NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs simples

Angles orientés

Pi/5 = 36°

Arctan

Calculs avancés

Cosécante

Pi/2 =  90°

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle le plus simple

>>> Triangle dissipé

>>> Triangle fou

 

>>> Le cercle trigonométrique

>>> Bilan

>>> Amusement

 

 

 

 

 

 

L'arithmétique  sert à  compter  et à mesurer des longueurs.

L'algèbre  est un outil facilitant  la résolution  des équations.

La géométrie  étudie  la propriété  des objets  dans l'espace.

L'analyse (dérivées et intégrales) s'intéresse aux mouvements

La trigonométrie est un procédé  de calcul relatif aux angles.

Voir Pensées & humour

 

 

TRIGONOMÉTRIE

Spécial DÉBUTANTS

 

Je n'y comprends rien!

C'est du chinois!

Pourquoi diable, avoir inventé quelque chose d'aussi barbare?

 

Le cercle trigonométrique quèsaco?

 

 

En bref, pourquoi la trigo?

 

 

 

Les Anciens utilisaient la formule du triangle de Pythagore pour résoudre des problèmes sur les triangles.

 

 

 

 

Cela est devenu bien vite insuffisant. On en est venu à faire des tables qui associaient un angle du triangle rectangle à la longueur de ses côtés. Ces mesures ont été baptisées sinus pour le côté opposé, cosinus pour le té à té et tangente pour le rapport entre les deux.

 

 

Pour s'y retrouver et disposer d'une référence commune, les mathématiciens ont normalisé le "terrain de jeu" en disant que tous les triangles rectangles considérés seront posés sur un cercle de rayon unité.  Le point M, qui se déplace sur la circonférence du cercle, devient le centre d'intérêt.

 

La trigonométrie ce n'est pas plus que cela, au départ. L'outil c'est révélé si puissant que cette branche des mathématiques s'est considérablement développée au service de nombreux domaines, comme l'astronomie, le calcul des images, l'électronique

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Triangle le plus simple

 

Triangle rectangle isocèle

 

*    Il s'agit d'un carré coupé en deux par sa diagonale.

*    Ce triangle rectangle possède les propriétés suivantes:

*      Angle droit (90°);

*      Deux angles qui valent 45°;

*      Deux côtés égaux: disons qu'ils mesurent 1 unité;

*      Une hypoténuse qui mesure  (Théorème de Pythagore)
          
(1² + 1²) = 2 = 1, 414…

Constat

*    C'est un triangle qui se laisse faire nous connaissons tous ses côtés et tous ses angles.

Plus grand plus petit

*    C'est toujours le cas, même si nous imposons la longueur d'un côté.

*    Les proportions sont conservées (Théorème de Thalès):

*      Si un côté de l'angle droit vaut 15,

*      l'autre vaut 15 aussi;

*      l'hypoténuse mesure 15 2 = 21,21…

Jusqu'ici, rien de compliqué, de la géométrie élémentaire

 

 

 

Triangle un peu plus dissipé

 

Triangle rectangle

 

*    Il s'agit d'un rectangle coupé en deux par sa diagonale. Les choses se corsent.

*    Par définition, le triangle étant rectangle.

*      L'un des angles est droit (90°).

*      La somme des deux autres vaut aussi 90°.

*      L'un vaut .

*      L'autre 90° .

*    Si la longueur de l'hypoténuse est 1 unité:

*      Quelles sont les mesures de a et b?

*      Eh, bien, ce n'est pas évident !!!

 

Pour  = 10° a = 0,17 & b = 0,98

Pour  = 20° a = 0,34 & b = 0,94

Pour  = 30° a = 0,50 & b = 0,86

 

C'est ici qu'intervient la trigonométrie

Qui n'est pas beaucoup plus qu'une bibliothèque

(une base de données)

des valeurs de a et b selon les angles .

 

 

Triangle fou

 

Triangle quelconque

 

*    Avec un triangle quelconque, il n'est pas possible d'en dire grand-chose:

*      Les trois côtés sont quelconques.

*      Il existe une relation compliquée entre eux.

*      Les trois angles sont quelconques.

*      Leur somme:
 


*    Le dessin de la hauteur permet de découper le triangle quelconque en deux triangles rectangles.
Ce qui permet de se ramener au cas du triangle rectangle et à … la trigonométrie.

 

 

 

 

 

 

En résumé

 

Le triangle rectangle isocèle est un cas particulier.

Le triangle quelconque se ramène au triangle rectangle.

Le triangle rectangle se calcule à l'aide de la trigonométrie.

 

Dans le triangle rectangle, la trigonométrie donne

les longueurs des côtes en fonction d'un angle.

 

 

On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles.

Mais, tout triangle peut être découpé en deux triangles rectangles

ayant la hauteur du premier comme côté commun.

 

 

 

"Terrain de JEU": Le cercle trigonométrique

Explication détaillée pour bien comprendre la notion de cercle trigonométrique

 

*    La trigonométrie est essentiellement une affaire d'angles et de mesures associées aux angles.

*    Pour s'y retrouver facilement, on a inventé un cercle qui va bien nous aider.

*    Notre "terrain de jeu" se limite exclusivement à la circonférence du cercle. Le point M, qui est quelconque en géométrie, ici, ne pourra se trouver que sur cette ligne de circonférence. Ni dans la surface du disque, ni en dehors.

 

 

 

Le point M est toujours sur le cercle.

 

*    En géométrie, les coordonnées de M sont x pour l'abscisse et y pour l'ordonnée.

