NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire Triangle

 

 

INDEX

TRIANGLE

Types

Rectangle

Isocèle

Équilatéral

Quelconque

Obtusangle

Sphérique

Homologique

Calabi

 

Particuliers

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés du triangle rectangle

>>> Le plus célèbre

>>> Triangles rectangles entiers

>>> Triangle c = 2b

>>> Triangles rectangles typiques

>>> Triangle doré de Kepler

>>> Relations métriques

>>> Triangle rectangle & rectangle
>>> Triangle rectangle & cercle

>>> Triangle rectangle & cône

>>>  Hypoténuse et côté plus un

>>> Trigonométrie

>>> Périmètres identiques

>>> Aire en nombres entiers

 

 

 

 

Perle mathématique (vu sur copie du bac): le triangle rectangle est un triangle qui a trois côtés parallèles.

Voir Pensées & humour

 

 

TRIANGLE RECTANGLE

 

Célèbre triangle ! Si simple et si étudié.

*       Ceinturé par l'extraordinaire théorème de Pythagore, et

*       Mesuré sous toutes les coutures par la trigonométrie.

Le grand côté est l'hypoténuse. Les deux autres sont les cathètes.

Un triangle rectangle qui a deux côtés égaux est un triangle rectangle isocèle, sinon c'est un triangle rectangle scalène.

Un rectangle coupé en deux par une de ses diagonales forme deux triangles rectangles.

Tout triangle partagé par une de ses hauteurs donne naissance à deux triangles rectangles.

 

Anglais: Right triangle, right-angled triangle;

The side opposite the right angle is called the hypotenuse

 

Devinette

Le Dab de Paul Pogba est-il parfait? Claire, une prof de maths à Aubervilliers, en a fait un problème divertissant de mathématiques (nov. 2016) pour ses élèves de 4ème.

La question revient à demander si les deux triangles sont rectangles.

Paul Pogba, né en 1993 en Seine-et-Marne, est un joueur de football.

Solution

 

 

 

Propriétés du triangle rectangle

Le triangle rectangle possède un angle droit (A). Cet angle est signalé par la petite équerre bleue)

 

Le côté opposé (BC) à l'angle droit se nomme l'hypoténuse.

 

Les deux autres côtés (AB et AC), adjacents à l'angle droit, sont les cathètes. Selon l'angle considéré (B ou C), les cathètes deviendront sinus pour l'une et cosinus pour l'autre; c'est la base de la trigonométrie.

 

A < 90°  Triangle acutangle

A = 90°  Triangle rectangle

A > 90°  Triangle obtusangle

Ses trois angles A, B et C.

Les angles B et C sont complémentaires.

 

Si B = C = 45°, le triangle est rectangle-isocèle.

 

A + B + C = 180°

A = 90°

B + C  = 90°

B  45°

C  45°

Ses trois côtés a, b, c:

(Théorème de Pythagore)

 

a < b + c

a² = b² + c² 

Voir Relations métriques

Périmètre

Aire

P = a + b + c

A = ½ c . b

*    Le triangle rectangle est un demi-rectangle coupé par une de ses diagonales.

 

*    Tout triangle peut être partagé en deux triangles rectangles de trois façons en dessinant les hauteurs. C'est la base du calcul de son aire.

*    La trigonométrie s'applique au triangle rectangle.

*    L'hypoténuse est l'un des diamètres du cercle circonscrit. Sa longueur est double de celle de la médiane issue de l'angle droit.

 

 

 

Le plus célèbre! – Le triangle 3456

Un triangle rectangle qui arrive à faire une suite de nombres: 3, 4, 5, 6.

 

Un triangle dont l'hypoténuse et l'aire sont des entiers.

 

Note: un triangle dont les mesures des côtés et de l'aire sont entières ou rationnelles est dit héronien.

 

Les deux angles:

53,13…° et 36,87…°

Diamètre du cercle inscrit : 2

En adoptant un coefficient 20 (rapport d'homothétie), ce triangle devient celui des maçons ou, plus généralement, des arpenteurs.

 

Avec 60 cm et 80 cm marqués sur les murs, ils contrôlent que la distance entre les extrémités est bien de 1 m.

Voir Corde du jardinier

Voir Triangles rectangles héroniens et nombres congruents / Triangle 345 en équation

 

 

Triangles rectangles entiers (Pythagoriens)

 

Nous venons de voir le cas (3, 4, 5).

 

Cas général

Pour tout nombre entier  a > 3, il existe toujours un  triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers (triplets de Pythagore).

 

Formules

Si a = 2n, le triangle est:

{2n, n² – 1, n² + 1}

 

Si a = 2n + 1, le triangle est:

{2n + 1, 2n(n + 1), 2n(n + 1) + 1}

 

Exemple {6, 8, 10}

 

c² = a² + b² = 6² + 8²

= 64 + 36 = 100 = 10²

 

 

Valeurs des côtés

 

Pour a allant de 3 à 20.

