NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Diviseurs

NOMBRES COMPOSÉS

 

Glossaire

Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

 

Types de nombres

Composés (intro)

Composés (dév.)

Hautement comp.

Superabondants

Nbs Ordinaires

Composés durs

Nombres ronds

 

Sommaire de cette page

>>> Recherche de nombres ayant une quantité de diviseurs donnée

>>> Nombres ordinaires en cascade

>>> Représentation visuelle de la cascade

 

 

 

 

 

 

 

Nombres ORDINAIRES

&

Nombres EXTRAORDINAIRES

 

Caractérisation d'un nombre par rapport à sa quantité de diviseurs.

On cherche le nombre le plus petit  ayant une quantité donnée de diviseurs (tau). La méthode est simple, mais elle présente des ratées. Dans le premier cas les nombres sont ordinaires, dans le deuxième, ils sont extraordinaires.

Voyons d'abord comment trouver un nombre N connaissant sa quantité de diviseurs.

 

 

Recherche de nombres

ayant une quantité de diviseurs donnée

 

Comment passer de N puis à la quantité de diviseurs (tau) puis retour à N?

On rappelle que tau est égal aux produits des exposants de la factorisation première du nombre, chaque exposant étant augmenté d'une unité.

 

Conclusion: on sait calculer tau; il suffit d'effectuer l'opération inverse pour retrouver ce nombre. Mais est-ce le plus petit dans tous les cas?

 

Recherche du plus petit

Le nombre reconstitué avec la méthode indiquée semble engendrer le plus petit nombre ayant cette quantité de diviseurs. C'est le cas avec cet exemple.

 

Cas de nombres plus composés: méthode un peu corrigée

 

 

La méthode semble marcher à condition d'ordonner les exposants dans l'odre décroissant.

 

Cas de factorisation avec puissances: deuxième correction

 

 

 

 

Méthode

Pour obtenir le nombre généralement le plus petit pour tau donné:

1.   Factoriser le nombre tau

2.   complètement sans exposant en k facteurs

3.   en ordre décroissant

4.   former le produit des k premiers nombres premiers

5.   attribuer leur un exposant égal aux facteurs de tau décrémenté d'une unité.

Exceptions!

La méthode fonctionne pour une grande partie des nombres, mais présente des exceptions.

Avant de conclure que le nombre trouvé est le plus petit, il sera nécessaire de faire quelques test complémentaire avec des factorisations voisines

 

 

Nombres ordinaires en cascade

Le problème

Soit un nombre de départ.

Quel est le plus petit nombre anat. cette quantité de diviseur (nombre ordinaire)

Ayant obtenu ce fameux nombre, quel le nombre ayant cette quantité de diviseurs.

Ainsi de suite.

Ni + 1 = plus petit nombre ayant Ni diviseurs.

Les nombres N successifs sont des nombres ordinaires obtenus par un procédé en cascade.

 

Départ

Le cas le plus classique consiste à commencer par N1 = 3.

 

Calcul de N2

N2 est le nombre ordinaire ayant trois diviseurs. En appliquant notre procédure:

*       Le nombre 3 est premier: 3

*       Un seul exposant égal à 3 - 1 = 2

*       Un seul facteur 2 avec cet exposant: 22

 

On vérifique que Tau(4) = 3 avec les trois diviseurs: 1, 2 et 4.

 

Calcul de N3

Application de la procédure:

*       Le nombre 4 est composé: 2 x 2

*       Deux facteurs: 2 et 3

*       Exposants: 2 – 1 = 1, deux fois

Vérification: Tau(6) = 4 avec les quatre diviseurs: 1, 2, 3 et 6.

 

Calcul de N4

Application de la procédure:

*       Le nombre 6 est composé: 3 x 2

*       Deux facteurs: 2 et 3

*       Exposants: 3 – 1 = 1 et 2 – 1 = 1

 

Notons une progression assez lente en début de séquence; ça va changer bien vite!

Tau(12) = 6 avec les six diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

 

Calcul de N5

*       12 = 3 x 2 x 2

*       Trois facteurs: 2, 3 et 5

*       Exposants: 2, 1, 1.

 

On reconnait l'intérêt des nombres 12 et 60 comme bases de numération du fait de la quantité de leurs diviseurs.

Tau(60) = 12 avec les six diviseurs: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

 

Calcul de N6

*       60 = 5 x 3 x 2 x 2

*       Quatre facteurs: 2, 3, 5, 7

*       Exposants: 4, 2, 1, 1.

 

 

 

La cascade

Le nombre 5 040 a 60 diviseurs qui a 12 diviseurs qui a ….

 

 

Calcul de N7

*       5 040 = 7x 5 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2

*       Huit facteurs: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

*       Exposants: 6, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1

 

N7 est un nombre de 12 chiffres (293 milliards et quelques) qui a bien 5 040 diviseurs.

 

Calcul de N8

*       N = 19 x 17 x 13 x 11 x 7x 7 x 5 x 5 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

*       18 facteurs: les 18 nombres premiers qui se suivent

*       Exposants: 18, 16, 12, 10, 6, 6, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N8 = 0,6700591682 1075

     = 67005 9168204585 1683714764 3892742111 2933837297 6409909041 5466796800 0000000000
    = 218 x 316 x 512

Calcul de N9

*       90 facteurs: les 90 nombres premiers qui se suivent

*       Exposants: 60, 58, 52, 46, 42, 40, 36, 36, 30, 30, 28, 28, 22, 22, 18, 18, 18, 18, 16, 16, 16, 16, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N9 = 0,221501134 9478644095 0264049795 8923575674 4833054359 5928430876 03935781614 3046731440 6250757664 9006384094 … 101 429

(les 100 premiers chiffres sur les 1 429 chiffres de N9)

    = 260 x 358 x 552

 

Merci à Jean-François A. pour l'idée de cette recherche

 

 

 

Suite

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*         Nombres hautement indicateur

Voir

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Sites

*         Highly composite numbers – Wolfram MathWorld

*         Highly composite numbers** – Proceedings 1915

*         OEIS A133454 - Chain of 6 highly composite numbers generated when subject to the recurrence relation tau(a(n+1)) = a(n),with a(0)=3,

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