NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Histoire

 

Crises

23 Pb. de Hilbert

7 Pb. Clay

Les 17 équations

 

Sommaire de cette page

>>> En résumé

>>> Chacune en détail

>>> Trois livres – Autres équations

 

 

 

 

 

 

Les 17 équations qui ont changé le monde

 par Ian Stewart (traduction: Anatole Muchnik)

 

La présence d'une équation dans un livre affaiblit la vente du livre, dit-on. Ian Stewart réussit ce tour de force de nous en présenter dix-sept dans son livre, certaines sont d'un niveau d'études supérieures.

Les équations sont la transition, la passerelle, entre le monde complexe et une certaine modélisation compréhensible et manipulable par l'homme. Ina Stewart nous dit que dix-sept d'entre-elles, présentées dans l'ordre chronologique, décrivent l'ascension scientifique de l'humanité. La liste proposée pourrait être complétée par bien d'autres selon le jugement de chacun.

 

Publications

Publication originelle:

In pursuit of the Unknown: 17 Equations that changed the World – Ian Stewart

 

Résumé du livre dans un article de Sciences et Avenir (N°808 de juin 2014). De très nombreuses reprises sur Internet (anglais).

 

Ian Stewart (né en 1945), professeur de mathématiques à l'université de Warwick au Royaume-Uni. Auteur de 140 publications mettant les mathématiques à porté de tous.

A collaboré avec Terry Pratchett (Auteur du Disque-monde) pour l'écriture des trois livres Science of Discworld.

 

 

 

En bref

Théorème de Pythagore

Permet le calcul de la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connait la longueur des deux autres.

Application très courante en géométrie.

1 >>>

-530.

Pythagore

Logarithmes

Permet le calcul sur des grandeurs de grande amplitude. Passage obligé avant l'avènement des calculateurs.

2 >>>

1610

John Napier

Calcul différentiel

Permet le calcul de grandeurs (surface, volume, vitesse …) qui ne sont appréhendables que par petits pas.

3 >>>

vers 1668

Newton et Leibniz

Loi de gravité

Tous les objets ayant une masse s'attirent mutuellement. C'est le cas de la Terre qui nous maintient à sa surface, même en Australie!

4 >>>

1687

Newton

Le nombre imaginaire i

Ce simple artifice d'écriture () permet la résolution de quantité de problèmes: équations, électronique …

5 >>>

1750

Euler

Relation d'Euler

Elle dit que: pour tous volume la quantité de faces, sommets et arêtes constituent un invariant.

Relation à la base de la topologie.

6 >>>

1751

Euler

La distribution normale

 ou loi de Gauss

La probabilité d'avoir une certaine valeur (la taille d'une personne, par exemple) diminue fortement lorsqu'on s'éloigne de la moyenne.

7 >>>

1810

Gauss

L'équation d'onde

Elle décrit la propagation d'une onde.

Elle dit, par exemple, qu'une corde de guitare plus courte donne un son plus aigu.

Elle est utilisée partout où on rencontre des ondes: sismographie, acoustique …

8 >>>

1746

Jean Le Rond d'Alembert

Transformée de Fourier

Elle dit que toute onde peut être décrite par une succession de sinusoïdes de fréquences différentes.

Très utile en analyse spectrale, en compression de données …

9 >>>

1822

Fourrier

 

Équation de Navier-Stokes

Permet les calculs d'aérodynamique ou d'hydrodynamique (bateaux et avions); partout où il y a des fluides en mouvement (sang, par exemple)

10 >>>

1845

Navier  et

Stokes

Équations de Maxwell

Champ électrique et champ magnétique sont liés. L'un engendre l'autre.

Base des communications hertziennes, radio, télévision, radar.

11 >>>

1865

Maxwell

La deuxième loi de la thermodynamique

Le désordre (entropie) d'un système thermodynamique augmente toujours. Un verre cassé ne se reformera pas spontanément.

Permet le calcul des limites des possibilités du travail de la chaleur (moteurs)

12 >>>

1874

Boltzmann

Formule de la relativité

La masse des objets est de l'énergie.

Permet de comprendre la quantité d'énergie libérée par la fission des atomes.

13 >>>

1905

Einstein

Équation de Schrödinger

En physique quantique, la matière peut se modéliser sous forme d'ondes (et non de particules).

Compréhension de l'atome. Application au laser par exemple.

14 >>>

1927

Schrödinger

Théorie de l'information

Elle définit la quantité d'information dans un message, en se basant sur les probabilités.

Application aux codes de détection d'erreurs, en intelligence artificielle ou encore en cryptographie.

15 >>>

1949

Shannon

Théorie du Chaos

 (loi logistique)

Elle exprime l'évolution des populations sous contrainte de  ressources.

