NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES & MOTIFS

 

Débutants

Chiffre

Nombres UNIFORMES

 

Glossaire

Chiffre

 

 

INDEX

 

MOTIFS

 

Types de nombres

 

Motif

 

Repdigits

Repunits

Presque repdigit

999 …

Division des Repunits

Division de 999 …

888 …

111 111

Facteurs

Produits

Nombres Demlo

Nombres dissécables

Suite en  371, 3711 …

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Divertissements

>>> Repunit et bases

>>> Factorisation

>>> Repunits premiers

>>> Différence de carrés

>>> Repunits en puissance

>>> Somme des repunits

 

 

 

 

 

NOMBRES UNIFORMES en 1

 ou

REPUNITS

 

Exemple: 111 = 3 x 37

 

Les nombres uniformes ou repunits sont composés uniquement du chiffre 1 (concaténation des chiffres 1).

Leurs multiples, formés tous du même chiffre, sont les repdigits.

 

En base décimale, un repunit vaut: 999… / 9 = (10k – 1) / (10 – 1)

En base b, un repunit généralisé vaut:                 (bk – 1) / (b – 1)

 

Anglais  Rep-unit ou Repunit, nom dû à Beiler en 1966

 

 

Prends l'âge que tu avais en 2011, ajoute le nombre formé des deux derniers chiffres de ta date de naissance. Pour tous les individus sur Terre, la somme sera 111.

Exemple: je suis né en 1947 et j'ai 64 ans en 2011: 47 + 64 = 111.

Voir Jeux

 

 

Approche

 

*      Nombre composé que de 1, comme 111 111
Notation: 113 = 111

Ces sont des palindromes particuliers.

 

*      On remarque que 111 = 100 + 10 + 1.

D'où la forme générique des repunits:

 

11n  =  100 + 101 + 102 + … + 10n

Somme des puissances de 10

 

 

*      En binaire, un repunit est égal à une puissance de 2 moins 1.

                     1112 = 10002 – 1

Voir Propriété des puissances de 2

 

*      En base 9, les repunits sont des nombres triangulaires.

 

 

 

 

Divertissements

 

Joli façon de former des repunits

 

 

 

Multiplication produisant un repunit

Voir Multiplications en puzzles

 

 

La racine carrée des pannumériques donne des repunits

 

 
= 1111111111,11111111010
   5555555555555555100541
   666666666666254879097
   222222221 …

Voir Nombres zèbre

 

Fractions en 11

1 / 11 = 0,09 09 …

2 / 11 = 0,18 18 …

3 / 11 = 0,27 27 …

4 / 11 = 0,36 36 …

n / 11 =   pour n de 1 à 9

10 / 11 = 0,90 90 …

11 / 11 = 1

12 / 11 = 1,09 09 …

 

Fractions en 111

10 x 1 / 111 = 0,090 090 …

10 x 2 / 111 = 0,180 180 …

10 x 3 / 111 = 0,270 270 …

10 x 4 / 111 = 0,360 360 …

10 x n / 111 =   pour n de 1 à 9

10 x 10 / 111 = 0,900 900 …

10 x 11 / 111 = 0,990 990 …

10 x 12 / 111 = 1,081 081 …

Voir Nombres périodiques

 

La division par 9 donne la suite des chiffres (en sautant le 8)

Voir Nombre de Lewiss Carroll / Repunit et division par 7

 

 

 

 

REPUNITS en base de numération

 

En base 10

Rk = (10k – 1) / 9

 

 

En base 2

Rk = 2k – 1

 

 

*      Les nombres de Mersenne exprimés en binaire sont des repunits.

 

 

En base b

*      Un repunit généralisé en base est défini par la relation:

 

 

*      Exemple: R2(5) = (5² – 1) / (5 – 1) = 6 ou 1115

 

 

     

FACTORISATION des repunits

 

Exemples

       111 =   3 x   37

    1 111 = 11 x 101

  11 111 = 41 x 271

111 111 = 11 x 10101 = 111 x 1001

1 111 111 111 111 111 = 17 x 65 359 477 124 183

Voir Repunit 111 111 / Tables des facteurs des repunits

 

Multiplications magiques

 

Exemple: 37 037 x 3 = 111 111

 

*      Le tableau se poursuit avec les repdigits suivants en prenant les multiples des nombres indiqués dans le tableau.

Voir Nombres têtus

 

Divisibilité

 

*      Tout repdigit à nombre pair de chiffres est divisible par 11.

*      Tout repdigit à nombre de chiffres multiple de trois est

*           divisible par 3;

*           divisible par 37; et

*           divisible par 111.

*      Tout repdigit à nombre de chiffres multiple de six est

*           divisible par 3, 7, 11, 13, 37 et tous leurs produits.

 

Voir Table des facteurs des repunits

Voir Division des repunits par les repunits

 

 

 

REPUNITS PREMIERS

 

*      Les cinq seuls repunits premiers connus, et cela pour Rn avec n jusqu'à au moins n = 30 000:

 

 

*      Certains auteurs ne donnent le nom de repunit qu’à ces nombres premiers. Le dernier a été découvert en 1986 par Williams et Dubner. Un repunit ne peut être premier que si son nombre de chiffres est premier. On conjecture que les repunits (premiers) sont en nombre infini.

