NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Numération

MOTIFS avec CHIFFRES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Motifs et chiffres 

 

Bases de numération

Repdigit

Brésilien

Brésiliens –Table

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Nombres et système de numération

>>> Caractérisation des nombres brésiliens

>>> Nombres brésiliens composés

>>> Nombres brésiliens premiers

>>> Nombres non-brésiliens

>>> Multiples de nombre brésiliens

>>> Nombres brésiliens et puissances

>>> Programmation

 

 

 

 

NOMBRES BRÉSILIENS

ou

Nombres uniformes (repdigits) en base b

 

Les nombres brésiliens sont des nombres n qui deviennent repdigits selon une base b inférieure à n – 1. Ils présentent quelques propriétés intéressantes. Ils sont surtout une bonne occasion de s'entrainer au calcul avec les bases de numération. On termine la page avec une application inattendue d'une identité remarquable.

 

Exemples de nombres brésiliens

 

Historique

Première apparition de ces nombres en 1994 lors d'une Olympiade au Brésil. Bernard Schott publie un article et les remet au goût du jour  sur un forum de mathématiques en 2007. Cette race de nombres est désormais enregistrée dans l'encyclopédie des nombres en OEIS 125134.

Anglais: Brazilian number/ Portugais: numero brasileira

 

 

Famille

Nombre / Forme

Approche

Nombre décimal n qui devient repdigits dans une autre base sous conditions.

Ex: 100 = 55 en base 19, car 5 x 19 + 5 = 100.

        86 = 222 en base 6, car 2x6² + 2x6 + 2 =  86

Ces deux nombres sont brésiliens.

Définitions

NOMBRE BRÉSILIEN

 

Un nombre entier n > 0 est dit brésilien s’il existe un entier b, vérifiant 1 < b < n – 1, pour lequel la représentation de n en base b s’écrit avec des chiffres tous égaux.

 

Exemples

Un exemple de "race" de nombres brésiliens:

n =  … + b2 + b + 1

(sous réserve de la satisfaction de l'inégalité de définition).

Ce sont des repunits en base b.

      7 = 22 + 2 + 1 = 1112

     13 = 32 + 3 + 1 = 1113

     21 = 42 + 4 + 1 = 1114

     85 = 43 + 42 + 4 + 1 = 11114

1111 = 103 + 102 + 10 + 1 = 111110

Non brésilien

Le nombre 9, par exemple, n'est pas brésilien.

Expressions de 9 décimal pour les bases de 2 à 7:

(n, base, puis chiffres)

9, 2, [1, 0, 0, 1] = 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 20 = 8 + 1

9, 3, [1, 0, 0] = 1 x 32 + 0 + 0

9, 4, [2, 1] = 2 x 41 + 1 x 40 = 8 + 1

9, 5, [1, 4] = 1 x 51 + 4 x 50 = 5 + 4

9, 6, [1, 3] = 1 x 61 + 3 x 60 = 6 + 3

9, 7, [1,2] = 1 x 71 + 2 x 70 = 7 + 2

Existence

Deux conditions à respecter:

 

*    Compatibilité avec la base: tous les chiffres utilisés pour écrire le nombre sont inférieurs à la valeur de la base b.
Ainsi en binaire, 332 est calculable: 3x21 + 3x20 = 9, mais non recevable car le chiffre 3 est supérieur à la base 2.

*    Respect de l'inégalité d'existence: la base b est inférieure à n – 1. Avec une telle base, tous les nombres seraient brésiliens.
En effet, par exemple: 6 = 5 + 1 = (6 – 1) + 1  = 1 x (6 – 1)1 + 1 x (6 – 1)0 = 115. Cette égalité 6 = 115 est applicable à tout nombre: n = 11n–1 .

 

Ces conditions s'appliquent à tout le reste de cette page, sans que celles-ci soient répétées à chaque fois.

Voir Tables des brésiliens, non-brésiliens, brésiliens carrés ou cubes, brésiliens premiers.

 

 

Nombres et système de numération – Rappels

Le nombre 456 en base 10 est une forme abrégée de:

4 x 100 + 5 x 10 + 6  = 4 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100.

Sachant que 100 = 1.

Le nombre 123 en base 4 est une forme abrégée de:

1 x 42 + 2 x 41 + 3 x 40 = 27

On écrit: 1234 = 2710

On lit: 123 en base 4 vaut 27 en base 10.

 

 

Caractérisation des nombres brésiliens

 

Un nombre brésilien est un repdigit en base b. Sa valeur décimale se calcule en développant le repdigit.

 

22224 = 2 x 43 + 2 x 42 + 2 x 41 + 2 x 40

           = 2 (43 + 42 + 41 + 40)

           = 2 (64 + 16 + 4 + 1) = 2 x 85 = 170

Notez la possibilité de mettre le chiffre 2 répété en facteur commun.

