NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Trigonométrie

 

Débutants

Trigonométrie

CALCULS SIMPLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

 

Trigo

Pentes

Exemple

Avancés

 

Sommaire de cette page

>>> Tangente et pente

>>> Conversion radians / degrés

>>> Distance

>>> Avec tableur

>>> Pente sur une carte

>>> Clinomètre

>>> Anglais

 

 

 

 

 

CALCULS EN TRIGONOMÉTRIE

 Exemples simples pour se familiariser.

Calcul de pente (inclinaison)

La pente exprime l’inclinaison d’une surface par rapport à l’horizontale. C'est le rapport entre le dénivelé (hauteur) et la distance horizontale

 

On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles.

Anglais: the grade of a slope, incline, gradient, mainfall, pitch, rise, angle of inclination, run

 

 

Tangente et Pente

 

Données

 

*    On caractérise une pente par un pourcentage, notamment sur les panneaux routiers*.

*    Une pente de 5% indique que la dénivellation est de 5 m tous les 100 m.

*    C'est la valeur de la tangente de l'angle exprimée en pourcentage

* valable en topographie (terrain, route, chemin de fer, piste de ski), pour les bâtiments (toits, escaliers, descente de garage, rampe d'accès), pour les véhicules (navires, avions, 4x4), etc.

 

 

Illustration

 

 

5 m de dénivelé

100 m de distance horizontale

L'angle alpha est l'inclinaison ou angle d'élévation

La longueur x est la longueur suivant la pente (la distance parcourue par la voiture, s'il s'agit d'une route)

 

 

Questions

 

*    Quelle est la valeur de l'angle?

 

 

Réponse

 

La calculette ou la table donne:

 

 

Comment utiliser la calculette

 

0 – Se mettre en position degré;

 

1 – Entrer la valeur 5% = 0,05;

 

2 – Inverser les fonctions; et

 

3 – Demander le calcul de tangente-1 plus connue sous le nom d'arctangente. C'est le calcul de la valeur d'un angle en connaissant sa tangente.

 

Voir Calculette

 

 

 

 

Voir Gradient: grandeur qui caractérise une variation

 

 

Conversion radians / degrés

 

Profitons de l'occasion pour convertir radians et degrés.

(Si la calculette ne possède pas la fonction degré)

Angle alpha

 

*    en radian, tel que donné par la calculette : 0,0499583957

*    en degrés décimaux:
0,0499583957 x 180 / Pi = 2,862405225°

*    en degrés sexagésimaux:

2° + 0, 862405225°

        0, 862405225° x 60 = 51,74431350'

                                              51,74431350' = 51 ' + 0,74431350'

                                                                                     0,74431350' x 60 = 44,65881000"

Soit:      2° 51' 44,66"

 

 

 

 

Distance

 

Questions

 

*    Quelle est la distance parcourue par la voiture? Valeur de x?

 

Calcul du trajet (x)

 

Utilisation du cosinus qui vaut le rapport du côté à té (ou contigu) et de l'hypoténuse.

 

Vérification avec Pythagore

 

x² = 100² + 5² = 10 025

x = 100,125

 

 

 

 

x = 100,125

 

Voir Théorème de Pythagore

 

 

 

Table de VALEURS

 

Pour toutes les pentes de 1 à 30%

Pente

Longueur

Dénivellation

Angle

radians

Angle

degrés décimaux

 

Angle degrés sexagésimaux

         °             '              "

