NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Général

Formes retournées

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Nombres 

 

Jeux avec les nombres

Général

Opérations palindromes

Séquences

Proportions

Premiers

Division

Puissances

Carré magique

Différence de carrés

Strobogrammatique

Magie renversante

Premiers de Luhn

Palintiple

Soustraction 99

Nombres sommes de retournés

 

Sommaire de cette page

>>> Devinette

>>> Propriété remarquable

>>> LES "RETOURNÉS" de toutes sortes

>>> Distances entre nombres et retournés

>>> Différence: n – r = 9k

>>> Sommes retournées

>>> Sommes avec retournés: N + RN = Carré

>>> Produits avec retournés: N x RN = C

>>> Carrés et carrés des retournés

>>> Coïncidences

>>> Nombre EPRN

 

 

 

 

 

Nombres retournés

ou réversibles

 

Motifs obtenus en prenant un nombre et son retourné ou symétrique dans un miroir (presque). Objets d'amusements divers.

Types de réversibles

123456

69

12321

222

654321

96

12321

222

Retourné

Strobogrammatique

Palindrome

Repdigits

 

Retournés et opérations

D

+

x

/

²

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

 

Anglais: Reversal of a positive integer / digit reversal

 

 

Devinettes

Quel est l'animal représenté par cette opération:

Quel est le nombre de deux chiffres qui présente

une différence de  lorsqu'il est lu sur la calculette retournée?

Quel est le numéro de la place de parking masqué par la voiture?

Quelle est la suite de cette série:

Solutions

 

Propriété remarquable

Un nombre de deux chiffres ajouté à son retourné est divisible par 11 et par la somme de ses chiffres. >>>

Exemple: 23 + 32 = 55 = 5 x 11.

 

 

 

Les "RETOURNÉS" de toutes sortes

1, 3, 6, 8 et 9

*      Sont réversibles (symétriques) d'une manière ou d'une autre et occasion d'amusements potentiels.

*      Les repdigits sont des motifs triviaux (222, 3333 …).

*      Les palindromes offre une symétrie droite-gauche

11

88

*      Nombre particulièrement symétrique, en particulier, identique par rotation de 180°.

Autre: 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101, 111 …

9

89

98

99

696

969

999

*      Se lisent de haut en bas en changeant de valeur.

     69

6 969

*      Peuvent s'écrire en les renversant de haut en bas sans changer de valeur.
Avec une coquetterie: écart de 3 entre chiffres successifs.

Suite >>>

196 = 14²

169 = 13²

961 = 31²

*      196 peut s’écrire en le renversant de haut en bas.

*      961 a les mêmes propriétés.

 Suite >>>

 

11 et 333

*      sont des nombres repunits et repdigits.

121  et 45654

*      sont des nombres palindromes.

123 et 321

*      sont des nombres retournés. 

123 et -123

*      sont des nombres opposés.     Voir symétrique

123 et 1/123

*      sont des nombres inversés.

11, 69, 88 …

*      sont strobogrammatiques.

 

Voir Nombres et motifs avec les chiffres /  Crème renversée

 

 

Tout retourné !

122 x 213 = 25 986

221 x 312 = 68 952

 

 

Distances entre nombres et retournés

 

*    La distance entre un retourné et son nombre d'origine est remarquable.

*    Pour les nombres à deux chiffres, c'est le multiple de 9 lié à la différence des deux chiffres.

 



 

*    Pour les nombres à trois chiffres, c'est le multiple de 99 lié à la différence des deux chiffres extrêmes.

 

 

*    Voici la formulation pour quatre chiffres:

 

*    Le produit d'un nombre et de son retourné offre l'occasion d'amusements.
Avec deux chiffres, vous trouverez:

n . r = 100 ab + 10(a² + b²)  + ab

*    Avec deux chiffres identiques

n . n = n² = 100 a² + 20 a² + a² = 121 a²

 

Exemple de calcul rapide:

13 x 31 = 100 x 3 + 10 (9 + 1) + 3 = 300 + 100 + 3 = 403

52 x 25 = 100 x 5 x 2 + 10 (5² + 2²) + 5 x 2 = 1 000 + 290 + 10 = 1 300

99 x 99 = 100 x 81 + 10 x 2 x 81 + 81 = 8 100 + 1 620 + 81 = 9 801

 

Voir Calcul mental / Carré des repdigits

 

 

 

Différence: n – r = 9k  & Somme: n + r = 11ksi # pair

 

Observations

 

Quantité paire de chiffres

 

n + r divisible par 11

n – r divisible par   9

 

Quantité impaire de chiffres

 

n – r divisible par  99

 

 

Voir Divisibilité

 

Exemples avec quantité (#)  croissante de chiffres

 

Démonstration

 

Quantité impaire de chiffres

avec pour modèle les nombres à trois chiffres

 

Généralisation à n'importe quelle quantité impaire de chiffres en donnant le développement décimal classique de n.

