrophes

*    Arrivée dans une file d'attente

*    Appels téléphoniques

*    Présence ou absentéisme
 

 

 

Propriétés

 

Paramètres de la loi de Poisson

*    La loi de Poisson s'applique à des variables aléatoires X prenant des valeurs discrètes k (et non continues): P (X = k, )

*    Lambda est à la fois la moyenne et la variance.

 

Propriété additive de la loi de Poisson

*    Deux variables aléatoires discrètes et indépendantes X et Y. Deux lois de Poisson de paramètre  et . Alors la variable aléatoire (X+Y) suit une loi de Poison de paramètre . Valable pour un nombre quelconque de variables. La réciproque est valable.

 

Condition d'emploi de la loi de poisson

*    Un événement se produit durant un intervalle de temps donné

*       avec une probabilité de réalisation très faible, et

*       sur un grand nombre d'occurrences.

*    La loi de probabilité doit être la même durant chacun des périodes de temps (accroissements stationnaires).

*    La loi de probabilité s'applique à des événements indépendants (accroissement indépendants).

*    Cette distribution de Poisson peut être entendue comme la limite de la loi binomiale pour un effectif n tendant vers l'infini et une probabilité d'occurrence p tendant vers zéro. Le produit n.p tend alors vers lambda.

 

 

 

The Poisson distribution (English corner)

 

*    Suppose that we can expect some independent event to occur  a specified time interval. The probability of exactly k occurrences is equal to P(k; ).

 

It's a function of k (prononcze '') and lambda and the formula says that we take lambda raised to the power k, multiply that by e (prononcez 'i') raised to the negative lambda and divide that by k factorial.

 

 

 

*    The Poisson distribution describes the probability that a random event will occur in a time or space interval under the conditions that the probability of the event occurring is very small, but the number of trials is very large so that the event actually occurs a few times.

 

NB. Actually veut dire; en réalité, en fait. >>>

 

 

Suite

*       Table des valeurs de la loi de Poisson

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