NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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INDEX Géométrie	Bases	Point	Droite	Plan
		Parallèle	Perpendiculaire	Angle
		Égalité	Distance	Angle entre droites
		Sommaire de cette page >>> INDEX – ANGLES >>> Approche – Rapporteur >>> Mesure des angles >>> Orientation >>> Égalité >>> Bissectrice >>> Construction >>> Valeurs trigonométriques >>> Angles fractions de Pi >>> Angle solide

Adjudant: L'eau bout à 90 degrés.

Bidasse: Pardon mon adjudant, je crois bien que c'est à 100 degrés.

Adjudant: Bien sûr, où avais-je la tête? C'est l'angle droit qui bout à 90 degrés.

Perle mathématique: l’angle aigu a été trouvé par le savant Cosinus.

Perle politique: entre Daech et notre conception de l'islam, il n'y a pas 180 mais 360 degrés de différence. Ahmet Davutoglu, premier ministre turc (14/10/2015)

Voir Pensées & humour

Index ANGLES

Selon la valeur 8° = 2/45 9° = /20 10° 58 = /17 11° 15 = /16 15° = /12 16,36 ... = /11 18° = /10 18°, 36°, 54°, 72° 18,43 … = arctan(1/3) 20° = /9 22,5° = /8 25° 7 = /7 Voir Pi/7 26,56 …° = arctan(1/2) 30° = /6 35° 24' = 1/Phi 36° = /5 Voir Pi/5 36° 87… (triangle 3, 4, 5) 41,41° (cos = 0,75) 45° = /2 Trois carrés et 45° 48° = 4/15 54° = 3/10 57° 17' 44'' = 1 rad 57° 29 … = 1 rad 60° = /3 67,5° = /8 70° =/18 72° = 2/5 72°82 75° 90° = /2 92° 42' = Phi 106° Nez 108° = 3/5 109° 28' 120° = 2/3 128° 6 = 5/7 135° = 3/4 137,5° Voir Phyllotaxie 138,19° 150° = 5/6 180° = 360° = 2 400° 720° = 4 Angles selon la valeur de la tangente (en dessin) Angles des polygones Angles en Pi / n – Valeurs Angles en Pi / n – Calculs Angles en Pi / 5 Angles en Pi / 10

TYPES d'angles: complémentaires, supplémentaires, etc. Types comme vus en 6e (illustration en grand) Abscisse angulaire (angle) Angle – Types d'angles Angle apparent de la Lune Angle droit Angles entiers dans le polygone Angles orientés Angle solide Angles dans le cercle (inscrit, au centre) Angles dans le parallélogramme Angles des polygones Angles du pentagone : 36°, 54°, 72°, 108° Angle entre deux droites – Calcul Argument d'un nombre complexe (angle) Azimut Bissectrice Calculs par comparaisons Cap et gisement Carrés en rotation Cercle trigonométrique Chaînette Construction de l'angle Pi/7 (heptagone) Conversion d'unités d'angles Décagone Degrés Gons Grades Minute Nombre d'or et angles Nombres imaginaires Pentagone Pi / n – Expressions avec radicaux, calculs Polygone Position 127° Racine de 1: i et j Radians Roulis, tangage et lacet Secteurs de disques typiques sin² + cos² = 1 Somme des angles dans un quadrilatère Somme des angles du triangle Spat Stéradian Théorème de Niven Transformée de Fourier Triangle d'Ailles (15° et 75°) Trigonométrie – Identités / Relations Trigonométrie – Index Trigonométrie – Tables Trigonométrie – Valeurs usuelles Trigonométrie des angles en Pi/7 Unités d'angle – Radian, degré, grade Unités SI

Voir Expressions avec le mot "angle"

Approche
Demi-tour: 180° Quart de tour: 90° Tour complet: 360°	Rapporteur (anglais: Protractor)
Équerre de chantier (anglais: try square or T-square)		Équerre à dessin (anglais: set square or triangle)

Voir Construction avec équerre / Le Caire

MESURE des angles

Unités	1 tour sur le cercle =
Degrés	360°
Radians	2 = 6,28 …
Grades*	400 gon
Tour	1 tr

* grade ou degré centésimal;

symbole gon (pas de pluriel aux symboles);

gardian en anglais

Complémentaires et supplémentaires

Angles complémentaires: dont la somme vaut 90°, soit / 2 radians; ils forment un angle droit.

Angles supplémentaires: dont la somme vaut 180°, soit radians; ils forment un angle plat.

Voir Bases de la géométrie: types d'angles / DicoMot

Angles – Unités et notations

Exemple avec les deux angles aigus du triangle rectangle isiaque.

1 – Ces deux unités sont d'usage général. Disponibles sur toutes les calculettes. En maths (trigonométrie), ce sont les radians qui sont généralement utilisés (unité SI). Intérêt: angle représentant le report sur la circonférence de la longueur du rayon.

2 – Les degrés sexagésimaux sont utilisés en sciences, astronomie, géographie … Ce sont les seules unités pour lesquelles le symbole est collé aux nombres (pour toutes les autres il faut ménager un espace). Après les secondes d'arc, on repart en décimales. Certains poussent le vice avec en calculant les tierces.

3 – Pratiquement jamais utilisés sauf en topographie et en navigation maritime. Son symbole est "gon" et non plus "gr". Intérêt: par définition, le quart du méridien terrestre fait 100 grades en mesure angulaire. Inconvénient: un tiers de tour vaut 133,333 … gons alors que c'est 120 en degrés.

