NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Trigonométrie

 

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Trigonométrie

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Trigonométrie

 

 

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Sommaire de cette page

 

>>> Énoncé

>>> Résolution

 

 

 

 

 

CALCULS EN TRIGONOMÉTRIE

associé à de la géométrie

 

 Exemples simples pour se familiariser.

 

On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles.

 

 

Énoncé

 

*    Sur cette figure, les points A, B et C sont alignés.

*    E, B, O et D également.

*    Le triangle BCD est inscrit dans un cercle.

*    L'angle en A est droit et celui en E vaut 58°.

*    Les mesures de deux segments sont connues: a = 7 cm et c' = 2 cm.

Calculez le rayon R  du cercle.

 

 

Ce que nous évoque l'énoncé:

1) Ce n'est pas dit dans l'énoncé, mais l'angle en C, qui intercepte un diamètre, est droit;

2) Angle droit en C et en A, alors CD et AE sont parallèles;

3) Les triangles ABE et BCD sont semblables;

4) L'angle en E est quelconque. C'est que la trigonométrie sera inévitable pour calculer b et c dans le triangle rectangle ABE.

 Note: 58 x  / 180 = 1,012; l'angle en E est proche de 1 radian.

 

 

 

Résolution

Je démontre que les triangles ABE et BCD sont semblables.

*      BOD est un diamètre du cercle.
L'angle BCD intercepte ce diamètre.

*    CD orthogonal à AC

AE orthogonal à AC
(on peut dire: perpendiculaire; orthogonal est obligatoire lorsqu'on est dans l'espace)

AE et AC sont parallèles

*    Dans les traingles ABE et CBD

*    Outre les alignements, le sommet est commun et les bases sont parallèles

ABE et CBD sont semblables

*    Relation dans les triangles semblables
(on dit aussi homothétiques)
En rouge, les deux mesures connues

Je fais de la trigo pour calculer les mesures dans le triangle rectangle ABE

*    Il est temps d'utiliser la valeur de l'angle

*    Calcul de la valeur de c

c = 7/1,6 =4,375

*    Rapport d'homothétie

*    Mesure de b, de manière à pouvoir calculer b'

*    Mesure de b

b = 7/0,848 = 8,254…

*    Avec le rapport d'homothétie

b' = 8,254 /2,1875 = 3,7735…

*    Le rayon mesure la moitié du diamètre

R = 3,7735 / 2 = 1,886… cm

*    Pour information et vérification

a' =7/2,1875 = 3,2 cm

Note: la figure est à l'échelle 2 (en gros).

 

 

 

 

Suite

*  Pente – Calcul avancé

Voir

*  Théorème de Pythagore

*  Trigonométrie – Débutant

*  Trigonométrie – Calculs avancés

*  Trigonométrie – Formules

Aussi

*  Angle et cercle trigonométrique

*  Unités

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