La théorie du chaos dit qu'une petite sollicitation peut entraîner de grands effets.

Application à ma météorologie, aux tremblements de terre …

16 >>>

1975

Robert May

Équation de Black-Scholes

Calcul de l'évolution de produits financiers.

Application aux calculs de risques et de gain y compris en prévision à long terme.

17 >>>

1990

Black et Sholes

 

 

 

Chaque équation en détail

 

Théorème de Pythagore

The Pythagorean Theorem

 

a² + b² = c²

Aire des deux carrés du haut 

= celle du carré du bas.

Permet le calcul de la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connait la longueur des deux autres.

Théorème primordiale en géométrie avec celui de Thalès sur les proportions.

Applicable en géométrie euclidienne mais pas en géométrie courbe.

Pythagore est un savant grec qui vivait autour des années  -500.

 

Les Chinois et les Babyloniens connaissaient ce théorème avant Pythagore.

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Logarithmes

Logarithms

 

log x.y = log x  + log y

 

Exemple

log10 (1 000 000) = 6

Car, il y a six "0" dans un million.

 

log10 = logarithme en base 10

 

La multiplication est un raccourci de longues additions (4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5); la puissance est un raccourci de longues multiplications (54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625). Le nombre 625 = 54) donne idée de l'exponentielle et l'exposant 4 donne une idée du logarithme. Celui-ci, en gros, qualifie donc la taille d'un nombre.  

Les logarithmes permettent le calcul sur des grandeurs de grande amplitude. Passage obligé avant l'avènement des calculettes et calculateurs.

Fonction réciproque de l'exponentielle.

Une de leur propriété fondamentale: transformer un produit en somme (cf. formule indiquée).

Évidemment la règle à calcul a été supplantée par les calculettes. Par contre, les logarithmes permettent la modélisation de phénomènes naturels de grande dynamique:  radioactivité, séismes (échelle de Richter), sons (décibels).

John Napier en 1610 ou 1614

Amélioré par Henry Briggs (tables)

Alors qu'Oughtred en 1630 crée la règle à calcul.

 

Napier ou Neper en français a donné son nom aux logarithmes népériens dont la base est la constante "e".

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Calcul différentiel

Calculus

Volume de la sphère par Archimède

Permet le calcul de grandeurs (surface, volume, vitesse …) appréhendables que par petits pas.

La formule indiquée est la définition de la dérivée. Une notion de la vitesse de variation d'une grandeur. Sa réciproque est le calcul intégral: connaissant le rythme de changement en déduire l'évolution de la grandeur.

Invention puissante puisqu'en une seule formule, elle résume toutes les données astronomiques collectionnées depuis des millénaires et les trois lois de Kepler.

Application aux calculs de fusées aussi bien que de particules.

Inventé au même moment par Newton et par Leibniz vers 1666

On retient la modélisation de la gravité pour Newton, mais ce sont les notations de Leibniz qui sont restées.

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Loi de gravité

Law of Gravity

Sphère terrestre

Tous les objets ayant une masse s'attirent mutuellement. C'est le cas de la Terre qui nous maintient à sa surface, même en Australie!

La loi de la gravité indique avec quelle force deux objets s'attirent. Celle-ci décroit très vite avec le carré de la distance.

Cette loi explique parfaitement le mouvement des planètes. La théorie de la relativité générale englobe cette loi.

Newton en 1687

Légende de la pomme qui aurait créé le déclic de la compréhension du mouvement des planètes.

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Le nombre imaginaire i

The square root of -1

Représentation géométrique

des nombres complexes

Ce simple artifice d'écriture permet la résolution de quantité de problèmes, notamment la résolution des équations ou encore en électronique, en traitement du signal, mécanique quantique

Ce nombre permet la création des nombres complexes, opération qui étend à deux dimensions la droite des réels. Les quaternions et les octavions sont des complexes à quatre et huit composantes.

Euler établit cette fameuse formule impliquant cinq nombres fondamentaux de l'algèbre.

Euler en 1750.

En 1545, Cardan avait déjà imaginé les racines de nombres négatifs pour résoudre des équations du 3e degré.

En 1673, John Wallis imagine les nombres complexes associés à un système d'axes; un axe pour les réels et l'autre, orthogonal, pour les imaginaires .

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Relation d'Euler

Euler's Polyhedra Formula

F – A + S = 2

6 – 12 + 8 = 2 pour le cube

Cube

Elle dit que quel que soit le volume la quantité de faces moins la quantité de sommets plus la quantité d'arêtes et un invariant.

Généralisation aux polyèdres troués (tore, bretzel …) et aux graphes.