 

Première factorisation

Expression générique avec la mise en facteur du chiffre c répété:

 

 

Remarque: de deux choses l'une:

*       alors B est un nombre composé; ou

*       alors B peut être un nombre premier.

 

 

Seconde factorisation

 

Mise en évidence de b en facteur commun en faisant passer le 1 de droite à gauche.

 

 

Remarque: la base b est évidemment différente de 1, par conséquent ce nombre est composé (même si B est premier avec c = 1).

 

Exemple

93 = 3335 = 3 (5² + 5 + 1) et 93/3 – 1 = 30 = 5(5 + 1) = 25 + 5 = 30

 

 

 

Propriétés des nombres brésiliens

 

Base n – 1  et tout nombre n

 

Un nombre n quelconque

s'écrit 11 en base n – 1.

 

Cette base (n – 1) est exclue de la caractérisation des nombres brésiliens, sinon tous les nombres seraient brésiliens.

 

 

Exemples

 

 

            n = (n – 1) + 1 = 11n – 1

 

Base k – 1 et tout nombre pair

 

Tout nombre pair (2k), supérieur à 7, est un nombre brésilien.

 

Cette propriété est généralisable, voir ci-dessous

 

Exemple

Développons le nombre 22k – 1

 

22k–1 = 2(k – 1)1 + 2 x(k – 1)0

          = 2(k – 1) + 2

          = 2k (un nombre pair).

 

Ainsi:  12 = 2 x   6 = 225

          100 = 2 x 50 = 2249

 

 

 

Nombres composés

 

Avec la première factorisation, on peut affirmer que:

 

Tout nombre composé peut se mettre sous une forme brésilienne avec c égal à l'un des diviseurs, sauf …

 

… Seuls sont recevables, les motifs satisfaisants les inégalités sur la base.

 

… Également, seuls sont recevables les nombres ayant plus de trois diviseurs, excluant les carrés de nombres premiers.
Ex: 49 dont les diviseurs sont {1, 7, 49} n'est pas brésilien.

 

 

 

 

À droite, trois exemples.

En rouge, les diviseurs d qui forment un nombre brésilien de base d – 1.

 

 

Diviseurs de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

 

Avec: 12 = 2 x 6 = 2 x ((6 – 1) + 1) = 2 x 115 =225

Aussi: 12 = 3 x  4 = 3 ((4 – 1) + 1) = 3 x 113 = 333 Oups, dans ce cas, le chiffre est égal à la base, ce qui n'est pas possible.

 

Diviseurs de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

 

60 = 2 x 30 = 2 x ((30 – 1) + 1) = 2 x 1129 = 2229

60 = 3 x 20 = 3 x ((20 – 1) + 1) = 3 x 1119 = 3319

60 = 4 x 15 = 4 x ((15 – 1) + 1) = 4 x 1114 = 4414

60 = 5 x 12 = 5 x ((12 – 1) + 1) = 5 x 1111 = 5511

60 = 6 x 10 = 6 x ((10 – 1) + 1) = 6 x 119  = 669

60 = 10 x 6 = 10 x ((6 – 1) + 1) = 10 x 115  =  Impossible car le chiffre "10" est supérieur à la base 5.

Avec les 12 diviseurs de 60, il est possible de former 5 nombres brésiliens.

 

Diviseurs de 111 111 = {1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111, 143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1001, 1221, 1443, 2849, 3003, 3367, 5291, 8547, 10101, 15873, 37037, 111111}

 

Avec ces 32 diviseurs, il est possible de former 15 nombres brésiliens.

Il existe en plus, une configuration à 3 chiffres: 111 11110 = [11, 11, 11]100

 

 

 

Nombres brésiliens premiers

 

Avec la première factorisation, on peut affirmer qu'un nombre brésilien n'est premier que si c = 1, et alors

 

Tous les nombre brésiliens premiers

sont des repunits.

 

 

 

 

 

 

Avec c = 1, le nombre brésilien peut être premier et c'est un repunit (tous ses chiffres sont 1).

 

 

Exemple

157 =  12² + 12 + 1

        = 1 x 122 + 1 x 121 +  1 x 120

        = 11112

157 est un nombre brésilien premier et c'est un repunit en base 12.

 

 

 

Nombres non-brésiliens

 

Un nombre non-brésilien

est un nombre premier

ou un carré de nombre premier.

 

Ceci résulte des deux propriétés énoncées ci-dessus:

*      un nombre premier est ou non brésilien

*      parmi les composés, seuls les carrés de nombres premiers ne sont pas brésiliens.

 

Seule exception

121 = 11² = 111113

 

Exemples

 

11 est le plus petit nombre premier non brésilien.