R49 081 = (1049 081 – 1) / 9 = 11 …11   (48081 fois le 1)
est pseudo-premier; il est probablement premier.

Harvey Dubner - 1999

 

*      On pense que les trois suivants sont premiers:

R86 453 (Baxter – 2000),

R109 297 (Dubner – 2007) et

R270 343 (Vozny et Budnyy – 2007).

 

*      Pour être premier, un repunit doit nécessairement comporter un nombre premier de 1. Les nombres 2, 19, 23, 317 & 1 031 sont effectivement premiers. La réciproque n'est pas vraie! La démonstration est basée sur une généralisation du motif: Rm = R n x 10…1…01 (en bleu dans le tableau).

 

 

*      En base 2, un repunit s’exprime par:  Rp = 2p – 1.

Or : 2p – 1 est premier si et seulement si 2p – 1 divise S(p-1)
avec S(1) = 4 et S(n+1) = S(n)² – 2.

  Voir Primalité des nombres de Mersenne / Premiers à éros /

Presque repdigits premiers

 

  

  

Différence de Carrés

 

Approche

*      Utilisation de la différence de carrés de nombres proches dont la différence donne toujours un nombre terminé par 11.

 

Application aux repunits

 Voir Différence de carrés 

 

  

REPUNITS EN PUISSANCE

 

*      Un repunit n’est ni carré, ni cube, ni puissance 5e .

*      S'il existe des repunits en puissances pures, ils sont plus rares que les repunits premiers.

 

*           Seuls x / log(x) entiers compris entre 0 et x sont des nombres premiers; et

*           Seuls x entiers compris entre 0 et x sont des puissances pures.

 

*      En réalité en 2009, on a démontré que

 

Aucun repunit n'est jamais une puissance parfaite.

De même:

Aucun nombre en 1 0k 1 0k 1 n'est une puissance parfaite.

L'indice k indiquant une séquence de k fois le chiffre "0".

 

Formalisation

 

*    Le théorème de Bugeaud-Mignotte (2009) affirme qu'un repunit (sauf 1) n'est jamais une puissance parfaite

 

 

n'a aucune solution pour n, y, q > 1

 

 

Démonstration

 

On peut écrire un repunit sous la forme du repdigit en 9, divisé par 9:  

Rk = (10k – 1) / 9

 

Trouver des repunits en puissance pure revient à résoudre l'équation

(10k – 1) / 9 = xq

ou

10k = 9 xq + 1

avec x, k et q entiers

 

Étape 1 (principe)

 

*           On démontre que q doit être inférieur à N.
Pour ce, on décompose 9 xq + 1en facteurs premiers comprenant 2 et 5 (les facteurs premiers de 10).
On estime un majorant pour l'exposant de 5 et on démontre que q doit être inférieur à 2063.

 

Étape 2 (principe)

 

*           On vérifie que, pour toutes les valeurs de q < N, il n'y a pas de solution.
Il n'y a que 311 nombres premiers entre 0 et 2063. Soit 311 équations à 2 inconnues à résoudre.
On cherche les incompatibilités.
Un ordinateur est néanmoins nécessaire

 

*      Bel exemple de démonstration moderne. Astuces théoriques pour réduire le problème. Et, utilisation de l'ordinateur pour résoudre les cas identifiés restants.

 

 

 

Et dans une autre base?

 

*      On conjecture qu'en base b, il n'y a que trois solutions:

 

 



Source: Yann Bugeaud - Université de Strasbourg - Pour la Science - mai 1999

Démonstration en  An Analytic Proof of Bugeaud-Mignotte Theorem - Jamel Ghanouchi

 

 

Curiosités

113 = 1331                    & Somme des chiffres = 8 = 23

1113 = 1 367 631         & Somme des chiffres = 27 = 33

11111113 = 137…631 & Somme des chiffres = 64 = 43

 

11…119  fois 3  => Somme des chiffres =   99

11…1110  fois 3 => Somme des chiffres = 100

Voir Nombre doublement cubes / Table des repunits à une puissance

 

 

 

Somme des repunits

 

*      La somme des repunits donne les chiffres successifs.

 

Formulation

 

      (10n+1 – 10 – 9 n)   /  81 = 1 + 11 + 111 + … + 11…1nfois

 

2 x (10n+1 – 10 – 9 n)   /  81 = 2 + 22 + 222 + … + 22…2nfois

3 x (10n+1 – 10 – 9 n)   /  81 = 3 + 33 + 333 + … + 33…3nfois

4 x (10n+1 – 10 – 9 n)   /  81 = 4 + 44 + 444 + … + 44…4nfois

Etc.

 

 

 

Repunit et information

Repunit volkswagen.jpg

Voir Automobile

 

 

 

 

Suite

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*    Opérations palindromes et repunits

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*    Suite en  371, 3711 …

Voir

*    Année 2011

*    Fermat

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*    Nombres répétés

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*    Puissance 11

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*    Suite alternée

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*    Nombre 111

*    Nombre 111 111

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Presque repunits premiers