Relation à la base de la topologie, la mathématique de la forme des objets: Notion d'invariance topologique.

Application à l'étude de l'ADN, à la mécanique quantique …

Euler en 1751.

Découverte  en 1639 par Descartes, mais sans la publier.

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La distribution normale (gaussienne)

Normal distribution

La probabilité d'avoir une certaine valeur (la taille d'une personne, par exemple) diminue fortement lorsqu'on s'éloigne de la moyenne.

La courbe qui la représente est une gaussienne ou courbe en cloche (bell curve).

Elle est omniprésente en statistiques (This curve is ubiquitous in statistics).

Cette loi décrit le comportement d'un grand nombre d'"individus" indépendants.

Gauss (1810).

Application aux sciences sociales en 1835 par Adolphe Quetelet qui découvre que les gens en foule ont un comportement plus prédictible que pris individuellement.

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L'équation d'onde

Wave équation

image015

Aussi, cas du caillou jeté dans la mare.

Elle décrit la propagation d'une onde.

Elle dit, par exemple, qu'une corde de guitare plus courte donne un son plus aigu.

Elle est utilisée partout où on rencontre des ondes: sismographie, acoustique, thermodynamique

C'est une équation différentielle qui décrit les variations de l'onde avec le temps.

Applications en acoustique, optique ondulatoire …

Jean Le Rond d'Alembert (1746)

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Transformée de Fourier

Fourier Transform

 

En rouge à droite la sommes des quatre sinusoïdes de gauche.

Elle dit que toute onde, même très compliquée comme la voix humaine, peut être décrite par une somme de sinusoïdes de paramètres différents.

Très utile en analyse spectrale, en traitement du signal, en compression de données …

La Transformée de Fourier est une opération mathématique qui permet de décomposer un signal en ses composantes fréquentielles et de phases. Tout comme l’oreille humaine peut décomposer les différentes fréquences d’un son, le spectre obtenu par la Transformée de Fourier d’un signal représente l’intensité des différentes composantes fréquentielles d’un signal. Elle calcule dans le même temps les phases de chacune des composantes. Le cumul de ces différentes sinusoïdes d’intensité et de phase données permet de reconstruire le signal (Transformée de Fourier inverse).

Fourrier en 1822

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Équation de Navier-Stokes

Navier-Stokes Equation

Sillage d'un sous-marin en transit

Elle décrit le comportement des fluides en écoulement (normal, laminaire ou en turbulences).

À Gauche, l'accélération du fluide; à droite, les forces exercées sur le fluide.

Permet les calculs d'aérodynamique ou d'hydrodynamique (bateaux, avions, automobiles …); partout où il y a des fluides en mouvement (sang, par exemple)

C'est une équation non-linéaire aux dérivées partielles si difficile que les mathématiciens n'ont pas la solution exacte. Des solutions approximatives exigent des heures de calculs. Qui trouvera la solution sera récompensé par un million de dollars (Clay). En 2014, elle semble en passe d'être trouvée.

Navier  et

Stokes (1845)

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Équations de Maxwell

Maxwell's Equations

 

Champ électrique (E) et champ magnétique (H) sont liés. L'un engendre l'autre. Tout tient dans ces quatre équations différentielles.

Base des communications hertziennes, radio, télévision, radar.

Cette théorie inclut l'optique ondulatoire comme cas particulier.

Toutes les ondes électromagnétiques, dont la lumière, se propagent à la vitesse de la lumière dans le vide.

La mécanique quantique explique le magnétisme à l'échelle microscopique et montrent que ces équations sont des approximations mais qui marchent très bien à l'échelle humaine.

Maxwell(1865)

Concept de champ introduit par Faraday, puis reformulée par Lorentz en 1895.

En 1886, Hertz découvre ces ondes.

C'est Marconi en 1896 qui va réussir à les transmettre à distance.

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En particulier, formulation différente des quatre équations.

 

La deuxième loi de la thermodynamique

Second Law of Thermodynamics

La variation d'entropie S est toujours positive ou sans changement à tous instant.

Autrement-dit: le désordre de la nature va globalement croissant.

Le désordre (entropie S) d'un système thermodynamique (sous influence de la chaleur) augmente toujours pour un système fermé. Un verre cassé ne se reformera pas spontanément. Un corps chaud cédera sa chaleur au corps froid jusqu'à ce qu'in équilibre de température soit établi.

La plupart des lois sont réversibles. Celle-ci, non. Le sens du temps y est important.

Permet le calcul des limites des possibilités du travail de la chaleur (moteurs)

Boltzmann (1874)

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Formule de la relativité (une des -)

Relativity

E = m.c²

(Forme réduite)

Constellation de satellites GPS

La matière contient une énergie égale à sa masse multipliée par le carré de la vitesse de la lumière.