Parcours

Pythagore

1%

100

1

0,010

0,573

0

34

37,63

100,005

100,005

2%

100

2

0,020

1,146

1

8

74,58

100,020

100,020

3%

100

3

0,030

1,718

1

43

10,15

100,045

100,045

4%

100

4

0,040

2,291

2

17

43,66

100,080

100,080

5%

100

5

0,050

2,862

2

51

74,43

100,125

100,125

6%

100

6

0,060

3,434

3

26

1,78

100,180

100,180

7%

100

7

0,070

4,004

4

0

25,04

100,245

100,245

8%

100

8

0,080

4,574

4

34

43,53

100,319

100,319

9%

100

9

0,090

5,143

5

8

56,59

100,404

100,404

10%

100

10

0,100

5,711

5

42

63,56

100,499

100,499

11%

100

11

0,110

6,277

6

16

63,79

100,603

100,603

12%

100

12

0,119

6,843

6

50

56,64

100,717

100,717

13%

100

13

0,129

7,407

7

24

41,47

100,841

100,841

14%

100

14

0,139

7,970

7

58

17,66

100,975

100,975

15%

100

15

0,149

8,531

8

31

84,59

101,119

101,119

16%

100

16

0,159

9,090

9

5

41,66

101,272

101,272

17%

100

17

0,168

9,648

9

38

88,27

101,435

101,435

18%

100

18

0,178

10,204

10

12

23,84

101,607

101,607

19%

100

19

0,188

10,758

10

45

47,80

101,789

101,789

20%

100

20

0,197

11,310

11

18

59,59

101,980

101,980

21%

100

21

0,207

11,860

11

51

58,67

102,181

102,181

22%

100

22

0,217

12,407

12

24

44,51

102,391

102,391

23%

100

23

0,226

12,953

12

57

16,59

102,611

102,611

24%

100

24

0,236

13,496

13

29

74,40

102,840

102,840

25%

100

25

0,245

14,036

14

2

17,46

103,078

103,078

26%

100

26

0,254

14,574

14

34

45,30

103,325

103,325

27%

100

27

0,264

15,110

15

6

57,45

103,581

103,581

28%

100

28

0,273

15,642

15

38

53,48

103,846

103,846

29%

100

29

0,282

16,172

16

10

32,95

104,120

104,120

30%

100

30

0,291

16,699

16

41

95,47

104,403

104,403

 

 

Si vous voulez vous entraîner sur un tableur (ici Excel), voici les formules à utiliser:

 

 

A

B

C

D

E

 

Pente

Longueur

Dénivellation

Angle

radians

Angle

 degrés décimal

5

=C5/B5

100

1

=ATAN(C5/B5)

=DEGRES(D5)

 

 

F, G et H

I

J

 

 

Angle degrés sexagésimaux

 

Parcours

Pythagore

5

=ENT(E5)

=ENT((E5-F5)*60)

=(E5-F5-G5/60)*60*100

=B5/COS(D5)

=RACINE(B5*B5+C5*C5)

 

 

 

 

 

Pentes sur une carte

 

Pente entre deux points

 

Comment calculer la pente sur une carte ?

La carte doit inclure les courbes de niveau (cas des cartes IGN). Il s'agit de la couche orographique de la carte complète.

Les courbes principales sont renforcées et comportent une indication d'altitude en mètres. La lecture est telle que le haut des nombres montrent le haut.

Le point A est à l'altitude 240 m.

Le point B est à l'altitude 210 m.

La distance horizontale est  mesurée à l'aide de l'échelle: AB = 450m

Pente: = (240 – 210) / 450 x 100 = 6,7%

Soit: 3,83°

 

Pentes moyennes en un point

 

Pour calculer la pente en un point on calcule les pentes selon deux axes.

Pour calculer les pentes nord-sud et ouest-est en un point, on relève les altitudes en neuf points dans une grille d'un pas donné (ici 500 m):

 

Avec l'exemple ci-contre

 

480

570

635

575

580

650

650

670

650

Exemple de carte orographique réelle (région de Thann)

Pente en nord-sud

 

PNS = – 9,25 %           soit: – 5,28°

Pente ouest-est

 

POE = 7,625%        soit:  – 4,36°

Pente globale

 

P = 11,99%          soit: 6,84°

 

 

 

Inclinomètre ou clinomètre

 

Clinomètre chevalet

Pour pose directement au sol.

En rouge, une sorte de fil à plomb, montrant la verticale.

À étalonner.

 

Clinomètre de visée

Aligner le haut de cet instrument avec la pente à mesurer.

À étalonner (100% pour un angle de 45°).

 

 

Boussole-inclinomètre

 

Inclinomètre pour véhicule

Pitching = tangage et Rolling = roulis

 

 

Anglais: Inclinometer or clinometer

 

 

 English corner

 

Slope is a measure of change in elevation.

One way to express slope is as a percentage. To calculate percent slope, divide the difference between the elevations of two points by the distance between them and then multiply the quotient by 100. The difference in elevation between points is called the rise. The distance between the points is called the run. Thus, percent slope equals

(rise / run) x 100.

 

 

 

 

Suite

*  Pente – Calcul avancé

*  Les six degrés de liberté (tangage, roulis lacet …)

Voir

*  Théorème de Pythagore

*  Trigonométrie – Débutant

*  Trigonométrie – Calculs avancés

*  Trigonométrie – Formules

Aussi

*  Angle et cercle trigonométrique

*  Unités

Site

*  Calcul d'une pente en pourcentage – lememento avec calculateurs en ligne

*  Pente(topographie) – Wikipédia

*  Calculer le pourcentage d'une pente – Scoutorama

*  Inclinomètre –Wikipédia  

*  Slope – education.psu.edu

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