NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Nombres géométriques

CARRÉS

et PUISSANCES

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Puissances

 

 

Carrés

Formes

Derniers chiffres

Terminaison

 

Sommaire de cette page

>>>  Approche

>>> Tables des puissances et unités

>>>  Pour chaque puissance

>>>  Répétition des motifs

>>>  Carrés et leurs dizaines

>>> Recherche des derniers chiffres d'une puissance

>>> Programmation – Derniers chiffres des puissances

 

 

 

 

 

Derniers chiffres des

PUISSANCES

 

Calculons la puissance d'un nombre. Observons le chiffre des unités. Qui ne sera pas émerveillé par leur régularité? Un cycle continu des mêmes chiffres dont la somme est également très stable.

 

Guide sur cette page: deux manières de considérer les derniers chiffres des puissances:

*    examen d'une puissance pour tous les nombres >>>

*    examen d'un nombre à toutes les puissances >>>

avec comme exemple les puissances de 2 >>>

 

 

 

Exploration par puissances

 

APPROCHE

 

*      Il est amusant d'observer le dernier chiffre des puissances des nombres. Le dernier chiffre du carré de 6, par exemple, est le 6 de 36. Dans ce cas le carré conserve le chiffre de ses unités.

*      C'est le cas pour tous les nombres en 1, en 5 ou en 6; et bien entendu en 0.

 

*      Mais ce n'est pas tout …

 

 

 L'aviez-vous remarqué?

Toutes les puissances de 5 se terminent par 5.

Toutes les puissances de 6 se terminent par 6.

 

 

TABLES des puissances et de leurs unités

 

Valeurs des puissances de 1 à 10 des nombres des nombres de 1 à 10

Voir Calcul de la somme des puissances de nombres consécutifs

  

Exemple de lecture

25 = 32; 35 = 243; 92 = 81; 93 = 729;

 

Report de leurs unités

Le même tableau, mais en ne conservant que le chiffre des unités

 

 

Observations verticales

*    La séquence 1, 2, 3 … se trouve en colonne de la puissance 1, c'est normal;  et aussi en colonne de la puissance 9.

*    Les colonnes des puissances 2, 6 et 10 présentent le même motif: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0. Notez l'allure symétrique (palindromique) de ce motif.

*    Notez en pied de colonne la somme des chiffres des unités: 45 ou 33.

 

Observations horizontales

*    Les chiffres sur une ligne se répètent. Ce qui veut dire que tous les nombres se terminant par 2, par exemple, ont une puissance qui se termine par 2, 4, 8 ou 6, dans cet ordre. Suite >>>

 

 

 

Pour chaque puissance de 1 à 5

 

Nombres

 

Unités

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

*      Somme constante des termes symétriques:    

                     0 + 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = … = 9

*      Somme totale: 45

 

Carrés

 

Unités

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

 

*      Que les six chiffres: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

*      Symétrie par rapport à 5 (hors le 0).
Lecture palindrome:
de gauche à droite comme de droite à gauche

*      Somme totale: 45.

 

Dizaines

00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.

 

*      Tous les carrés se terminent par l'un de ces vingt-deux nombres à deux chiffres >>>

 

*        Un carré ne se termine jamais par deux chiffres identiques, sauf pour 0 et 4 (comme 144 = 12²). A fortiori, les seuls trois chiffres répétés possibles sont 0 et 4 (comme 213 444 = 462²).

*        Un carré terminé par 5, l'est par 25.

*        Un carré terminé par un chiffre impair, la dizaine est paire.

*        Un carré terminé par un chiffre pair, la dizaine est impaire, sauf pour 4.

*        Un carré terminé par 4, alors la dizaine est paire.

 

*      Tout carré n² ou n² – 1  est divisible par 3.  >>>

Tout carré n² ou n² – 1  est divisible par 4. 

Tout carré n² ou n² – 1 ou n² + 1 est divisible par 5.

 

Cubes

 

Unités

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

 

*      Tous les chiffres possibles

*      Somme constante des termes symétriques (hors le 0):
1 + 9 = 8 + 2 = 7 + 3 = … = 10

*      Somme totale: 45.

Voir Unités des cubes

 

Bicarrés (puissance 4)

 

Unités

0

1

6

1

6

5

6

1

6

1

 

*      Symétrie par rapport à 5 (hors le 0).

*      Somme totale: 33 valable pour toutes les puissances en 4k.

 

Outre l'observation, on le démontre facilement.

D'abord la symétrie de (-n)4  n4

Il suffit de calculer d'examiner les quelques cas suivants:

04 = 0, 14 = 1, 24 = 16, 34 = 81, 44 = 256 et 54 = 625.

 

Puissance 5

 

Unités

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

*      Comme les unités

*      Somme totale: 45.

