pem NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/11/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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	Sommaire de cette page >>> Les renversés >>> Coïncidences >>> Nombres 9, 99, 999 …

Nombres retournés

ou réversibles

Motifs obtenus en prenant un nombre et son retourné ou symétrique dans un miroir.
Comme 123456 qui devient 654321.

Objets d'amusements divers.

Un nombre de deux chiffres ajouté à son retourné est divisible par 11 et par la somme de ses chiffres. >>>

Exemple: 23 + 32 = 55 = 5 x 11.

LES RENVERSÉS
1, 3, 6, 8 et 9	Sont réversibles (symétriques) d'une manière ou d'une autre et occasion d'amusements potentiels. Les repdigits sont des motifs triviaux (222, 3333 …). Les palindromes offre une symétrie droite-gauche
11 88	Nombre particulièrement symétrique, en particulier, identique par rotation de 180°. Autre: 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101, 111 …
9 89 98 99 696 969 999 …	Se lisent de haut en bas en changeant de valeur.
69 6 969 …	Peuvent s'écrire en les renversant de haut en bas sans changer de valeur. Avec une coquetterie: écart de 3 entre chiffres successifs.
196 = 14² 169 = 13² 961 = 31²	196 peut s’écrire en le renversant de haut en bas. 961 a les mêmes propriétés.

Voir Nombres et motifs avec les chiffres

COÏNCIDENCES

9 + 9 =	18	&	81	= 9 x 9
2 + 47 =	49		94	= 2 x 47
3 + 24 =	27		72	= 3 x 24
2 + 497 =	499		994	= 2 x 497
2 + 263 =	265		526	= 2 x 263

En ajoutant autant de 9 que l'on veut dans ces nombres, on retrouve la même propriété. Exemples:

2 + 4997 =	4999	&	9994	= 2 x 4997
2 + 2963 =	2965		5926	= 2 x 2963

Nombres 9, 99, 999 …
Un nombre de deux chiffres, ou plus, soustrait avec son retourné donne toujours un multiple de 9. Preuve =>	N = 31 Nr = 13 N - Nr = 18 = 9 x 2 N = 10d + u Nr = 10u + d N – Nr = 10(d-u) – (d-u) = 9(d-u)
Un nombre de trois chiffres soustrait avec son retourné donne toujours un multiple de 99. Preuve =>	N = 853 Nr = 358 N - Nr = 495 = 99 x 5 N = 100c + 10d + u Nr = 100u + 10d + c N – Nr = 100(c-u) – (c-u) = 99(c-u)
Non généralisable à quatre chiffres. Dans ce cas, un multiple de 9 est assuré, mais un multiple de 999. Preuve =>	N = 1000m + 100c + 10d + u Nr = 1000u + 100d + 10c + m N – Nr = 1000(m-u) – (m-u) + 100(c-d) – 10(c-d) = 999(m-u) – 9(c-d) = 9 (111(m-u) – (c-d))
Avec 5 chiffres, on retrouve 99	N – Nr = 9999(D-u) + 990(m-d) = 99 (101(D-u) + 10(m-d))
Bilan N – Nr = 9 k toujours, et N – Nr = 99 k' si N a un nombre impair de chiffres. Rappel sur le développement d'un nombre: N = … + 10 000D + 1000m + 100c +10d + u

Tous les multiples, de 2 à 10, de 9 ajouté à son retourné donne 99. Tous les multiples, de 2 à 10, de 99 ajouté à son retourné donne 1 089. Avec 999 x k => Avec 9999 x k => Etc.

M = 5 x 9 = 45 Mr = 54 M + Mr = 99 M = 5 x 99 = 495 Mr = 594 M + Mr = 1 089 = 99 + 990 M + Mr = 10 989 = 999 + 9990 M + Mr = 109 989 = 9999 + 99990 …

Voir Preuve par neuf / Démonstrations / Tour de magie utilisant ces propriétés / Repdigits en 9

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