 

 

 

 

Quantité paire de chiffres

avec pour modèle les nombres à quatre chiffres

 

 

Même remarque sur la généralisation qui me semble évidente, mais fastidieuse.

.

 

 

 

 

 

Pour vous convaincre, prenez seulement deux chiffres de plus:

 

Multiples de 9 et de 99

 

Tous les multiples, de 2 à 10, de 9 ajouté à son retourné donne 99.

 

Tous les multiples, de 2 à 10, de 99 ajouté à son retourné donne 1 089.

 

Avec 999 x k =>

Avec 9999 x k =>

Etc.

 

 

M  = 5 x 9 = 45

Mr = 54

M + Mr = 99

 

M  = 5 x 99 = 495

Mr = 594

M + Mr =     1 089 =    99 +     990

 

M + Mr =   10 989 =   999 +   9990

M + Mr = 109 989 = 9999 + 99990

Voir Preuve par neuf / Démonstrations / Tour de magie utilisant ces propriétés / Repdigits en 9

 

Sommes retournées

 

Les sommes complètement retournées sont nombreuses. Elles sont présentes tant que les sommes n'impliquent aucune retenue. Avec 12, on trouve ainsi 63 configurations possibles.

 

Quantité de configurations (12, 63; 13, 55; 14, 47; 15, 40; 16, 32; 17, 24; 18, 16; 19, 8)

Avec 19, elles sont toutes triviales, du type: 20 + 10 = 30 et 1 + 2 = 3

 

Avec trois chiffres, également de nombreuses configurations

Elles sont 447 pour 123 et 25 pour 246, par exemple.

 

Avec quatre chiffres

 

Avec production de retenues

 

Voir Nombres sommes de nombres et retournés

 

 

 

Sommes avec retournés: N + RN = Carré

 

Les nombres + retournés = carrés

 

Évidemment, avec un seul chiffre: 2 x 2 = 4 et 8 x 8 = 16.

Avec deux chiffres, ils sont 2 x 4 = 8 avec 11² pour somme.

Aucun à quatre chiffres.

Le premier à cinq chiffres: 10 148 + 84 101 = 307².

Avec plus de chiffres, ils sont de plus en plus nombreux.

 

 

 

 

Produits avec retournés: N x RN = C

 

Carré avec le produit

On élimine les cas évidents

*       unités: 2 x 2 = 2²

*       palindromes: 212 x 212 = 212²

*       divisibles par 10: 100 x 1 = 100 = 10²

 

Le produit d'un nombre de deux chiffres par son retourné n'est jamais un carré (sauf repdigits. Ex: 33 x 33 = 33²; trivial).

Avec trois chiffres, il y en a cinq cas, et cinq autres en inversant les nombres.

 

Avec quatre chiffres, ils sont 3: 1 089, 1 584 et 2 178 et trois autres par inversion.

 

Ils sont 2 x 18 avec cinq chiffres, le premier étant 10 404 et le dernier 99 375.

 

Ce triplet est amusant:

n  = 20 808,

r   = 80 802,

nr = 41 004²

 

Puissances supérieures

Seules connues:
2 178 x 8 712 = 664
2 576 816 x 6 186 752 = 25 1683

 

Voir Et avec la division? Ce sont les palintiples

 

 

Carrés et carrés des retournés: R(n²) et (Rn)²

 

 

 

Comparaison entre:

*    le retourné du carré R(n²)  et

*    le carré du retourné (Rn

 

En jaune, les cas où il y a égalité, offrant un motif palindrome, comme:

 

image025

 

Les repdigits, comme 11 ou 22, produisent un motif trivial.

 

D'autres cas se produisent, lorsque l'effet de retenue dans les calculs est absent:

101² = 10201

       et 10201 = 101²

 

102² = 10404

       et 40401 = 201²

 

113² = 12769

       et 96721 = 311²

etc.