 

Voir Derniers chiffres des puissances

 

 

Répétition des motifs

 

*      Colonne de motifs identiques pour:

*    1, 5, 9    … 1 + 4k

*    2, 6, 10  … 2 + 4k

*    3, 7        … 3 + 4k

*    4, 8        … 4 + 4k

 

 

*      Classes des chiffres selon leur unité.

Tableau montrant la présence des chiffres selon la puissance:

 

 

*      En ajoutant un chiffre de la classe I à n'importe lequel des chiffres d'une autre classe, on retombe dans la même classe:

 

Exemples:   5 + 4 = 9 (classe III);  8 + 5 = 13 => 3 (classe IV).

 

 

 

Carrés et leurs dizaines

 

*      Ce tableau montre les nombres de 0 à 119, leur carré et, une colonne spéciale en jaune donnant les dizaines et les unités (du).

 

*      En rouge, les nombres du qui apparaissent pour la première fois. Il y en a 22.

*      On observe aussi que ces colonnes se répètent cinq colonnes plus loin. Par exemple, les colonnes: 0, 5, 10, 15 … sont identiques; de même pour 1, 6, 11, 16 …

 

Propriétés complémentaire

*      Rangeons les vingt-deux nombres selon leur unité et observons le chiffre des dizaines:

 

Voir Carré magique carré 3 x 3 / Développement sur ce thème

 

 

Derniers chiffres des puissances de 2 – Comme exemple de calculs

 

Unité des puissances de 2

 

Principe de la recherche

Le but est de trouver l'unité d'une grande puissance de 2 sans faire le calcul. Plusieurs méthodes possibles. La dernière présentée est la plus rapide; les autres sont présentées car susceptibles d'applications plus générales.

On utilise l'arithmétique modulaire qui s'intéresse uniquement aux restes des divisions. Pour trouver l'unité d'un nombre, il suffit de calculer son reste lors d'une division par 10. On dit mod 10. La technique consiste ensuite à fonctionner en éliminant progressivement de la puissance.

 

Si un nombre A  a un reste R pour une certaine division, on aura le même reste pour Ak, et réciproquement. Conclusion: si nous rencontrons Ak, on peut lui substituer A dans le même monde de division par 10, par exemple.

On va commencer avec 25 = 32 dont le reste de la division par 10 est 2. La puissance 403 de ce nombre aura aussi un reste égal à 2 dans la division par 10. Le nombre 25 est remplacé 2.

 

Calculs avec l'arithmétique modulaire

Calcul 1

Avec 25 = 32 => 2 mod 10

Calcul 2

Avec 29 = 512 => 2 mod 10

Calcul 3

Avec 24 = 16 => 6 mod 10

et …6k => 6 mod 10

Calcul des deux derniers chiffres

Avec 222 = 4 194 304

=> 4 mod 100

Voir  Puissances de 2 – Propriétés

 

 

Méthode par conversion binaire

La puissance est évaluée en termes de puissances de 2, celles utilisées dans la conversion binaire.

Conversion binaire

pour le dernier chiffre

 

201810 = 11 111 100 0102

 

Table des puissances de 2 en mod 10

 

 

Pour les deux derniers chiffres

Table des puissances de 2 en mod 100

 

 

 

 

Méthode des cycles

Ce dernier calcul est le plus immédiat.

Voir le cycle des derniers chiffres des puissances de 2.

 

Pour le dernier chiffre

Cycle de période 4: 2, 4, 8, 6

 

2018 = 4 x 504 + 2 => rang 2 => unité 4

 

Recherche des derniers chiffres des puissances d'un nombre quelconque

 (Voir la référence: Brilliant.org)

 

Outils

 

Quels sont les derniers chiffres des puissances d'un nombre donné?

Outils utilisés =>

 

*       Arithmétique modulaire >>>

*       Théorème des restes chinois >>>

*       Théorème d'Euler >>>

 

Unités des puissances – Bilan

 

Motifs des unités des puissances

Nous avons qu'un nombre terminé par 5 se terminera toujours par 5 lorsqu'il est élevé à une puissance

52 = 25; 153 = 3 375; 254 = 390 625

 

Tableau

Ce tableau montre l'unité des puissances de 2 à 8 pour tous les nombres se terminant par l'unité de 1 à 9.

En jaune, les seules possibilités pour chacun des chiffres. Ensuite ces chiffres se répètent. Le tableau se prolonge à droite sans fin pour toutes les puissances.

La longueur de la séquence est appelée la période.

 

Longueur de la période (Lp)

Lp = 1 pour les chiffres 0, 1, 5 et 6;

Lp = 2 pour les chiffres 4 et 9; et

Lp = 4 pour les chiffres 2, 3, 7 et 8.

 

Unité des puissances 2 à 8 des nombres 1 à 9

 

Exemples: l'unité de 135 = 3

                     l'unité de 536 = 9

         l'unité de 123456789 = 6

 

Remarquez qu'un nombre élevé à une puissance conserve sa parité.