 

Nombres impairs à gauche et pairs à droite.

 

Et valeur correspondante de n en colonne bleue.

 

Tableau

 

Exemples de lecture

a = 10; alors n = 5 et b = 5² – 1 = 24 et c = 5² + 1 = 26.

a = 11; alors n = 5 et b = 2x5x6 = 60 et c = 2x5x6 + 1 = 61.

 

Commentaires

Lorsque que a est impair les valeurs de b et c sont consécutives. Lorsque a est pair, ces valeurs sont écartées de deux unités.

 

Merci à Luc pour ses idées d'améliorations

 

 

TRIANGLE c = 2b

 

*      Ce triangle rectangle a la même aire qu'un carré de côté mesurant b.

 

Aire = ½ b x 2b =

 

*      Ce type de rectangle est à la base d'une énigme de découpage du carré en cinq parties égales.

 

*      Avec Pythagore:

 

a² = b²  + (2b = 5b²

a = b5

Voir Racine de 5

*      Angle en C:

 

 = Artg(1/2) = 26,5650 …°

Voir Rectangle d'or

 

 

 

Triangles rectangles typiques

 

Triangle rectangle isocèle 45-45 (demi-carré) 

 

Dimensions selon que le côté a mesure 1 ou l'hypoténuse H mesure 1.

En effet, théorème de Pythagore: H² = a² + a²    H = a

 

Hauteurs du triangle rectangle-isocèle

 

Une des hauteurs du triangle rectangle-isocèle est égale à la demi-base.

Les deux autres sont confondues avec les côtés.

 

Voir Triangle rectangle isocèle rationnel / Aire du carré et des couronnes

 

 

 

Triangle rectangle 30-60

(triangle hémi-équilatéral ou triangle de l'écolier)

 

Dimensions selon que l'hypoténuse H mesure 1,  ou les côtés a ou b.

Deux tels triangles accolés par le grand côté donne un triangle équilatéral.

L'hexagone est formé de 16 tels triangles.

 

 

Triangle rectangle d'or 18-72

 

Deux tels triangles accolés par le grand côté forment un triangle isocèle d'or, lequel constitue chacune des cinq branches de l'étoile à cinq branches.

Il existe deux autres triangles rectangles à section dorée.

 

Triangle doré de Pythagore

 

Triangle rectangle dont le nombre d'or est l'hypoténuse >>>

 

Triangle isiaque et voisins

 

Triangle rectangle sacré ou isiaque ou 345 …  >>>

 

Triangle (1 , 2 , )

 

Base de la construction du losange doré   >>>

 

 

 

Triangle de Kepler

Triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont en progression géométrique de raison dorée. Basé sur la relation du nombre d'or qui épouse le théorème de Pythagore:

 

 

Curiosité

Périmètre du cercle circonscrit au triangle:

Périmètre du carré de droite:

Écart:

0,0048…   soit 0,095%

Voir Kepler – Biographie

 

 

 

RELATIONS MÉTRIQUES

 

*    Principales relations dans le triangle rectangle:

 

 

a, b, c

h

Hauteur

h = b.c / a

= HB.HC

Côtés

a² = b² + c²

 

Aire

A = ½  b.c

 A = ½ a.h

 

 

 

Voir SUITE /  Moyenne géométrique
/ Théorème de Pythagore

 

 

Voir RAYON du cercle inscrit

Voir Calcul de l'aire de l'arbelos

 

 

 

Triangle RECTANGLE et sa HAUTEUR

Angles égaux et complémentaires

 

*    La somme des angles d'un triangle est 180°

*    Dans un triangle rectangle, avec un angle droit, la somme des deux autres angles est 90°. Ils sont complémentaires.

*    C'est le cas pour les angles   et  notés sur la figure.

 

Triangles semblables: Thales et Pythagore

 

*    Les trois triangles de la figure: ABC, CBH et ACH ont des angles égaux ( et  et un angle droit), ils sont semblables (ou homothétiques).

*    Nous pouvons emboiter ces trois triangles comme indiqué sur la figure.

 

 

*    Le théorème de Thales s'applique à ces trois triangles. Outre le rapport des longueurs des côtés, celui des hauteurs à la base est constant:

 

*    De part notre construction (figure du haut), l'aire du grand triangle est égale à la somme des deux plus petits:

 

½ h.c = ½ a.h" + ½ b.h'

h.c    = a.h"    + b.h'

 

*    Remplaçons les h par leur valeur donnée ci-dessus en fonction de k, le rapport d'homothétie:

k.c.c = k.a.a + k.b.b

     c² =       +   

 

*    Soit, une démonstration originale du théorème de Pythagore.