9 est le plus petit carré de premier non brésilien.

 

Suite en Table des nombres non-brésiliens

 

 

Multiples de nombres brésiliens

 

Un multiple d'un nombre brésilien

est un brésilien.

 

À droite, exemples.

En rouge, les diviseurs d qui forment un nombre brésilien de base d – 1.

 

 

Diviseurs de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Diviseurs de 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Diviseurs de 180 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}

Diviseurs de 180 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}

 

 

 

Brésiliens et puissances

 

 

Quelle que soit la base B, les puissances de B, moins 1,

sont des nombres brésiliens.

 

Notez qu'avec B = 2, nous avons les nombres de Mersenne: 2n – 1. 

 

Cette propriété résulte du résultat de la division de Bk – 1 par B – 1:

 

Et avec A = B – 1

 

 

Voir Identités remarquables en An – 1   

 

Quelques exemples et relation générale

Voir Tableau illustratif / Listes de ces nombres

 

Autres exemples

1002 – 1 = 9999 = [99, 99]100

  102 – 1 =    99 = [9, 9]10

     22 – 1 =      3 = [1, 1]2 Ce cas est à exclure, car la base vaut 3 – 1 (et c'est le seul).

 

 

Bilan

Le document de Bernard Schott indique comment exploiter ces propriétés pour déterminer si un nombre est brésilien et, si oui, en quelle base.

La recherche par ordinateur est présentée ci-dessous et les tables de valeur sur la page suivante.

 

 

Programmation

 

Le premier programme teste si un nombre est brésilien et en donne les éventuels développements selon les bases trouvées.

Le second programme se propose de faire une recherche sur les nombres entre deux bornes (n de 1 à 1000, par exemple). Pour cela, le premier programme est mis en procédure, une sorte de nouvelle fonction qui, interrogée pour n, indiquera si ce nombres est brésilien ou non.

 

 

Programme Maple

 

 

Commentaires

Est-ce que n est brésilien et si oui avec quelles bases?

 

Redémarrage: mise à zéro de tous les paramètres.

Test pour le nombre 40

 

Lancement d'une boucle pour examiner toutes les bases de 2 à 40 – 2 = 38.

 

Conversion du nombre en base n et mémorisation sous forme de liste de chiffres dans N.

Cette liste est convertie en ensemble {…}, éliminant ainsi les doublons de chiffres.

 

Si la quantité de chiffres (nops: number of operations) dans l'ensemble est égale à 1 (il n'y a qu'un seul type de chiffre) alors imprimer le nombre n, la base b et  N, le développement de n en base b.

Fin de condition (fi) et fin de boucle (od).

 

En bleu, impression des résultats. Le nombre 40 est quatre fois brésilien.

 

Procédure Maple

Commentaires

Le programme ci-dessus est transformé en procédure (une sorte de fonction que l'on pourra appeler à partir d'un autre programme).

 

Cette procédure s'appelle Bres et comporte un paramètre, le nombre n à analyser.

La boucle opère toutes les conversions pour les bases de 2 à n – 2. La conversion est identique à celle-ci-dessus mais compactée en une seule ligne.

La procédure retourne oui si le nombre est brésilien et non dans le cas contraire.

 

Le programme principal prépare une liste vide et un compteur (kt) à 0.

La boucle analyse les nombres n de 1 à 25 et fait appel à chaque fois à la procédure Bres.

Si le retour est "oui", le nombre est ajouté à la liste et le compteur est incrémenté.

 

En bleu, le résultat  du traitement par ce programme: les treize nombres brésiliens compris entre 1 et 25.

 

Voir Programme de recherche des super-repdigits / ProgrammationIndex

 

 

Merci à Bernard Schott pour avoir attiré mon attention sur ce type de nombres

et pour sa relecture attentive de cette page.

Cette page est très inspirée de sa publication citée en référence,

laquelle contient beaucoup plus qu'il n'est dit ici.

 

 

 

Suite

*  Nombres brésiliens – Tables

Voir

*  Brésilien – Nombre en langue brésilienne

*  Nom des nombres

*  Nombres à motifs

*  Nombre Repunit

*  Nombre Pannumérique

*  Nombre Périodiques

DicoNombre

*  Nombre 7

*  Nombre 15

*  Nombre 360

Sites

*  Nombres brésiliens par Bernard Schott – EDP Sciences – avril-juin 2010

*  OEIS A125134Brazilian numbers

*  OEIS A257521 – Odd Brazilian numbers

*  Nombres brésiliens – Pierre Audibert

Livre

*  Dictionnaire  de (presque) tous les nombres entiers – Daniel Lignon – ellipse – 2012

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPFORM/Bresil.htm