 

Suite en Nombres carrément réversibles

Recherche des carrément réversibles – Programme

 

 

 

Coïncidences

 

9 + 9 =

18

&

81

= 9 x 9

2 + 47 =

49

94

= 2 x 47

3 + 24 =

27

72

= 3 x 24

2 + 497 =

499

994

= 2 x 497

2 + 263 =

265

526

= 2 x 263

 

En ajoutant autant de 9 que l'on veut dans ces nombres, on retrouve la même propriété.

 

Exemples:

2 + 4997 =

4999

&

9994

= 2 x 4997

2 + 2963 =

2965

5926

= 2 x 2963

 

 

 

 

Nombre EPRN

 

Nombre qui s'exprime par deux produits, au moins, dont l'un est le retourné de l'autre.

Nombre définit par Shyam Sunder Gupta.

 

Le plus petit

2520 = 120 x 021

          = 210 x 012

Autres exemples

4030 = 130 x 031 = 310 x 013,

144648 = 861 x 168 = 492 x 294,

185472 = 672 x 276 = 384 x 483,

9949716 = 2583 x 3852 = 1476 x 6741,

16746912 = 2556 x 6552 = 4473 x 3744.

Liste de tels nombres EPRN

(Equal Product of Reversible Numbers)

 

2520, 4030, 5740, 7360, 7650, 9760, 10080, 12070, 13000, 14580, 14620, 16120, 17290, 18550, 19440, 22680, 22960, 24300, 25200, 26680, 27010, 29440, 31540, 34780, 36270, 36400, 40300, 40320, 42750, 46060, 49300, 50920, 56050, 57400 …

 

 

 

 

 

Solution des devinettes

Quel est l'animal représenté par cette opération?

 

En retournant l'opération:

(Les nombres sont écrits en fontes type calculette)

 

 

 

En retournant le résultat:

 

 

Voir Jeux avec lettres pour chiffres

 

 

Quel est le nombre de deux chiffres qui présente une différence de 33 lorsqu'il est lu sur la calculette retournée?

 

Nombres tels qu'en tournant un peu la tête, on peut lire les deux possibilités =>

 

Deux réponses possibles: le nombre 29, lu en retournant la calculette, donne 62 et la différence est 33. C'est le cas aussi pour 66 qui donne 99.

Avec trois chiffres: 699 – 666 = 999 – 966 = 33. Notez aussi: 999 – 669 = 330.

 

Il faut bien noter que seuls {0, 1, 2, 5, 6, 8 et 9} sont lisibles une fois retournés, et que 6 devient 9 et réciproquement.

 

Alors, les différences possibles sont indiquées dans le tableau (sans compter les cas comme 88 qui devient 88 avec différence nulle).

Le choix de 33 est amusant, bien que non lisible à l'envers, mais on aurait pu choisir tout autre nombre ce cette liste (ceux en rose sont lisibles à l'envers).

 

 

Quel est le numéro de la place de parking masqué par la voiture?

 

L'astuce: en se plaçant de l'autre côté, on voit cette configuration:

Avec cette fonte, les nombres de 86 à 91, sauf 87, sont réversibles

 

Suite des carrés dont ceux à plusieurs chiffres ont été retournés.

16 est devenu 61; 25 est passé à 52; etc.

Pour 10² = 100 le retourné est 001 qui devient simplement 1.

La suite sera 11² = 121 qui restera lui-même.

Puis 12² = 144 qui devient 441; et.

Retour / Carré des retournés

 

 

 

Suite

*       Nombres permutés

*       Puissances de 2 retournées

*       Retournés et division par 7

*       Nombres allumettes

*       Nombres premiers de Luhn

*        Nombres strobogrammatiques (renversés)

*        Palintiple

Voir

*       Calculette

*       Chiffres en miroir

*       Devinettes d'égalité avec les chiffres

*       Factorielle

*       Motifs

*       Multiplication ABCDE = F x GGGGGG

*       Nombre 1089 et magie

*       Nombres de Friedman

*       Nombres en 4 fois 4

*       PermutationsIndex

*       Procédé de Kaprekar

*       Puissance

*       PuzzlesIndex

DicoNombre

*       Nombre 81

*       Nombre 88

*       Nombre 144

*       Nombre 196

*       Nombre 6 969

*       Accès aux autres nombres

Site

*       OEIS A066531EPRN

*       OEIS A062917 – Non-palindromic numbers n such that n is not divisible by 10 and n*R(n) is a square, where R(n) is the reversal of n

*       Reversal – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/RetoGen.htm