 

 

 

 

TRIANGLE rectangle & RECTANGLE

 

*    Plus facile avec deux rectangles !

 

 

AB . AC = BC . AH

 

Démonstration

*  Aire du rectangle ocre

AB . AC

*  et aussi, 2 fois celle du  triangle ABC

2 x AT

*  Aire du rectangle bleu

BC . AH

*  et aussi, 2 fois celle du  triangle ABC

2 x AT

*  En constatant l'égalité

AB . AC = BC . AH

 

 

 

 

TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE

 

*  Tous les triangles inscrits dans le cercle et dont un côté est le diamètre (comme AMB) sont rectangles.

 

*  Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

*  OM est l'une des médianes du triangle rectangle ABM.

*  Elle découpe le triangle rectangle en deux triangles – AOM et MOB – qui ont même aire. Base égale (AO = OB) et même hauteur (MH);

 

*  L'angle MOB est le double de l'angle MAB.

 

*  Tous les triangles de cette figure sont rectangles. Avec le théorème de Pythagore:

 

a² + b² = 4R²

si a = b => a = R

si a = R => b = R

 

 

Voir Cercle inscrit

 

 

TRIANGLE RECTANGLE et CÔNE

 

*  Un triangle rectangle en rotation autour d'un de ses côté engendre un cône.

*    Le disque (directrice du cône) de centre O et de rayon r est la base du cône.

*    La surface engendrée par l'hypoténuse du triangle rectangle, la génératrice g du cône, engendre la surface latérale du cône.

*    Le point S est le sommet du cône.

*    Le segment OS est la hauteur du cône.

Suite en Cône

 

 

 

Hypoténuse égal côté + 1

 

*  Trouver les triangles rectangles

dont la longueur de l'hypoténuse est égale à celle d'un côté plus 1.

 

H² =

A² + B²

 

 

(A+1)² =

A² + B²

Exemple:

 

2A + 1 =

B = 9

A = (81-1)/2 = 40

A =

(B² - 1) / 2

 

H = 41

 

 

 

B

A

H

1

0

1

2

1,5

2,5

3

4

5

4

7,5

8,5

5

12

13

6

17,5

18,5

7

24

25

8

31,5

32,5

9

40

41

10

49,5

50,5

 

*     Le seul triangle dont les trois mesures sont consécutives est le triangle 3, 4 et 5.

 

Voir   Triangles Pythagoriciens

 

 

Trigonométrie

 

*    On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles.

*    Il faut donc, en premier lieu, montrer que le triangle est rectangle.

Soit, c'est une donnée de l'énoncé;

Soit, il faut le démontrer:

*    par égalité avec un autre angle,

*    le triangle est inscrit dans un cercle et l'un des côtés passe par son centre,

*    on identifie un carré,

*    etc.

 

Voir Exemples de relations trigonométriques

 

 

Périmètres identiques

 

Trois triangles rectangles, même périmètre: 120

 

30 - 40 - 50

24 - 45 - 51

20 - 48 - 52

 

 

Six triangles rectangles, même périmètre:  720

 

180 - 240 - 300

120 - 288 - 312

144 - 270 - 306

72 - 320 - 328

45 - 336 - 339

80 - 315 - 325

 

 

Voir Triangles de périmètre 20

 

 

 

Aire en nombres entiers

 

*    On cherche les triangles rectangles ayant pour côtés des fractions d'entiers, et dont l'aire est un entier. Cet entier est un nombre congruent.

*    Les premiers nombres congruents sont 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23 …

Voir Triangle (13, 14, 15) / Périmètre = aire

 

 

Devinette – Solution

Est-ce que les deux triangles sont rectangles?

 

Solution classique

Avec le théorème de Pythagore, on calcule:

72² + 54² = 8 100 et 90² = 8 100 => Rectangle

14² + 37² = 1 565 et 42² = 1 764 => NON

 

Solution minimaliste (calcul  de tête sur les unités seulement)

2² + 4² =   4 + 16 => 0 et 0² = 0 => Potentiellement rectangle.

4² + 7² = 16 + 49 => 5 et 2² = 4 => Incompatible; non rectangle.

 

Solution  avec théorie des nombres (petit triangle)

Propriété des triplets de Pythagore: dans un triplet primitif, le nombre le plus grand est impair. Le triplet {14, 37, 42} est primitif (aucun facteur commun), or le nombre le plus grand est pair. Ce n'est pas un triplet de Pythagore.

Plus simplement: pair²  + impair² = impair, incompatible avec pair² = pair.

Retour / Voir Proportions du corps humain / Autres problèmes à la mode sur le Net

 

 

 

 

 

Triangle

rectangle

 

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Voir

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Aussi

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