NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Général

Puissances et exposants

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

Arithmétique

Algèbre

Négatif & Fract.

Étages

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Puissance 9

>>> Notations

>>> Exemples

>>> Puissances de 10

>>> Valeurs

>>> Réduction d'un étage

>>> English corner

 

 

 

 

Puissances de puissances

ou

Exposants à étages

 

Calculs et comparaison entre eux.

English: tower power, hard powers

 

 

APPROCHE

 

 

*    Certaines apparences sont bien trompeuses!

 

De cet exemple, l'on pourrait conclure que l'ordre des parenthèses est indifférent sur le résultat.

 

*    Les puissances à étages sont déroutantes et leurs valeurs sont toujours étonnantes.

 

Le mieux est de systématiquement préciser les parenthèses, même s'il est permis de l'éviter dans le dernier cas. La convention veut que l'on commence à calculer les puissances par les exposants les plus hauts.

 

 

 

 

 

 

 

Lecture des puissances à étages: ne pas confondre …

 

 

Calcul des exposants par le haut ou, placer les parenthèses en haut.

 

Loi de composition des exposants

ou, on calcule d'abord dans les parenthèses.

 

Étages et racines

      Voir irrationnels produisant des rationnels.

 

 

 

 

Cas de la puissance de 9

 

*    Le plus grand nombre avec 3 chiffres seulement.

*       369 millions de chiffres.

*       On connaît les 1200 premiers chiffres et les 2000 derniers.

*       Il faudrait 3000 km de papier pour l'écrire.

On mettrait 11 ans pour l'écrire à raison d'un chiffre par seconde.

 

*    Un 9 de plus: 9^9^9^9

*       Il faut 10^369 693 094 km de papier.

*       Il faudrait la matière de millions d'univers pour écrire ce nombre à raison d'un atome par chiffre.

*       Curieusement, on connaît les derniers chiffres: 1 045 865 289.

 

 

= 9 ^ 9 ^ 9 

= 9 ^ (9 ^ 9) 

= 9 9 ^ 9

=   9 387 420 489

» 10 369 693 100

= 428 124 773 …   89

 

On ne connaît pas les chiffres centraux.

Suite en Grands nombres avec trois chiffres / Gogol

 

 

 

NOTATIONS

 

NOTATION: Exposant versus « Chapeau » des ordinateurs

Le chapeau (accent circonflexe) permet une écriture linéaire, sans superposition des exposants.

 

Exemple numérique

 

 

 

Notations littérales

 

 

a ^ b ^ c

a ^ (b ^ c)

(a ^ b) ^ c

*      Les puissances se calculent en priorité en partant du haut.

*      De sorte que ces deux notations sont équivalentes.

*      La pratique des parenthèses est conseillée, voire obligatoire pour les logiciels mathématiques.

 

 

 

Notation de Knuth

 n étages

 

 

 

 

EXEMPLES

 

 

Exemples de calculs

 

Exposants

Chapeaux

Valeurs

       a = 32

           a = 3 ^ 2

= 9

b = a² = 9² = (3²)²

b =     a^2 = (3^2)^2

= 81

c = 5a = 59 = 5 3 ²

c = 5^a = 5^9 = 5^(3^2)

= 1 953 125

 

Avec des 3 – Notez la progression fulgurante 

(3 ^ 3) ²         

 

=    729

3² ^ 3  = (3.3) ^ 3         

 

=    729

3 ^ 3 ² =    3   ^ (3.3)

= (3 ^ 3) ^ 3

= 19 683

 

  = 3 ^    (3 ^ 3)

= 7,6… 1012

= 7 625 597 484 987

 

Notez l’égalité générale

 

(3 ^ 3) ^ 3

 

 

 

= (3^3) . (3^3) . (3^3)

= 33 . 33 . 33

= 33+3+3

= 39
= 3

 

 

 

= 3 ^ (3 ^ 2)  

 

 

 

(n ^ a) ^ a

 

= n ^ (a ^ 2)  

 

 Ou en notation avec exposants à étages

 

Voir Trois et cubes

 

 

 

PUISSANCES DE 10 et calculs sur les exposants

 

Valeur des puissances de dix selon les exposants

 

*    On note que l'exposant simple est égal à la puissance nième de 2

 

 

*    On note la quantité de zéros dans l'exposant simple est égale à la valeur de l'exposant n du haut. Il s'agit ni plus ni moins que du développement de l'exposant du 10 initial

 

 

*    On note la quantité de zéros dans l'exposant simple est égale à la valeur de l'exposant n du haut multiplié par l'exposant du bas (2)

 

*    On note la quantité de zéros dans l'exposant simple est égale à la valeur de l'exposant n du haut multiplié par l'exposant du bas (10)

 

Voir Puissances de dix

 

 

Exemples de calcul (gogol puissance gogol)

Nombre à une puissance, chacun de ces nombres étant élevé à une puissance.

Un passage par les logarithmes (décimaux) permet de se rassurer.

Exemple de lecture du tableau avec k = 2 et N = 10².

*      Le logarithme d'une puissance est tel que log ab = b . log a.
Ici: log 10² = 2 log 10 = 2 x 1 = 2,  en prenant le logarithme en base 10.

*      De même log NN = N . log N = 102 x 2 = 200.

*      En repassant aux nombres ordinaires: 200 est le logarithme en base 10 d'un nombre qu'il faut trouver. C'est 10200. Le logarithme de 10200 est bien 200.

 

Maintenant que la mécanique du calcul est bien établie, nous pouvons calculer Gogol à la puissance Gogol (colonne de droite). Un 1 suivi de 10102 zéros.

Note: 100 x 10100 = 102 x 10100 = 102 + 100 = 10102

 

 

 

 

 

Tableau de VALEURS

 

Exemple de lecture

 

 

 

 

Voir Calculs / Plus grand nombre avec trois chiffres

Voir site: A054382

 

 

 

 

Réduction d'un étage

 

*    Dans certains cas, il est possible de réduire les étages d'un cran:

*    Cette possibilité résulte de la règle:

  Exemple

Voir Application

 

 

ENGLISH CORNER

 

*    Nine to the ninth power, and

*    Nine to the ninth to the ninth power

 

Abbreviated as

9 to the 9 to the 9

 

 

*    The power tower of order k is defined as:

 

with k times a

 

 

 

 

Suite

*    Calculs pratiques avec les exposants

*    Calculs avec exposants négatifs et fractionnaires

*    Division de puissances à étages en 2, 3 et 5

*    Multi-puissances

*    Notation des très grands nombres

*    Puissance de 6

*    Plus grands nombres avec des 1

Voir

*    Constantes

*    Évolution des puissances de 2

*    Grands nombres avec 2

*    Grands nombres avec 3 et 9

*    Graphes, arbres et exposants

*    Jeu des quatre 4

*    Progression géométrique

*    Puissances – Index

*    Puissances 4

*    Puissances de 10

*    Puissances et exposants

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