NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Diviseurs

NOMBRES COMPOSÉS

 

Glossaire

Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

 

Types de nombres

Composés (intro)

Composés (dév.)

Hautement comp.

Superabondants

Nbs Ordinaires

Composés durs

Nombres ronds

Semi-premiers

 

Sommaire de cette page

>>> Recherche de nombres ayant une quantité de diviseurs donnée

>>> méthode de formation de ces nombres

>>> Nombres ordinaires en cascade

>>> Représentation visuelle de la cascade

>>> Calcul de N(9)

>>> Commentaires

 

 

 

 

 

 

 

Nombres ORDINAIRES

&

Nombres EXTRAORDINAIRES

 

Caractérisation d'un nombre par rapport à sa quantité de diviseurs.

On cherche le nombre le plus petit  ayant une quantité donnée de diviseurs (tau). La méthode est simple, mais elle présente des ratées. Dans le premier cas les nombres sont ordinaires, dans le deuxième, ils sont extraordinaires.

Voyons d'abord comment trouver un nombre N connaissant sa quantité de diviseurs.

 

 

Recherche de nombres

ayant une quantité de diviseurs donnée

 

Comment passer de N puis à la quantité de diviseurs (tau) puis retour à N?

On rappelle que tau est égal aux produits des exposants de la factorisation première du nombre, chaque exposant étant augmenté d'une unité.

 

Conclusion: on sait calculer tau; il suffit d'effectuer l'opération inverse pour retrouver ce nombre. Mais est-ce le plus petit dans tous les cas?

 

Recherche du plus petit

Le nombre reconstitué avec la méthode indiquée semble engendrer le plus petit nombre ayant cette quantité de diviseurs. C'est le cas avec cet exemple.

 

Cas de nombres plus composés: méthode un peu corrigée

 

 

La méthode semble marcher à condition d'ordonner les exposants dans l'odre décroissant.

 

Cas de factorisation avec puissances: deuxième correction

 

 

 

 

Méthode

Pour obtenir le nombre généralement le plus petit pour tau donné:

1.   Factoriser le nombre tau

2.   complètement sans exposant en k facteurs

3.   en ordre décroissant

4.   former le produit des k premiers nombres premiers

5.   attribuer leur un exposant égal aux facteurs de tau décrémenté d'une unité.

Exceptions!

La méthode fonctionne pour une grande partie des nombres, mais présente des exceptions.

Avant de conclure que le nombre trouvé est le plus petit, il sera nécessaire de faire quelques test complémentaire avec des factorisations voisines

 

 

Nombres ordinaires en cascade

Le problème

Soit un nombre de départ.

Quel est le plus petit nombre ayant cette quantité de diviseurs (nombre ordinaire)

Ayant obtenu ce fameux nombre, quel est le nombre ayant cette quantité de diviseurs.

Ainsi de suite.

Ni + 1 = plus petit nombre ayant Ni diviseurs.

Les nombres N successifs sont des nombres ordinaires obtenus par un procédé en cascade.

 

Départ

Le cas le plus classique consiste à commencer par N1 = 3.

 

Calcul de N2

N2 est le nombre ordinaire ayant trois diviseurs. En appliquant notre procédure:

*       Le nombre 3 est premier: 3

*       Un seul exposant égal à 3 - 1 = 2

*       Un seul facteur 2 avec cet exposant: 22

 

On vérifique que Tau(4) = 3 avec les trois diviseurs: 1, 2 et 4.

 

Calcul de N3

Application de la procédure:

*       Le nombre 4 est composé: 2 x 2

*       Deux facteurs: 2 et 3

*       Exposants: 2 – 1 = 1, deux fois

Vérification: Tau(6) = 4 avec les quatre diviseurs: 1, 2, 3 et 6.

 

Calcul de N4

Application de la procédure:

*       Le nombre 6 est composé: 3 x 2

*       Deux facteurs: 2 et 3

*       Exposants: 3 – 1 = 1 et 2 – 1 = 1

 

Notons une progression assez lente en début de séquence; ça va changer bien vite!

Tau(12) = 6 avec les six diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

 

Calcul de N5

*       12 = 3 x 2 x 2

*       Trois facteurs: 2, 3 et 5

*       Exposants: 2, 1, 1.

 

On reconnait l'intérêt des nombres 12 et 60 comme bases de numération du fait de la quantité de leurs diviseurs.

Tau(60) = 12 avec les six diviseurs: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

 

Calcul de N6

*       60 = 5 x 3 x 2 x 2

*       Quatre facteurs: 2, 3, 5, 7

*       Exposants: 4, 2, 1, 1.

 

 

 

La cascade

Le nombre 5 040 a 60 diviseurs qui a 12 diviseurs qui a ….

