NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/03/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Tables des puissances et unités >>> Pour chaque puissance >>> Répétition des motifs >>> Carrés et leurs dizaines

UNITÉS des CARRÉS, CUBES

et autres PUISSANCES

Calculons la puissance d'un nombre. Observons le chiffre des unités. Qui ne sera pas émerveillé par leur régularité? Un cycle continu des mêmes chiffres dont la somme est également très stable.

APPROCHE
Il est amusant d'observer le dernier chiffre des puissances des nombres. Le dernier chiffre du carré de 6, par exemple, est le 6 de 36. Dans ce cas le carré conserve le chiffre de ses unités. C'est le cas aussi pour tous les nombres en 1, en 5 ou en 6; et bien entendu en 0. Mais ce n'est pas tout …

TABLES des puissances et de leurs unités

Valeurs des puissances de 1 à 10 des nombres des nombres de 1 à 10 Exemple de lecture 2^5 = 32; 3^5 = 243; 9^2 = 81; 9^3 = 729; Report de leurs unités Le même tableau, mais en ne conservant que le chiffre des unités: Observations La séquence 1, 2, 3 … se trouve en colonne de la puissance 1, c'est normal; et aussi en colonne de la puissance 9. Les colonnes des puissances 2, 6 et 10 présentent le même motif: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0. Notez l'allure symétrique (palindromique) de ce motif. Notez en pied de colonne la somme des chiffres des unités: 45 ou 33.

Pour chaque puissance

Nombres

Unités

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Somme constante des termes symétriques:

0 + 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = … = 9

Somme totale: 45

Carrés

Unités

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

Symétrie par rapport à 5 (hors le 0).
Lecture palindrome: de gauche à droite comme de droite à gauche

Somme totale: 45.

Dizaines

00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.

Tous les carrés se terminent par l'un de ces vingt-deux nombres à deux chiffres >>>

Cubes

Unités

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Somme constante des termes symétriques (hors le 0):
1 + 9 = 8 + 2 = 7 + 3 = … = 10

Somme totale: 45.

Bicarrés (puissance 4)

Unités

0

1

6

1

6

5

6

1

6

1

Symétrie par rapport à 5 (hors le 0).

Somme totale: 33 valable pour toutes les puissances en 4k.

Puissance 5

Unités

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Comme les unités

Somme totale: 45.

Répétition des motifs
Colonne de motifs identiques pour: 1, 5, 9 … 1 + 4k 2, 6, 10 … 2 + 4k 3, 7 … 3 + 4k 4, 8 … 4 + 4k Classes des chiffres selon leur unité. Tableau montrant la présence des chiffres selon la puissance: En ajoutant un chiffre de la classe I à n'importe lequel des chiffres d'une autre classe, on retombe dans la même classe: Exemples: 5 + 4 = 9 (classe III); 8 + 5 = 13 => 3 (classe IV).

Carrés et leurs dizaines

Ce tableau montre les nombres de 0 à 119, leur carré et, une colonne spéciale en jaune donnant les dizaines et les unités (du). En rouge, les nombres du qui apparaissent pour la première fois. Il y en a 22. On observe aussi que ces colonnes se répètent cinq colonnes plus loin. Par exemple, les colonnes: 0, 5, 10, 15 … sont identiques; de même pour 1, 6, 11, 16 … Propriétés complémentaire Rangeons les vingt-deux nombres selon leur unité et observons le chiffre des dizaines:

Voir Carré magique carré 3 x 3 / Développement sur ce thème

Suite	Les nombres carrés Système décimal – Unités Terminaisons des produits
Voir	Carrés – Calcul mental Carrés – Somme pour nombres successifs Carrés somme de cubes Chemin d'Euler Chiffres dans leurs puissances Cubes – Calcul mental Cubes – Somme pour nombres successifs Dualité Exponentielle Nombres automorphiques Nombres géométriques Partition & Addition Racine carrée Racines - Calcul
Diconombre	Nombre 2