NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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  NOMBRES

 

Débutants

Nombres

 

Nombres en 1 et 0

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

DicoNombre

 

999

1001

2000

10 000

 

Sommaire de cette page

>>> Les derniers chiffres de la puissance

>>> Cas de puissance 11

>>> Fraction abcabc / ababab

 

 

 

 

 

Propriétés des nombres

11, 101 et 1001

 

Les nombres en 111 … 1113k sont divisible par 3 >>>

Les nombres 101, 1010101 … avec une quantité paire de 1 sont divisibles par 101.

Les nombres 10101, 101010101… avec une quantité impaire de 1 sont divisibles par un nombre de la forme 111… x 9090…91.

 

Sous certaines conditions, les nombres élevés à ces puissances conservent leurs derniers chiffres.

 

 

Devinette

Trouvez les valeurs de a, b et c telles que:

abcabc / ababab = 88 / 87

Solution

 

 

Les derniers chiffres de la puissance

 

*    Prenons un nombre quelconque (exemple: 1 234 56u) dont l'unité u varie de 0 à 9.
Quels sont les quatre derniers chiffres des puissances 11, 101 et 1001 de ces nombres?

 

 

*    Exemple avec 1 234 561

*      1 234 56 111 = …. 8161, les deux derniers chiffres sont conservés,

*      1 234 56 1101 = …. 0561, les trois derniers chiffres sont conservés,

*      1 234 56 11001 = …. 4561, les quatre derniers chiffres sont conservés.
 

*    Conclusions:

 

Les nombres avec unités 1, 3, 7 ou 9 à la puissance 101 conservent leurs trois derniers chiffres et, à la puissance 1001, ils conservent les quatre derniers.

 

Note: Quel que soit le chiffre des unités, à la puissance 101 et 1001, ils conservent ce chiffre des unités.

 

*    Application

Cette propriété est utilisée pour le calcul mental de la racine treizième. En effet: 1001 = 13 x 77 et les calculateurs prodiges estiment qu'il est plus facile de calculer la puissance 77ème que la racine 13ème.  Ils profitent de l'équivalence:

 

 

 

 

Cas de la puissance 11

 

*    Exprimons un nombre à quatre chiffres par son développement décimal:

 

*    Et sa puissance 11:

 

*    En ne conservant que le dernier chiffre (modulo 10):

 

Tableau des valeurs de u' en fonction de u

 

Ce qui confirme notre premier tableau, colonne puissance 11.

 

*    En ne conservant que ses deux derniers chiffres (modulo 100):

 

Tableau des valeurs de d'u' en fonction de du

 

Ce qui confirme notre premier tableau, colonne puissance 11.

 

*    Explications (calcul en mod 100)

Un calcul plus avancé donne:

 

Confirmant le chiffre des unités qui se termine comme u11. Mais le chiffre  des dizaines est encore difficile à estimer à partir de cette expression.

 

Avec u = 1:

les deux derniers chiffres sont conservés.

 

Avec u = 9 = 10 – 1 :

les deux derniers chiffres sont conservés.

Note: le développement de (10 – u)10 se termine par 100u9 +u10

 

 

 

 

Devinette – Solution

 

Question

Trouvez les valeurs de a, b et c telles que:

abcabc / ababab = 88 / 87

 

Solution

Vous avez reconnu les répétions telles que:

La fraction des deux nombres devient:

 

Soit les valeurs: a = 2, b = 9 et c = 6.

 

Commentaires

Seules quatre fractions jusqu'à 100 sont compatibles de cette énigme: 55/54, 75/74, 77/75 et 88/87. Par contre, il existe de nombreuses possibilités au-delà. Un exemple: 143/144 qui donne 481/48.

 

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DicoNombre

*    Nombre     11

*    Nombre   101

*    Nombre 1001

Voir

*    Puissances de dix

*    Racine treizième

*    Repdigit

*    Unités des puissances

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