NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉLÉMENTS de base

 

Débutants

Géométrie

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie  

Bases

Point

Droite

Plan

Parallèle

Perpendiculaire

Égalité

Distance

Angle

 

Sommaire de cette page

>>> INDEX – ANGLES

>>> Approche – Rapporteur

>>> Mesure des angles

>>> Orientation

>>> Égalité

>>> Bissectrice

>>> Valeurs trigonométriques

>>> Angles fractions de Pi

>>> Angle solide

 

 

 

 

Adjudant:  L'eau bout à 90 degrés.

Bidasse:    Pardon mon adjudant, je crois bien que c'est à 100 degrés.

Adjudant:  Bien sûr, où avais-je la tête? C'est l'angle droit qui bout à 90 degrés.

Perle mathématique: l’angle aigu a été trouvé par le savant Cosinus.

Perle politique: entre Daech et notre conception de l'islam, il n'y a pas 180 mais 360 degrés de différence. Ahmet Davutoglu, premier ministre turc (14/10/2015)

Voir Pensées & humour

 

 

Index ANGLES

 

Selon la valeur

 

*  10° 58   = /17

*  11° 15   = /16

*  15°        = /12

*  18°        = /10

*  18,43 …° = arctan(1/3)

*  22,5°     = /8

*  25° 7     = /7       Voir Pi/7

*  26,56 …° = arctan(1/2)

*  35° 24' = 1/Phi

*  36°       = /5       Voir Pi/5

*  41,41°  (cos = 0,75)

*  45°       = /2

*  54°       = 3/10

*  57° 18'

*  72°       = 2/5

*  72°82

 

*  90°        = /2

*  92° 42'  = Phi

*  106° Nez

*  108°      = 3/5

*  109° 28'

*  120°      = 2/3

*  128° 6   = 5/7

*  137,5°     Voir Phyllotaxie

*  138,19°

 

*  150°     = 5/6

*  180°     =

*  360°     = 2

 

*  400°

*  720°      = 4

*  Angles des polygones

*  Angles en Pi / n – Valeurs

*  Angles en Pi / n – Calculs

*  Angles en Pi / 5

*        TYPES d'angles: complémentaires, supplémentaires, etc.

 

*        Types comme vus en 6e (illustration en grand)

 

 

*        Abscisse angulaire (angle)

*        Angle – Types d'angles

*        Angle apparent de la Lune

*        Angle droit

*        Angles entiers dans le polygone

*        Angles orientés

*        Angle solide

*        Angles dans le cercle (inscrit, au centre)

*        Angles dans le parallélogramme

*        Angles des polygones

*        Angles du pentagone : 36°, 54°, 72°, 108°

*        Argument d'un nombre complexe (angle)

*        Azimut

*        Bissectrice

*        Cap et gisement

*        Carrés en rotation

*        Cercle trigonométrique

*        Chaînette

*          Construction de l'angle Pi/7  (heptagone)

*        Décagone

*        Degrés

*        Gons

*        Grades

*        Minute

*        Nombre d'or et angles

*        Nombres imaginaires

*        Pentagone

*        Polygone

*        Racine de 1:  i et j

*        Radians

*        Roulis, tangage et lacet

*        Secteurs de disques typiques

*        sin² + cos² = 1

*        Somme des angles dans un quadrilatère 

*        Somme des angles du triangle

*        Spat

*        Stéradian

*        Transformée de Fourier

*        TrigonométrieIndex

*        Trigonométrie – Tables

*        Trigonométrie des angles en Pi/7

*        Unités d'angle – Radian, degré, grade

*        Unités SI

*        Valeurs sinus cosinus

 

 

Voir Expressions avec le mot "angle"

 

 

 

 

Approche

Demi-tour:       180°

Quart de tour:   90°

Tour complet: 360°

 

Rapporteur (anglais: Protractor)

 

 

 

Équerre de chantier

(anglais: try square or T-square)

 

Équerre à dessin

(anglais: set square or triangle)

Voir Construction avec équerre / Le Caire

 

MESURE des angles

 

Unités

1 tour sur le cercle =

*         Degrés

360°

*         Radians

2  = 6,28 …

*         Grades

400 grades

 

Complémentaires et supplémentaires

 

Angles complémentaires: dont la somme vaut 90°, soit   / 2 radians; ils forment un angle droit.

Angles supplémentaires: dont la somme vaut 180°, soit   radians; ils forment un angle plat.

 

Voir Bases de la géométrie: types d'angles  /  DicoMot

 

 

ORIENTATION

 

Antihoraire.

Sens inverse des aiguilles de la montre.

Rotation de la Terre vue au pôle nord.

 

Direct

+

Indirect

Horaire.

Sens des aiguilles de la montre

 

 

 

ÉGALITÉ

 

*             Angles opposés par les sommets.

