NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Nombres géométriques

CARRÉS

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Puissances

 

 

Carrés

Formes

Unités

Terminaison

 

Sommaire de cette page

>>>  Approche

>>> Tables des puissances et unités

>>>  Pour chaque puissance

>>>  Répétition des motifs

>>>  Carrés et leurs dizaines

 

 

 

 

UNITÉS des CARRÉS, CUBES

et autres PUISSANCES

 

Calculons la puissance d'un nombre. Observons le chiffre des unités. Qui ne sera pas émerveillé par leur régularité? Un cycle continu des mêmes chiffres dont la somme est également très stable.

 

 

 

APPROCHE

 

 

*      Il est amusant d'observer le dernier chiffre des puissances des nombres. Le dernier chiffre du carré de 6, par exemple, est le 6 de 36. Dans ce cas le carré conserve le chiffre de ses unités.

*      C'est le cas aussi pour tous les nombres en 1, en 5 ou en 6; et bien entendu en 0.

 

 

*      Mais ce n'est pas tout …

 

 

 

 L'aviez-vous remarqué?

Toutes les puissances de 5 se terminent par 5.

Toutes les puissances de 6 se terminent par 6.

 

 

TABLES des puissances et de leurs unités

 

Valeurs des puissances de 1 à 10 des nombres des nombres de 1 à 10

 

Exemple de lecture

25 = 32; 35 = 243; 92 = 81; 93 = 729;

 

 

 

Report de leurs unités

*      Le même tableau, mais en ne conservant que le chiffre des unités:

 

 

Observations

*    La séquence 1, 2, 3 … se trouve en colonne de la puissance 1, c'est normal;  et aussi en colonne de la puissance 9.

*    Les colonnes des puissances 2, 6 et 10 présentent le même motif: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0. Notez l'allure symétrique (palindromique) de ce motif.

*    Notez en pied de colonne la somme des chiffres des unités: 45 ou 33.

 

 

 

Pour chaque puissance

 

Nombres

 

Unités

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

*      Somme constante des termes symétriques:    

                     0 + 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = … = 9

*      Somme totale: 45

 

Carrés

 

Unités

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

 

*      Que les six chiffres: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

*      Symétrie par rapport à 5 (hors le 0).
Lecture palindrome:
de gauche à droite comme de droite à gauche

*      Somme totale: 45.

 

Dizaines

00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.

 

*      Tous les carrés se terminent par l'un de ces vingt-deux nombres à deux chiffres >>>

 

*        Un carré ne se termine jamais par deux chiffres identiques, sauf pour 0 et 4 (comme 144 = 12²). A fortiori, les seuls trois chiffres répétés possibles sont 0 et 4 (comme 213 444 = 462²).

*        Un carré terminé par 5, l'est par 25.

*        Un carré terminé par un chiffre impair, la dizaine est paire.

*        Un carré terminé par un chiffre pair, la dizaine est impaire, sauf pour 4.

*        Un carré terminé par 4, alors la dizaine est paire.

 

*      Tout carré n² ou n² – 1  est divisible par 3.  >>>

Tout carré n² ou n² – 1  est divisible par 4. 

Tout carré n² ou n² – 1 ou n² + 1 est divisible par 5.

 

Cubes

 

Unités

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

 

*      Tous les chiffres possibles

*      Somme constante des termes symétriques (hors le 0):
1 + 9 = 8 + 2 = 7 + 3 = … = 10

*      Somme totale: 45.

Voir Unités des cubes

 

 

Bicarrés (puissance 4)

 

Unités

0

1

6

1

6

5

6

1

6

1

 

*      Symétrie par rapport à 5 (hors le 0).

*      Somme totale: 33 valable pour toutes les puissances en 4k.

 

Outre l'observation, on le démontre facilement.

D'abord la symétrie de (-n)4  n4

Il suffit de calculer d'examiner les quelques cas suivants:

04 = 0, 14 = 1, 24 = 16, 34 = 81, 44 = 256 et 54 = 625.

 

Puissance 5

 

Unités

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

*      Comme les unités

*      Somme totale: 45.

 

 

Voir Derniers chiffres des puissances

 

 

 

Répétition des motifs

 

*      Colonne de motifs identiques pour:

*    1, 5, 9    … 1 + 4k

*    2, 6, 10  … 2 + 4k

*    3, 7        … 3 + 4k

*    4, 8        … 4 + 4k

 

 

 

*      Classes des chiffres selon leur unité.

Tableau montrant la présence des chiffres selon la puissance:

 

 

*      En ajoutant un chiffre de la classe I à n'importe lequel des chiffres d'une autre classe, on retombe dans la même classe:

 

Exemples:   5 + 4 = 9 (classe III);  8 + 5 = 13 => 3 (classe IV).

 

 

 

Carrés et leurs dizaines

 

*      Ce tableau montre les nombres de 0 à 119, leur carré et, une colonne spéciale en jaune donnant les dizaines et les unités (du).

 

*      En rouge, les nombres du qui apparaissent pour la première fois. Il y en a 22.

*      On observe aussi que ces colonnes se répètent cinq colonnes plus loin. Par exemple, les colonnes: 0, 5, 10, 15 … sont identiques; de même pour 1, 6, 11, 16 …

 

Propriétés complémentaire

*      Rangeons les vingt-deux nombres selon leur unité et observons le chiffre des dizaines:

 

Voir Carré magique carré 3 x 3 / Développement sur ce thème

 

 

Suite

*    Terminaison des carrés

*    Les nombres carrés

*    Système décimal – Unités

*    Terminaisons des produits

*    Cycle des chiffres des carrés

*    Puissance 1001

*    Divisibilité de différence de puissances d'un nombre

*    Puissances terminées par 00…01

*    Nombres et les chiffres de leurs puissances

Voir

*    Carrés – Calcul mental

*    Carrés – Somme pour nombres successifs

*    Carrés somme de cubes

*    Chemin d'Euler

*    Chiffres dans leurs puissances

*    Cubes – Calcul mental

*    Cubes – Modulo

*    Cubes – Somme pour nombres successifs

*    Dualité

*    Exponentielle

*    Nombres automorphiques

*    Nombres géométriques

*    Partition & Addition

*    Permutation des chiffres et puissances

*    Racine carrée

*    Racines - Calcul

Diconombre

*    Nombre 2

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