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Édition du: 29/12/2019

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NOMBRES SANDWICHES

 

Nombres dont les chiffres présentent une répartition particulière:

*      un seul nombre entre deux 1 ;

*      deux nombres entre deux 2 ;

*      etc.

 

Quelles sont toutes les possibilités ?

*      Pour 123, il y a deux solutions, l'une retournée de l'autre;

*      Pour 1234, deux solutions, également;

*      Pour 12345 et 123456, c'est impossible;

*      Pour 1234567, il y a 2 x 26 solutions; et avec le 8, il y en a 2 x 150.

*      Pour 123456789, il y a six nombres double-sandwiches de 27 chiffres.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Le plus petit: 312132

>>> Avec les deux 4

>>> Avec les deux 5 – Faisabilité ?

>>> Avec 7 et 8

>>>  Double-sandwiches

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Le plus petit: 312 132

haut

 

Avec deux 1 et deux 2

La grille montre deux 1 avec la place entre les deux chiffres pour y loger un autre chiffre.

La ligne suivante montre les deux 2 avec deux places libres pour deux chiffres autres.

La dernière ligne montre à l'évidence qu'il est impossible de combiner les deux lignes du haut pour en faire une telle que les 1 entourent un chiffre et les 2 entourent deux chiffres.

 

 

Les 1 occupent des cases ocre.

Les 2 occupent une ocre et une blanche.

D'où incompatibilité pour les réunir en une seule ligne.

Avec deux 1, deux 2 et deux 3

Même principe en ajoutant les deux trois avec un espace permettant d'y loger trois chiffres.

Bingo ! Les trois lignes se rassemblent en une seule qui satisfait les règles.

Le nombre retourné est aussi un nombre sandwich.

 

 

231 213   et   312 132

Analyse systématique

On positionne le nombre 3 qui présente le plus grand écart, lequel ne peut occuper que deux positions:

Le couple de 2 prend place dans les cases vides. On élimine les cas où le 2 rencontre une case déjà occupée par 3 (rouge).

Est-ce que le couple de 1 peut être logé ?

Si oui, c'est gagné.

Ce cas gagnant se présente deux fois et on retrouve bien un nombre 312 132 et son retourné 231 213.

 

 

Toutes les possibilités

=> deux solutions

 

 

Avec les deux 4

haut

 

Avec deux 4 en plus

Une solution se dégage en repoussant les deux vers la droite.

 

 

 

Logique de remplissage

Ces huit chiffres rouges couvrent autant de cases blanches que de cases roses.

Les quatre premières lignes offrent six blanches et deux roses qui permettent cette alternance.

Soit le nombre trouvé et son retourné.

 

 

23 421 314   et   41 312 432

 

 

Avec 5 et plus – Faisabilité ?

haut

 

Avec deux 5 en plus

Nous devons placer les chiffres 1, 1, 2, 2, …5, 5 en position 1, 2, 3, … 10.

Un chiffre k est positionné k + 1 places plus loin.

Si k est pair, un des chiffres est position paire (PP) et l'autre en position impaire (PI). Les chiffres 2 et 4 occupent 2 PP et 2PI

Il reste 3 PP et 3PI pour (1, 2, 3).

Or, si k est impair, les deux chiffres sont en position de même parité. Avec (1, 2 et 3), on aura, par exemple,  2PP et 2 PI ou encore 4PP et 2PI, mais toujours des quantités paires incompatibles avec 3 PP et 3PI.

Impossible avec ces paires de cinq chiffres.

 

 

Configuration impossible

Avec cinq paires de chiffres

La ligne rouge montre une possibilité, mais  sans possibilité de loger les 2.

 

 

Formulation

Si n est la quantité de couples de chiffres et 2r est la quantité de chiffres pairs, alors l'égalité suivante doit être vérifiée pour que la configuration soit possible:

Conclusion: l'expression de droite doit être paire.

Les crochets indiquent: arrondi vers le bas (valeur plancher).

 

Application de la formule

 

Avec 7 et 8

haut

 

À droite, une des solutions explicitées avec 7 :

 

 

Les plus petits nombres avec 7 et avec 8:

 

Nombre      14 167 345 236 275 

Nombre 1 318 637 245 268 475

 

 

Les 2 x 26 solutions avec 7

 

Les 43 solutions avec 8 débutant par un 1

Il y a 2 x 150 solutions

 

 

Double-sandwich

haut

 

Le double-sandwich 123 est impossible.

Il s'agit de positionner neuf chiffres dont trois 1, trois 2 et trois 3 avec la même règle d'espacement.

La barre des 3 ne prend qu'une seule position

La barre du 2 est impossible à placer.

La technique de test consiste à faire glisser les barres horizontalement de manière à obtenir un seul chiffre dans chaque colonne.

 

Le double-sandwich 1234 est impossible.

Après avoir positionné les barres du 4 et du 3, impossible de placer la barre du 2.

Sauf erreur, le plus petit cas possible se présente pour 123456789.

Double-sandwiches pour 1 à 9

L'utilisation de tous les chiffres trois fois produit un triple nombre pannumérique.

 

Une solution explicitée

 

Les trois solutions, chacune avec son retourné (6 nombres de 27 chiffres)

181 915 267 285 296 475 384 639 743  /  347 936 483 574 692 582 762 519 181

191 218 246 279 458 634 753 968 357  /  753 869 357 436 854 972 642 812 191

191 618 257269 258 476 354 938 743  /  347 839 453 674 852 962 752 816 191

 

 

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*      Did you solve it? The club sandwich problem – Alex Bellos

*      Number Sandwiches – NRICH maths

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPFORM/Sandwich.htm