NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 07/02/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

PUISSANCE de 2

 

Débutants

Puissance

Nombres de

Fermat et Mersenne

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Puissance

Décomposition

Puissance de 2

 

FERMAT  (biographie)

MERSENNE (biographie)

Nombres de Fermat

Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Sommaire de cette page

>>> Nombres de Fermat

>>> Propriétés

>>> Construction

>>> Curiosités

>>> Fermat généralisés

>>> Fermat se terminent par 7

>>> Fermat et 2

>>> Anglais

 

 

 

NOMBRES de FERMAT

 

Fermat croyait qu'en ajoutant 1 à ces puissances de 2,

on obtenait toujours des nombres premiers.

 

Or, selon les connaissances d'aujourd'hui, seuls cinq sont premiers.

 

 

 

 

NOMBRES de FERMAT

 

Forme générale

Fn = Dn + 1

Autres notations: Fn = 22^n  = 2^(2^n)

 

Calcul

F3 – 1  = 22^3 = 28 = 256

F3        = 257

 

Formation

 

 

 

Voir Puissances à étages / Divisibilité par 3 de tels nombres en +2 (et non +1)

 

 

Valeurs

Suite >>>

Voir Divisibilité par 641

 

 

 

Curiosité concernant la divisibilité

 

Un nombre de Fermat (>3) auquel on ajoute 10 est divisible par 3. Il s'agit d'un nombre de Fermat dont le chiffre des dizaines a été augmenter de un, comme 17 qui devient 27; et 27 = 3 x 9.

 

Cherchons le reste de la division par 3 d'un nombre de Fermat supérieur à 3 (On dit: nombre de Fermat modulo 3).

D'abord la puissance de 2: 2n est un nombre pair disons 2k.

Le nombre Fermat peut s'écrire F = 22k + 1 = 22 . 22 . … + 1

Or 22 = 4  1 mod 3, et F  1 . 1 . 1 …  + 1  2 mod 3

Ajouter 10 conduit à  F + 10  2 + 1  3 mod 3  0 mod 3

Donc divisible par 3. Comme d'ailleurs F + 1.

Conclusions

Fermat  2 mod 3

Fermat + 1 + 3k  0 mod 3

Voir Divisibilités

 

 

 

 

Relations entre deux voisins

Voir Formation des nombres de Fermat

 

 

 

 

 

Relations entre tous les précédents

 

 

Autre expression

Fn = F0 F1 F2 .... Fn-1 + 2

 

Exemples

F3 = F0 F1 F2 + 2 = 3 x 5 x 17 + 2 = 257

F4 = 3 x 5 x 17 x 257 + 2 = 65 537

 

Démonstration par induction Voir Induction

 

Pour F1 c'est vrai.

5  – 3   = 2

F1 – F0 = 2

Supposons la formule vraie pour n

Fn – 2 = F0 . F1 . F2 … Fn-1

L'est-elle pour n + 1?

Fn+1 – 2 = F0 . F1 . F2 … Fn-1 . Fn  

              = (Fn – 2) . Fn

En remplaçant par leur valeur.

Identité remarquable >>>

Carré d'une puissance en 2 >>>

Passage de – 1 à + 1 – 2

Reconnaissance du nombre de Fermat

 

 

Curiosité à 2 près (Normale, si on connaît la propriété ci-dessus!)

4 294 967 295

= 3 x 5 x 17 x 257 x 65 537

 

Le produit des 5 nombres premiers de Fermat connus.

4 294 967 297

= 641 x 6 700 417

 

Le nombre de Fermat suivant qui n'est pas un nombre premier

 

 

Propriétés des NOMBRES de FERMAT

 

Les cinq plus petits nombres de Fermat (n de 0 à 4) sont premiers.

Suite >>>

 

À partir de F2, tous les nombres de Fermat se terminent par 7.

Aucun n'est donc un carré.

Suite >>>

 

 

 

Deux nombres de Fermat sont premiers entre eux.

 

Tout nombre de Fermat +1 est divisible par 6.

Suite >>>

 

Tout diviseur de Fn est de la forme  2m k + 1  avec k impair et m  n + 2.

Suite >>>

 

 Aucun nombre de Fermat n'est triangulaire (sauf 3), ni carré, ni cube.

 

 Un nombre de Fermat est premier si, et seulement si, il divise:

     ou        (test de Pépin – 1877)

 

Il n'est possible de construire un polygone régulier à nombre premier de côtés que si ce nombre est un nombre de Fermat premier, etc.   Théorème de Gauss

 

Aucun nombre de Fermat n'est somme de deux nombres premiers à l'exception de F1 = 2 + 3.

 

Aucun nombre de Fermat n'est la différence de deux puissances de nombres premiers impairs.

 

La somme des inverses de tous les nombres de Fermat est irrationnelle.

 

 

 

NOMBRES en puissance de 2

Puissance

Nombres de Mersenne

Nombres de Sierpinski

Nombres de Fermat

Nombres de Fermat généralisé

>>>

>>>

>>>

>>>

>>> 

 

Voir Puissances et exposantsIndex

 

 

NOMBRES de FERMAT – Unité 7

 

   À partir de F2, tous les nombres de Fermat se terminent par 7.

 

Exemple et quasi-démonstration

 

Démonstration par induction (>>>)

 

Pour n =1, c'est faux, mais

 

Pour n = 2, c'est vrai.

 

 

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

 

Calcul avec relation puissance de 2.

 

Mise en évidence du Fermat précédent.

Passage aux congruences (modulo), en prenant pour vraie la formule pour Fn.

Fn+1    (( 7 ) – 1)² + 1   mod 10

               6² + 1 = 37     mod 10

                                 7      mod 10

La relation est vraie pour 2 et elle est vraie pour n+1 dès qu'elle est vraie pour n, alors elle est toujours vraie pour n à partir de 2

 

 

English corner

 

Fermat first conjectured that all the numbers in the form of 22^n +1 are primes. However, in 1732, Leonhard Euler refuted this claim by showing that F5 =232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700 417 is a composite. It then became a question to whether there are infinitely many primes in the form of Fermat numbers. Primes in this form are called Fermat primes. Up-to-date there are only five known Fermat primes.

 

 Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

 

Suite

*    Valeurs de Fn

*    Diviseurs de Fn

Voir

*    Mersenne

*    Harshad

*    Théorie des nombresIndex

*    Nombres par leur nom

DicoNombre

*    Nombre     3

*    Nombre     5

*    Nombre   17

*    Nombre 257

*    Nombre 641

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Fermat.htm