NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

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INDEX

 

Puissance

Décomposition

 

En puissance de 2

Forme en an + 1

 

Sommaire de cette page

>>> Premier en an + 1

>>> Exemples

>>> Formes en a² + 1

 

 

 

 

Formes en

an + 1

a2 + 1

 

 

Premier

 

Démontrer que si an + 1 représente  un nombre premier, a et n étant supérieur à 1

Alors n est une puissance de 2.

Si a > 1 alors

an + 1 > 2

Si an + 1 est premier

alors an + 1 est impair, car tous les premiers supérieurs à 2 sont impairs.

Si an + 1 est impair

alors an est pair

et a, lui-même est pair.

Supposons que n ne soit pas une puissance de 2

Alors n = premier ou produit de premier selon le théorème fondamental de l'arithmétique

1) Supposons que n = p (donc impair), alors notre forme se factorise

an + 1 =  (a – 1) (an–1 – an–2 + ... – a + 1)

La possibilité de factorisation montre que  cette forme n'est pas première

Contradiction avec notre hypothèse.

Supposition rejetée: n n'est pas premier pur

2) Supposons que n est un produit  de premiers (sans 2). Isolons un des facteurs premiers p. Nous avons n = k . p 

Aussi bien p que k sont impairs. Ce qui autorise la factorisation

an + 1 =  (an/p ) p + 1 = (ak ) p + 1

=  (ak – 1) ( ... )

À nouveau, factorisation

Contradiction et la supposition que n ne soit pas une puissance de 2 est fausse. 

 

 

Exemples

 

*    Valeur de an +1 dans tous les cas pour a de 2 à 6 et n de 2 à 17

*    Notre théorème est bien confirmé (cases en jaune): Si an + 1 est premier alors n est une puissance de 2. La réciproque n'est pas vraie.

*    Conclusion: il est rare d'obtenir que an + 1 soit premier.
 

 

 

Forme en a² + k ou a² – k 

 

*    Dire quand cette forme est divisible par 4.

*    Tableau des possibilités en mod 4 selon que a, un nombre entier, est pair ou impair.
 

 

 

Les nombres a² + 3 pour a pair et a² + 1 pour a impair sont divisibles par 4.

 

*    Même analyse avec les cubes

 

 

a3 est divisible par 9 si a l'est;

a3 + 1 est divisible par 9 si a = 2 mod = 3; et

a3 – 1 est divisible par 9 si a = 1 mod = 3.

 

 

 

Forme de a² + 1  en a² – 2  

 

Pour tout entier a, a²+ 1 est de la forme 4k + 1 ou 4k + 2.

 

Si a est pair, a² + 1 = (2h)² + 1 = 4h² + 1  = 4k + 1.

Si a est impair, a² + 1 = (2h + 1)² + 1 = 4h² + 4h + 2 = 4k + 2.

 

Pour tout entier a, a²- 2 n'est pas divisible par 4.

 

Si n est divisible par 4: n = 4q et a² - 2 = 16q² - 2, non divisible.

Si n n'est pas divisible par 4: n = (4q + r)²- 2 = 16q² + 8qr + r² - 2

*    si r = 1: n = 16q² + 8q – 1 non divisible par 4;

*    si r = 2: n = 16q² + 16q + 2  non divisible par 4; et

*    si r = 3: n = 16q² + 24q + 7  non divisible par 4.

 

 

 

Divisibilité de 2a + 1 par 2b – 1  

*    Pour a > 0 et  b > 2, montrez que:

*    Observations, montrant le pourquoi des conditions.
Dés que b dépasse 2, nous obtenons une fraction, même pour a  = 1.

 

 

 

Démonstration

 

*    Cas où b = a

*    Sous forme de division euclidienne.
Quotient 1 et reste 2.

Non divisible.

*    Cas où b > a avec b = a + k

*    Même si k = 1, le facteur 2a étant au moins égal à 2

*    Soustraire 1 de chaque côté, les termes restants positifs.

Le numérateur est plus grand que le dénominateur: pas divisible.

*    Cas où b < a

*    Si le premier membre est divisible par 2b – 1 alors le second doit l'être et en particulier le second terme:

*    On peut recommencer en posant:

a – b = a'

tant que cette entité est plus grande que b.

*    Arrivera un moment ou soit il y a égalité ou alors le a' devient inférieur à b

Nous sommes ramenés au deux cas précédents.   

 

 

 

 

 

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