NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 31/01/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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		Sommaire de cette page >>> Le plus célèbre >>> Triangle rectangle >>> Triangle c = 2b >>> Triangles rectangles typiques >>> Relations métriques >>> Triangle rectangle & rectangle >>> Triangle rectangle & cercle >>> Triangle rectangle & cône >>> Hypoténuse et côté plus un >>> Trigonométrie >>> Périmètres identiques >>> Aire en nombres entiers

TRIANGLE RECTANGLE

Célèbre triangle !

Du fait de l'extraordinaire Théorème de Pythagore.

Si simple et si étudié.

Le plus célèbre! – Le triangle 3456
Un triangle rectangle qui arrive à faire une suite de nombres: 3, 4, 5, 6. Un triangle dont l'hypoténuse et l'aire sont des entiers. Note: un triangle dont les mesures des côtés et de l'aire sont entières ou rationnelles est dit héronien.

Voir Triangles rectangles héroniens et nombres congruents / Triangle 345 en équation

TRIANGLE RECTANGLE et son vocabulaire
Triangle rectangle: triangle dont l'un des angles est droit. Hypoténuse BC - C'est le côté opposé à l'angle droit A. - Diamètre du cercle circonscrit. - Longueur double de celle de la médiane issue de l'angle droit. Cathètes AB et AC - Côtés de l'angle droit. Angles en B et en C - Leur somme vaut 90°; ils sont complémentaires.	a² = b² + c² Aire = ½ b.c Suite >>>

TRIANGLE c = 2b
Ce triangle rectangle a la même aire qu'un carré de côté mesurant b. Aire = ½ b x 2b = b² Ce type de rectangle est à la base d'une énigme de découpage du carré en cinq parties égales. Avec Pythagore: a² = b² + (2b)² = 5b² a = b5 Voir Racine de 5 Angle en C: = Artg(1/2) = 26,5650 …°

Voir Rectangle d'or

Triangles rectangles typiques
Triangle rectangle isocèle 45-45 Dimensions selon que le côté a mesure 1 ou l'hypoténuse H mesure 1.

Voir Triangle rectangle isocèle rationnel

Triangle rectangle 30-60

Dimensions selon que l'hypoténuse H mesure 1, ou les côtés a ou b.

Deux tels triangles accolés par le grand côté donne un triangle équilatéral.

L'hexagone est formé de 16 tels triangles.

Triangle rectangle d'or 18-72

Deux tels triangles accolés par le grand côté forment un triangle isocèle d'or, lequel constitue chacune des cinq branches de l'étoile à cinq branches.

Il existe deux autres triangles rectangle à section dorée.

Triangle doré de Pythagore

Triangle rectangle dont le nombre d'or est l'hypoténuse >>>

RELATIONS MÉTRIQUES

Principales relations dans le triangle rectangle:

	a, b, c	h
Hauteur	h = b.c / a	h² = HB.HC
Côtés	a² = b² + c²
Aire	A = ½ b.c	A = ½ a.h

Voir SUITE / Moyenne géométrique
/ Théorème de Pythagore

Triangle RECTANGLE et sa HAUTEUR

Angles égaux et complémentaires La somme des angles d'un triangle est 180° Dans un triangle rectangle, avec un angle droit, la somme des deux autres angles est 90°. Ils sont complémentaires. C'est le cas pour les angles et notés sur la figure. Triangles semblables: Thales et Pythagore Les trois triangles de la figure: ABC, CBH et ACH ont des angles égaux, ils sont semblables (ou homothétiques). Le théorème de Thales s'applique à ces trois triangles. Outre le rapport des longueurs des côtés, celui des hauteurs à la base est constant: L'aire du grand triangle est égale à la somme des deux plus petits h.c/2 = a.h"/2 + b.h'/2 h.c = a.h" + b.h' Remplaçons les h par leur valeur donnée ci-dessus k.c.c = k.a.a + k.b.b c² = a² + b² Soit, une démonstration originale du théorème de Pythagore.

TRIANGLE rectangle & RECTANGLE

Plus facile avec deux rectangles !

AB . AC = BC . AH

Démonstration

Aire du rectangle ocre	AB . AC
et aussi, 2 fois celle du triangle ABC	2 x AT
Aire du rectangle bleu	BC . AH
et aussi, 2 fois celle du triangle ABC	2 x AT
En constatant l'égalité	AB . AC = BC . AH

TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. OM est l'une des médianes du triangle rectangle ABM. Elle découpe le triangle rectangle en deux triangles – AOM et MOB – qui ont même aire. Base égale (AO = OB) et même hauteur (MH); L'angle MOB est le double de l'angle MAB.

TRIANGLE RECTANGLE et CÔNE
Un triangle rectangle en rotation autour d'un de ses côté engendre un cône. Le disque (directrice du cône) de centre O et de rayon r est la base du cône. La surface engendrée par l'hypoténuse du triangle rectangle, la génératrice g du cône, engendre la surface latérale du cône. Le point S est le sommet du cône. Le segment OS est la hauteur du cône.	Suite en Cône

Hypoténuse égal côté + 1

Trouver les triangles rectangles

dont la longueur de l'hypoténuse est égale à celle d'un côté plus 1.

H² =	A² + B²
(A+1)² =	A² + B²	Exemple:
2A + 1 =	B²	B = 9	A = (81-1)/2 = 40
A =	(B² - 1) / 2		H = 41

B	A	H
1	0	1
2	1,5	2,5
3	4	5
4	7,5	8,5
5	12	13
6	17,5	18,5
7	24	25
8	31,5	32,5
9	40	41
10	49,5	50,5

Le seul triangle dont les trois mesures sont consécutives est le triangle 3, 4 et 5.

Voir Triangles Pythagoriciens

Trigonométrie
On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles. Il faut donc, en premier lieu, montrer que le triangle est rectangle. Soit, c'est une donnée de l'énoncé; Soit, il faut le démontrer: par égalité avec un autre angle, le triangle est inscrit dans un cercle et l'un des côtés passe par son centre, on identifie un carré, etc.

Périmètres identiques

Trois triangles rectangles, même périmètre: 120

30 - 40 - 50

24 - 45 - 51

20 - 48 - 52

Six triangles rectangles, même périmètre: 720

180 - 240 - 300	120 - 288 - 312	144 - 270 - 306
72 - 320 - 328	45 - 336 - 339	80 - 315 - 325

Voir Triangles de périmètre 20

Aire en nombres entiers
On cherche les triangles rectangles ayant pour côtés des fractions d'entiers, et dont l'aire est un entier. Cet entier est un nombre congruent. Les premiers nombres congruents sont 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23 …

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