*    En trigonométrie, le point M se trouvant toujours sur le cercle, alors:

*  l'abscisse x définit le point M et son image M'; et

*  l'ordonnée y définit le point M et son image M".

*    Toujours du fait d'être sur le cercle, les coordonnées de M (x et y) varient seulement entre:

-1 et +1

 

Les coordonnées du point M, x et y, prennent des valeurs comprises entre -1 et +1.

 

*    Pour bien préciser que nous sommes sur un terrain de jeu particulier en trigonométrie:

*  l'abscisse est nommée COSINUS, et

*  l'ordonnée est nommée SINUS.

*    Le point M est caractéristique de l'angle:

 

 

La notation à droite correspond

 aux angles orientés

 

*    On dit que:

*  x est le cosinus de l'angle t, et

*  y est le sinus de l'angle t.

 

*    Le cosinus comme le sinus varient de -1 à +1  selon la position de M sur le cercle.

 

 

En trigonométrie les coordonnées du point s'appellent cosinus et sinus. Ce sont des valeurs qui caractérisent aussi l'angle t. Elles prennent des valeurs exclusivement entre -1 et +1.

Une valeur de cosinus caractérise deux points sur le cercle: M et M'.

Une valeur de sinus caractérise deux points sur le cercle: M et M".

 

 

*    Faisons faire un tour complet au point M, partant de A en passant par B, C, D et revenant en A. Le point M parcourt la circonférence d'un cercle de rayon 1. La distance parcourue (périmètre) est égale à:

 

*    Par définition, on dira que l'angle t correspondant au tour complet mesure .

 

*    Dit autrement, nous introduisons une nouvelle unité d'angle, le radian, avec la correspondance:

 

 

 

 

En parcourant le périmètre (P = 2) du cercle le point M fait un tour complet (t = 360° = 2 radians).

 

*    Les fractions d'angles s'en déduisent immédiatement:

 

*  de A à C, soit:  

*  de A à B, soit:  

*  de A à D, soit:  

 

Voir Ces valeurs et d'autres sur le cercle

 

*    Si Pi radians correspondent à 180°, alors 1 radian correspond à 180 / 3, 14 = 57,29…°.

 

*    On retiendra que le radian est une mesure d'angle en même temps qu'une mesure de longueur sur le cercle trigonométrique (rayon = 1).

De sorte que: la valeur de l'angle t en radians est aussi la valeur de la longueur de l'arc de cercle intercepté par l'angle t.

Par exemple: l'angle AOC vaut 180° = Pi radians = 3,14… radians; La longueur de l'arc ABC est égale à 3,14 unités, l'unité de longueur étant celle de R le rayon du cercle.

 

 

Bilan

Sur le cercle trigonométrique, un point M définit un angle t dont abscisse (x = cosinus) et ordonnée (y = sinus) caractérisent cet angle.

 

Le radian est une mesure d'angle en même temps qu'une mesure de longueur sur le cercle trigonométrique (R = 1 unité de longueur).

 

 

Amusement

 

*    Un chat s'intéresse à un ballon. Il ne peut naviguer que sur la piste périphérique du cercle. Sa décision prise de rejoindre la balle, il ne peut pénétrer dans le disque et rejoindre le point central qu'en prenant le trajet vert. Le suivi du sinus puis celui du cosinus.

 

*    Quelle est la position la plus favorable pour lui? Celle qui lui donnera le parcours le plus court. Et, le plus long?

 

*    Autrement-dit: quelle est la position de M pour minimiser s + c?

 

 

*    Avec un tableur, je calcule
s = sinus et c = cosinus
et j'en fais la somme.
Un pas de calcul de 10° suffira pour se rendre compte du résultat.

 

 

 

 

 

 

*    Le trajet le plus long est obtenu pour un angle de 45°. Le chat devra parcourir 1, 4142 unité de longueur (celle-ci étant le rayon du cercle).

 

*    Par conte, le plus court sera obtenu lorsque le chat sera en A ou en B. Le trajet mesure une unité de longueur (le rayon du cercle).
 

 

 

 

 

 

Amusement (suite)

 

Question

*    Cette fois, une chèvre broute dans les deux prés dessinés en vert. Ce sont des près carrés dont le côté vaut le sinus pour l'un et le cosinus pour l'autre.

 

*    Où le berger doit-il placer le point M sur le cercle pour maximiser la superficie de l'herbe à brouter?

 

Réponse

*    Aire du pré vert à droite: As = s² = sin² (t).

Aire du pré vert en bas: Ac= c² = cos² (t).

Or dans un triangle rectangle (Pythagore):
s² + c² = OM² = 1 unité de longueur.

 

*    La superficie totale est toujours égale une unité de surface. Le point M peut se trouver n'importe où sur le cercle, la chèvre aura toujours autant à brouter.

 

 

Voir Énigmes de chèvres dans un pré

 

 

Retenons de ces énigmes

sin(t)  + cos(t)  = { de 1 à 1,4142… =  }

 

sin²(t) + cos²(t) = 1

Voir Sinus ²  + cosinus ² = 1

 

 

 

 

 

Suite en

*  Trigonométrie – Introduction et index  

*  Cours de première

*  Calculs en trigonométrie (simples)

*  Calculs en trigonométrie (avancés)

*  Intérêt de la trigo: construction des triangles

Voir

*  Angles

*  Cercle unité et triplets de Pythagore

*  Formules

*  Formules dans les triangles

*  Théorème de Thalès

*  Triangle rectangle

*  Valeurs trigonométriques

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