 

 

Calcul de N7

*       5 040 = 7x 5 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2

*       Huit facteurs: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

*       Exposants: 6, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1

 

N7 est un nombre de 12 chiffres (293 milliards et quelques) qui a bien 5 040 diviseurs.

 

Calcul de N8

*       N = 19 x 17 x 13 x 11 x 7x 7 x 5 x 5 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

*       18 facteurs: les 18 nombres premiers qui se suivent

*       Exposants: 18, 16, 12, 10, 6, 6, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N8 = 0,6700591682 1075

     = 67005 9168204585 1683714764 3892742111 2933837297 6409909041 5466796800 0000000000
    = 218 x 316 x 512 x 710 x 116 x 136 x 174 x 194 x 232 x 292 x 312 x 372 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61

Calcul de N9

*       90 facteurs: les 90 nombres premiers qui se suivent

*       Exposants: 60, 58, 52, 46, 42, 40, 36, 36, 30, 30, 28, 28, 22, 22, 18, 18, 18, 18, 16, 16, 16, 16, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N9 = 0,221501134 9478644095 0264049795 8923575674 4833054359 5928430876 03935781614 3046731440 6250757664 9006384094 … 101 429

(les 100 premiers chiffres sur les 1 429 chiffres de N9)

    = 260 x 358 x 552

 

Merci à Jean-François A. pour l'idée de cette recherche

 

 

Annexe

Calcul de N(9)

 

N(8) est connu (is known)

= 218 x 316 x 512 x 710 x 116 x 136 x 174 x 194 x 232 x 292 x 312 x 372 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61

Quantité de facteurs (quantity of prime divisors): 18 + 16 + 12 + 10 + 6 + … = 90

 

Construction de n(9)

On prend les 90 plus petits nombres premiers (let's take the first prime numbers)

L = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463]

 

On prend facteurs de N8 en ordre inverse et autant de fois que l'exposant l'indique (let's take prime factors in reverse order and as many times as indicated by exponent) et soustraire 1 (and substract 1):

E = [60, 58, 52, 46, 42, 40, 36, 36, 30, 30, 28, 28, 22, 22, 18, 18, 18, 18, 16, 16, 16, 16, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

 

On calcule produit de chacun des nombres premiers à la puissance du bas (compute the product of each prime to the power of the numbers in the lower list):

N(9) = 2^60 x 3^58 x 5^52 x …

 

Valeur de n(9)

2215011349478644095026404979589235756744833054359592843087603935781614304673

1440625075766490063840943765700832191232099204099110695173019204019168007009

9258637095216350924985891323057739183410627063654466477135259366151668288687

6157361492337878294366541610149102544218991969470108442756803208895049455487

0775933390564614442061610116942471093874697753235677808371619865143138549844

1027832306547752145312092878244450226142145798559549028522861234317483570442

8952197105550866742946526392012521597790843518167928383106590805202479989824

0090656449914957441361904615173971357192444676196306797045170239382166625701

7910937451373021611291556732279489181054128530381042502638423081908981894661

7123204453294984009831330086998604006318321338856009203671703310727916959163

6945405416285878495216394798435209609485202769198882767333007285193559927062

3570365544650038632216962707023060880754074737116314797401330078656785593484

2067311369379165662857920302028228801560307113329919401124507181823727933555

1039825398746904728952945979308124651933830416677457159594884342864930304434

3690875286586154249638826866404968793590249831130410242529440582396205285129

1331490918365133613601441717535488183819522054695771472082511719055812459683

9661870371125501099411589091274870037302226370991390284596790835666704611526

7823987277299416059397573068942450864294183954028322732025122531853723815657

1598338560000000000000000000000000000000000000000000000000000

 

 

Le programme de calcul est le suivant (the program is as follows)

 

 

 

Construction de N(10)

Vous pouvez calculer N(10) à partir des facteurs de N(9) qui se lisent: 260. 358 .552

 

Il commence par: 2462 x 3460 x 5456 x …

 

 

Commentaire (Comment)

N(9) est formé selon la méthode exposée, vérifiée jusqu'à N(6). Les valeurs sont probables, mais non prouvées au-delà de N(6). 

(N(9) has been constructed according to exposed method, verified up to n(6). Beyond, values are likely to be true, but not proved.

 

 

 

 

Suite

*         Nombres hautement composés

*         Nombres hautement indicateur

Voir

*           Nombres composés

*           Nombres premiers et composésIndex

DicoNombre

*         Nombre 60

*         Nombre 5 040

Sites

*         Highly composite numbers – Wolfram MathWorld

*         Highly composite numbers** – Proceedings 1915

*         OEIS A009287a(1) = 3; thereafter a(n+1) = least k with a(n) divisors. 

*         OEIS A133454 - Chain of 6 highly composite numbers generated when subject to the recurrence relation tau(a(n+1)) = a(n),with a(0)=3,

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