Exemples

Unité de 199

19 se termine par 9 => u = {1, 9}

  9 est impair => u = 9

En effet: 199 = 322 687 697 779

Unité de 123456

123 se termine par3 => u = {9, 7,1, 3}

456 mod 4 = 0 => u = 1

En effet: 123456 = 992…561 = 9,9 10952

On retrouve bien ces unités pour les puissances de 2.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 …

 

 

Arithmétique modulaire

 

Voir arithmétique modulaire.

 

Quelle est l'unité de 1717 ?

 

On calcule quelques valeurs pour atteindre 17 = 4 x 4 + 1

 

u  1717 mod 10

 

172  72 = 9 mod 10

174  92 = 1 mod 10

(174)4  14 = 1 mod 10

1717 = 17 x (174)4  7 x 1  7 mod 10

 

En effet: 1717 = 827 240 261 886 336 764 177

 

 

Quelle est l'unité de 235 ?

 

 

u  235 mod 10

35 = 16 + 16 + 3

216  (24)4   64  6 mod 10

232  6 x 6   6 mod 10
235
 8 x 6   8 mod 10

 

En effet: 235 = 34 359 738 368

 

 

Théorème des restes chinois

L'idée avec les restes chinois consiste à identifier un nombre mod 2n et un nombre 5n et à combiner les résultats en utilisant le théorème des restes chinois pour trouver un nombre mod 10.

 

Quels sont les deux derniers chiffres de 74540 ?

 

En remarquant que 100 = 4 x 25, deux nombres premiers entre eux

On calcule, non pas en mod 10, mais en mod 4 et en mod 25

 

74540  2540 x 37540  24x135 x 374x135

 0 mod 4

 

74540  (75 – 1)540  (– 1)540  1 mod 25

 

Il faut trouver un nombre n tel que mod 4, il vaut 0 et mod 25, il vaut 1.

Réponse n = {1, 26, 51, 76}
Le seul divisible par 4 est n = 76

 

 

Théorème d'Euler

 

Le théorème d'Euler =>

 

Alors, un exposant b peut être réduit modulo Phi(n) sans changer la valeur de ab mod n

Si a et n sont premiers entre eux

 

Phi(n) est le totient d'Euler qui compte la quantité de nombres inférieurs à n et premiers avec n.

 

Quels sont les deux derniers chiffres de 3342 ?

 

 

On passe par 42 = 40 + 2

Si on sait que Phi(100) = 40

Et que 3340  1 mod 100

 

On déduit immédiatement que:

3342  332 mod 100
       
 1089  89 mod 100

 

 

Programmation – Derniers chiffres des puissances

But

(m, n, k)

m derniers chiffres de ni pour i de 1 à k

 

Commentaires

La procédure s'appelle FP (Fin de Puissance).

La liste L est préparée pour accueillir les nombres "fin de puissance"

La boucle en i tourne k fois (quantité de nombres demandée).

Pd est la valeur de la puissance du nombre n à la puissance i en cours, tronquée pour ne conserver que les m derniers chiffres. C'est l'effet du modulo 10m.

À chaque itération, la valeur de fin de puissance est conservée dans la liste L.

En fin de boucle, la liste L est retournée.

Le programme principal demande, par exemple, les 2 derniers chiffres des puissances de 2 pour 22 puissances successives.

En bleu, le résultat du traitement. On y retrouve la période de longueur 20 commençant à 4.

 

Programme à copier-coller dans Maple

FP := proc (m, n, k) local L, i, Pd; L := []; for i to k do Pd := `mod`(n^i, 10^m); L := [op(L), Pd] end do; return L end proc;

FP(2, 2, 22);

Voir ProgrammationIndex   / Tables des puissances de 2 et leurs derniers chiffres

 

 

 

 

Suite

*    Terminaison des carrés

*    Les nombres carrés

*    Système décimal – Unités

*    Terminaisons des produits

*    Cycle des chiffres des carrés

*    Puissance 1001

*    Divisibilité de différence de puissances d'un nombre

*    Puissances terminées par 00…01

*    Nombres et les chiffres de leurs puissances

*    Unités des produits

Voir

*    Carrés – Calcul mental

*    Carrés – Somme pour nombres successifs

*    Carrés somme de cubes

*    Chemin d'Euler

*    Chiffres dans leurs puissances

*    Cubes – Calcul mental

*    Cubes – Modulo

*    Cubes – Somme pour nombres successifs

*    Dualité

*    Exponentielle

*    Nombres automorphiques

*    Nombres géométriques

*    Partition & Addition

*    Permutation des chiffres et puissances

*    Racine carrée

*    Racines - Calcul

Diconombre

*    Nombre 2

Site

*    Finding the Last Digit of a Power – Brilliant.org.

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