Note: parfois nommé angles verticaux (terme plutôt anglais) qui alors peuvent être confondus avec l'angle vertical mesuré par le géomètre avec un instrument spécial nomme l'éclimètre.

 

Anglais: A pair of angles opposite each other, formed by two intersecting straight lines that form an "X"-like shape, are called vertical angles or opposite angles or vertically opposite angles.

 

 

*           Angles alternes- internes
 

Les angles opposés par le sommet (en jaune) sont égaux (même mesure). Les angles opposés par le sommet(en bleu) sont égaux.

Les angles alternes-internes sont égaux.

Voir Toutes les dénominations des angles

 

Illustration

 

 

*           Deux pièces identiques (trapèzes).

 

 

 

 

BISSECTRICE

Bissectrice

*           La bissectrice OB partage l'angle MOM' en deux.

*           Tout point de la bissectrice est à égale distance de chacune des deux droites: BM = BM'.

 

 

Construction

*           Soit une ouverture du compas.

*           Cercle de centre O qui coupe les demi-droites en A et B.

*           Cercle de centre A.

*           Cercle de centre B.

*           Ces deux cercles se coupent en C.

*           OC est la bissectrice.

 

 

VALEURS TRIGONOMÉTRIQUES

 

Degrés

0

30

45

60

90

120

135

150

180

Radians

0

Sinus

0

1

0

Cosinus

1

0

– 1

Tangente

0

1

nd

– 1

0

nd = non défini (tend vers infini)

Voir Trigonométrie / Table complète

 

 

Mnémotechnique

Voir Mnémotechnique

Illustration

*           Notez le carré formé avec 1/2. Il permet de tracer les angles:

*           De 45° avec les diagonales;

*           De 30°, en prenant 1/2 sur y; et

*           De 60°, en prenant 1/2 sur x.

 

 

Cas de Pi / 8

Notez la valeur remarquable de la tangente.

 

Voir Distance entre 1/3 et 1/2 / Construction d'un angle de 30° / Calculs trigonométriques autour de Pi/8 / Trisection du carré

 

 

Angle fraction de Pi

Voir Angles du pentagone en Pi/5 / Calcul des lignes trigonométrique de Pi/5 /

Angle en Pi / 7 / Angle Pi / 12 / Angles en Pi/n

Partage du cercle en n parts égales / Tables trigonométriques

 

 

 

ANGLE SOLIDE

 

A) DANS UN PLAN

 

*    On mesure les angles en degrés ou mieux,

en Radians: angle tel que la longueur de l'arc de cercle est égale au rayon

 

*    C'est pratique, car la formule de calcul est simplement

Longueur égale angle par rayon

 

*    On obtient la longueur d'un arc de cercle en multipliant le rayon par l'angle en radians

 

 

L = a . R

B) DANS L'ESPACE

 

*    On mesure les angles en degrés-carrés ou mieux,

en STÉRADIANS:

Angle solide tel que la surface sur la sphère est égale à 1 quand le rayon vaut 1

 

Définition du stéradian (sr): Angle solide ayant son sommet au centre d’une sphère découpant, sur la surface de cette sphère, une aire égale à celle d’un carré ayant pour côté le rayon de la sphère.

Et aussi: Unité d'angle solide correspondant à un angle solide qui découpe sur une sphère de même centre que lui une surface d'aire égale au carré du rayon de la sphère. 

 

La formule de calcul est donnée par

Aire égale angle solide par rayon au carré

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = W .

 

C) ANGLE SOLIDE – Exemple

 

*    Pour une constellation

Le centre est le point d'observation sur la Terre

Le cône de contour est engendré par les droites issues du centre qui suivent le contour de la constellation

Ce cône (non-régulier) découpe une surface sur une sphère de référence

*    La valeur de cette aire donne l'angle solide sous lequel est vue la constellation

 

D) VALEURS

 

*    L'espace tout entier vaut

4  (rayon au carré; ici, il vaut 1)

*    Un angle de 1 stéradian embrasse

environ 1 / 12,5664 de l'espace entourant un point, soit

 

= 12,5664 stéradians

 

7, 96 %

   Note

 

 

On rencontre quelquefois une unité appelée spat (sp), définie comme étant

l’angle solide comprenant la totalité de l’espace autour d’un point

Il en résulte que : 1 spat

 

 

 

 

= 4  stéradians

 

 

 

 

 

Suite

*    Base de la géométrie: les angles

*    Angles orientés

*    Trisection

*    Droite

*    Constructions élémentaires: angles

Voir

*    Base de la géométrie: la droite

*    Bissectrice

*    Construction au compas

*    Constructions avec des allumettes

*    Diamètre

*    GéométrieIndex

*    Groupes

*    JeuxIndex

*    Points

*    Polygones

*    Symétries motifs de frises et tapisseries

*    Trigonométrie – Formules

Dicomot

*    Glossaire des termes de mathématique

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