Permet de comprendre la quantité d'énergie libérée par la fission des atomes.

La relativité restreinte ou générale a changé la perception du monde

Restreinte: la vitesse de la lumière est une constante une limite universelle; la notion de temps est différente selon la vitesse.

Générale: l'espace incluant la dimension temps est courbe. Cette vision explique la gravité dont la formulation date de Newton.

La navigation GPS n'existerait pas sans la théorie de la relativité.

Einstein (1905)

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Équation de Schrödinger

Schrödinger's Equation

Représentation classique de l'atome

En physique quantique, la matière peut se modéliser sous forme d'ondes (et non de particules).

La relativité explique le monde macroscopique; la mécanique quantique, via cette équation, explique le monde microscopique.

Une modélisation pas très bien comprise par les savants, mais qui donne des résultats étonnamment précis. C'est pourtant un calcul de probabilité avec des nombres complexes!

Modélisation de l'atome. Application au laser, semi-conducteurs, énergie nucléaire …

Erwin Schrödinger (1927)

Equation de Schrödinger indépendante du temps

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Théorie de l'information

Information theory

H est l'entropie de la fonction p(x).

Rappel: entropie = désordre.

 

Big Data

Elle définit la quantité d'information (entropie H) dans un message, en se basant sur les probabilités.

Pour un message donné, elle indique le maximum de compression possible sans perdre d'information.

Application aux codes de détection d'erreurs, en intelligence artificielle ou encore en cryptographie.

Cette notion est à la base des calculs mathématiques appliqués aux informations et à leur transmission.

Application aussi à l'intelligence artificielle.

La distribution normale est la loi de probabilité qui maximalise l'entropie d l'information.

Cette notion établit une passerelle entre l'informatique et la physique.

Claude Shannon (1949)

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Théorie du Chaos (loi logistique)

Chaos Theory (logistic map)

 

 

Attracteur étrange de Lorenz

Elle exprime la valeur d'une population à la génération suivante dans le cas de ressources contraintes.

Curieusement, pour certaines valeur de k, l'évolution de la population devient chaotique, quasiment imprévisible. En commençant avec deux populations extrêmement voisines, leurs évolutions seront totalement différentes.

La théorie du chaos dit qu'une petite sollicitation peut entraîner de grands effets (effet papillon).

Application à ma météorologie, aux tremblements de terre …

Robert May (1975)

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Équation de Black-Scholes

Black-Scholes Equation

 

Cours du pétrole

Calcul de l'évolution de produits financiers.

Cette équation différentielle donne une base aux experts en finance et aux traders pour calculer le prix des produits financiers qui sont sur le marché.

Application aux calculs de risques et de gain y compris en prévision à long terme.

Ces calculs malins n'ont pourtant pas empêché  la crise financière de 2008.

Black et Sholes (1990)

Suite >>>

 

 

Trois livres

Les trois livres cités in fine (les trois premiers listés) sont du même genre. Huit équations en commun:

Pythagore, Newton (gravité), Euler (), Euler (polyèdres), Einstein (énergie/matière), Maxwell (électromagnétisme) et Schrödinger ou Dirac (mécanique quantique).

Chaque auteur cite au moins deux autres équations non mentionnées par les autres. On trouve, par exemples, chez les autres que Stewart:

*    1 + 1 = 2  avec notations de Robert Recorde (1557);

*    Pi = 3, 14159…

*       Identité d'Euler;

*      Valeurs de zêta;

*     Relation entre transfinis;

*      Le principe d'incertitude d'Heisenberg;

*    Les équations de champ d'Einstein (relativité générale);

*    Généralisation de la formule de Gauss-Bonnet par S.S.Chen  (relation entre topologie et géométrie).

 

 

 

Suite

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*    Gravitation

*    Relativité

DicoNombre

*    Nombre 17

Livres

*      Les équations fondamentales de la physique: histoire et signification – Sander Bais – Dunod – 2007

*      In Pursuit of the Unknown: 17 Equations that Changed the World – Ian Stewart – 2012.

*      The Great Equations: Breakthroughs in Science from Pythagoras to Heisenberg – Robert P. Crease – 2008

*    The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told Through Equations – Dana Mackenzie – 2012.

*    Five Equations That Changed the World: The Power and Poetry of mathematics – Michael Guillen – 1996

Sites

*      In pursuit of the Unknown: 17 Equations that changed the World – Ian Stewart  - Feuilletez quelques pages de ce livre.

*      The 17 Equations That Changed The Course Of History – Andy Kiersz - 2014

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http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Recap/Equat17.htm