NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/03/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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NOMBRES UNIFORMES en 1

ou

REPUNITS

Exemple: 111 = 3 x 37

Anglais Rep-unit ou Repunit

Prends l'âge que tu avais en 2011, ajoute le nombre formé des deux derniers chiffres de ta date de naissance. Pour tous les individus sur Terre, la somme sera 111.

Exemple: je suis né en 1947 et j'ai 64 ans en 2011: 47 + 64 = 111.

Voir Jeux

Approche

Nombre composé que de 1, comme 111 111 Notation: 113 = 111 Ces sont des palindromes particuliers. On remarque que 111 = 100 + 10 + 1. D'où la forme générique des repunits: 11n = 10^0 + 10^1 + 10^2 + … + 10^n Somme des puissances de 10 En binaire, un repunit est égal à une puissance de 2 moins 1. 1112 = 10002 – 1 Voir Propriété des puissances de 2 En base 9, les repunits sont des nombres triangulaires.

Divertissements
Joli façon de former des repunits Multiplication produisant un repunit Voir Multiplications en puzzles La racine carrée des pannumériques donne des repunits = 1111111111,11111111010 5555555555555555100541 666666666666254879097 222222221 … Voir Nombres zèbre

REPUNITS en base de numération
En base 10 Rk = (10^k – 1) / 9 En base 2 Rk = 2^k – 1 Les nombres de Mersenne exprimés en binaire sont des repunits.

FACTORISATION des repunits

Exemples 111 = 3 x 37 1 111 = 11 x 101 11 111 = 41 x 271 111 111 = 11 x 10101 = 111 x 1001 >>> Multiplications magiques Exemple: 37 037 x 3 = 111 111 Le tableau se poursuit avec les repdigits suivants en prenant les multiples des nombres indiqués dans le tableau. Voir Nombres têtus Divisibilité Tout repdigit à nombre pair de chiffres est divisible par 11. Tout repdigit à nombre de chiffres multiple de trois est divisible par 3; divisible par 37; et divisible par 111. Tout repdigit à nombre de chiffres multiple de six est divisible par 3, 7, 11, 13, 37 et tous leurs produits. Voir Table des facteurs des repunits Voir Division des repunits par les repunits

REPUNITS PREMIERS

Les cinq seuls repunits premiers connus, et cela pour Rn avec n jusqu'à au moins n = 30 000: Certains auteurs ne donnent le nom de repunit qu’à ces nombres premiers. Le dernier a été découvert en 1986 par Williams et Dubner. Un repunit ne peut être premier que si son nombre de chiffres est premier. On conjecture que les repunits (premiers) sont en nombre infini. R49 081 = (10^49 081 - 1) / 9 = 11 …11 (48081 fois le 1) est pseudo-premier; il est probablement premier. Harvey Dubner - avril 2002 Pour être premier, un repunit doit nécessairement comporter un nombre premier de 1. Les nombres 2, 19, 23, 317 & 1 031 sont effectivement premiers. La réciproque n'est pas vraie! La démonstration est basée sur une généralisation du motif: Rm = R n x 10…1…01 (en bleu dans le tableau). En base 2, un repunit s’exprime par: Rp = 2^p – 1. Or : 2^p – 1 est premier si et seulement si 2^p – 1 divise S(p-1) avec S(1) = 4 et S(n+1) = S(n)² – 2. Voir Primalité des nombres de Mersenne

Différence de Carrés
Approche Utilisation de la différence de carrés de nombres proches dont la différence donne toujours un nombre terminé par 11. Application aux repunits Voir Différence de carrés

REPUNITS EN PUISSANCE

Un repunit n’est ni carré, ni cube, ni puissance 5^e. S'il existe des repunits en puissances pures, ils sont plus rares que les repunits premiers. Seuls x / log(x) entiers compris entre 0 et x sont des nombres premiers; et Seuls x entiers compris entre 0 et x sont des puissances pures. En réalité en 1998, on a démontré que Aucun repunit n'est une puissance parfaite. De même: Aucun nombre en 1 0k 1 0k 1 n'est une puissance parfaite. L'indice k indiquant une séquence de k fois le chiffre "0". Démonstration On peut écrire un repunit sous la forme du repdigit en 9, divisé par 9: Rk = (10^k – 1) / 9 Trouver des repunits en puissance pure revient à résoudre l'équation (10^k – 1) / 9 = x^q ou 10^k = 9 x^q + 1 avec x, k et q entiers Étape 1 (principe) On démontre que q doit être inférieur à N. Pour ce, on décompose 9 x^q + 1en facteurs premiers comprenant 2 et 5 (les facteurs premiers de 10). On estime un majorant pour l'exposant de 5 et on démontre que q doit être inférieur à 2063. Étape 2 (principe) On vérifie que, pour toutes les valeurs de q < N, il n'y a pas de solution. Il n'y a que 311 nombres premiers entre 0 et 2063. Soit 311 équations à 2 inconnues à résoudre. On cherche les incompatibilités. Un ordinateur est néanmoins nécessaire Bel exemple de démonstration moderne. Astuces théoriques pour réduire le problème. Et, utilisation de l'ordinateur pour résoudre les cas identifiés restants. Et dans une autre base? Avec une base non-décimale, on ne connaît que 3 repunits puissance pure: Source: Yann Bugeaud - Université de Strasbourg - Pour la Science - mai 1999

Curiosités

11³ = 1331 & Somme des chiffres = 8 = 2³

111³ = 1 367 631 & Somme des chiffres = 27 = 3³

1111111³ = 137…631 & Somme des chiffres = 64 = 4³

11…11_{9 fois} ³ => Somme des chiffres = 99

11…11_{10 fois} ³ => Somme des chiffres = 100

Voir Nombre doublement cubes

Somme des repunits
La somme des repunits donne les chiffres successifs. Formulation (10^n+1 – 10 – 9 n) / 81 = 1 + 11 + 111 + … + 11…1nfois 2 x (10^n+1 – 10 – 9 n) / 81 = 2 + 22 + 222 + … + 22…2nfois 3 x (10^n+1 – 10 – 9 n) / 81 = 3 + 33 + 333 + … + 33…3nfois 4 x (10^n+1 – 10 – 9 n) / 81 = 4 + 44 + 444 + … + 44…4nfois Etc.

Repunit et information

Voir Automobile

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Presque repunits premiers