Voir Toutes les autres unités d'angle

Quelques conversions d'unités d'angle

Voir Tables trigonométriques radians et degrés

ORIENTATION
	Antihoraire. Sens inverse des aiguilles de la montre. Rotation de la Terre vue au pôle nord. Direct +
	– Indirect Horaire. Sens des aiguilles de la montre

ÉGALITÉ
Angles opposés par les sommets. Note: parfois nommé angles verticaux (terme plutôt anglais) qui alors peuvent être confondus avec l'angle vertical mesuré par le géomètre avec un instrument spécial nomme l'éclimètre. Anglais: A pair of angles opposite each other, formed by two intersecting straight lines that form an "X"-like shape, are called vertical angles or opposite angles or vertically opposite angles. Angles alternes- internes	Les angles opposés par le sommet (en jaune) sont égaux (même mesure). Les angles opposés par le sommet(en bleu) sont égaux. Les angles alternes-internes sont égaux. Voir Toutes les dénominations des angles
Illustration Deux pièces identiques (trapèzes).

BISSECTRICE
	Bissectrice La bissectrice OB partage l'angle MOM' en deux. Tout point de la bissectrice est à égale distance de chacune des deux droites: BM = BM'. Construction Soit une ouverture du compas. Cercle de centre O qui coupe les demi-droites en A et B. Cercle de centre A. Cercle de centre B. Ces deux cercles se coupent en C. OC est la bissectrice.

Construction
	On donne un angle de sommet A et un point C. On se propose de construire la ligne brisée ABCD avec AB = BC = CD. Construction 1. Segment AC 2. Médiatrice de AC. Intersections M et B. 3. Cercle (C, CM). Intersection D. 4. ABCD possède la propriété requise.

VALEURS TRIGONOMÉTRIQUES

Degrés	0	30	45	60	90	120	135	150	180
Radians	0
Sinus	0				1				0
Cosinus	1				0				– 1
Tangente	0		1		nd		– 1		0

nd = non défini (tend vers infini)

Voir Trigonométrie / Table complète / Angles de 30° et 60°

Mnémotechnique

Voir Mnémotechnique

Illustration

Notez le carré formé avec 1/2. Il permet de tracer les angles:

De 45° avec les diagonales;

De 30°, en prenant 1/2 sur y; et

De 60°, en prenant 1/2 sur x.

Cas de Pi / 8

Notez la valeur remarquable de la tangente.

Rectangle trigonométrique

Voir Brève 910

Voir Distance entre 1/3 et 1/2 / Construction d'un angle de 30° / Calculs trigonométriques autour de Pi/8 /

Trisection du carré / Octogone et Pi / 8

Angle fraction de Pi
Voir table pour les fractions de Pi/1 à Pi /12 >>> Voir table pour relations avec angles en k.Pi/n >>>

Voir Angles du pentagone en Pi/5 / Calcul des lignes trigonométrique de Pi/5 /

Angle en Pi / 7 / Angle Pi / 12 / Angles en Pi/n

Partage du cercle en n parts égales / Tables trigonométriques

ANGLE SOLIDE

A) DANS UN PLAN
On mesure les angles en degrés ou mieux, en Radians: angle tel que la longueur de l'arc de cercle est égale au rayon C'est pratique, car la formule de calcul est simplement Longueur égale angle par rayon On obtient la longueur d'un arc de cercle en multipliant le rayon par l'angle en radians	L = a . R
B) DANS L'ESPACE
On mesure les angles en degrés-carrés ou mieux, en STÉRADIANS: Angle solide tel que la surface sur la sphère est égale à 1 quand le rayon vaut 1 Définition du stéradian (sr): Angle solide ayant son sommet au centre d’une sphère découpant, sur la surface de cette sphère, une aire égale à celle d’un carré ayant pour côté le rayon de la sphère. Et aussi: Unité d'angle solide correspondant à un angle solide qui découpe sur une sphère de même centre que lui une surface d'aire égale au carré du rayon de la sphère.  La formule de calcul est donnée par Aire égale angle solide par rayon au carré	A = W . R²
C) ANGLE SOLIDE – Exemple
Pour une constellation Le centre est le point d'observation sur la Terre Le cône de contour est engendré par les droites issues du centre qui suivent le contour de la constellation Ce cône (non-régulier) découpe une surface sur une sphère de référence La valeur de cette aire donne l'angle solide sous lequel est vue la constellation
D) VALEURS
L'espace tout entier vaut 4 (rayon au carré; ici, il vaut 1) Un angle de 1 stéradian embrasse environ 1 / 12,5664 de l'espace entourant un point, soit	= 12,5664 stéradians 7, 96 %
Note
On rencontre quelquefois une unité appelée spat (sp), définie comme étant l’angle solide comprenant la totalité de l’espace autour d’un point Il en résulte que : 1 spat	= 4 stéradians

Suite	Base de la géométrie: les angles Angles orientés Trisections de l'angle et autres figures Trigonométrie – Relations Droite Constructions élémentaires: angles
Voir	Base de la géométrie: la droite Bissectrice Construction au compas Constructions avec des allumettes Diamètre Géométrie – Index Groupes Jeux – Index Points Polygones Symétries motifs de frises et tapisseries Trigonométrie – Identités
Dicomot	Glossaire des termes de mathématique
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