NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Diviseurs

NOMBRES COMPOSÉS

 

Glossaire

Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

 

Types de nombres

Composés (intro)

Composés (dév.)

Hautement comp.

Superabondants

Nbs Ordinaires

Composés durs

Nombres ronds

Semi-premiers

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres semi-premiers

>>> Table de multiplication des nombres premiers

>>> Propriétés

>>> Programmation

>>> Semi-premiers en p² + q²

 

 

 

 

 

Nombres SEMI-PREMIERS

 

Nombres comme produit de deux diviseurs premiers, identiques ou différents.

 

Exemples

 

 

NOMBRES SEMI-PREMIERS

Noms

*         Nombres semi-premiers

*         Bi-premiers

*         2-presque premier

Définitions

*         Nombre qui n'a que deux diviseurs propres. Ces deux nombres sont distincts ou non.

C'est donc un nombre qui a trois (cas des carrés) ou quatre diviseurs.

*         Un nombre presque premier est nombre premier ou semi premier.

Exemples

Diviseurs distincts

6 = 2x3, 10 = 2x5, 14 = 2x7, 15 = 3x5, 21 = 3x7, 22 = 2x11, 26 = 2x13, 33 = 3x11, 34 = 2x17, 35 = 5x7 …

 

Tous

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 169, 177, 178, 183, 185, 187 …

Voir OEIS A001358

Premier triplet de semi-premiers consécutifs.

33, 34 et 35

 

Plus grand espace entre deux semi-premiers inférieurs à 1000

818 et 831

Anglais

Semiprime, biprime, 2-almost-prime or pq prime.

 

Table de multiplication des nombres premiers

= Nombres emi-premiers

Voir Tables de multiplication / Tables de nombresIndex

 

 

Propriétés

Simples

*         Tous les carrés sont des nombres semi-premiers
2x2 = 4, 3x3 = 9 …

*         Toutes les multiplications de deux nombres premiers produisent un nombre semi-premier.

*         Un nombre semi premier est simple; il  est également sans-carré.

*         Un nombre semi-premier est le produit de deux nombres premiers. Chacun est de la forme

Forme

*         Un nombre semi-premier est le produit de deux nombres premiers. Chacun étant de la forme 6k1

*         Soit le produit:

= 36kh + 6k + 6h + 1 = 6 (6kh + k + h) + 1

= 36kh – 6k + 6h – 1 = 6 (6kh – k + h) – 1

= 36kh + 6k – 6h – 1 = 6 (6kh + k – h) – 1

= 36kh – 6k – 6h + 1 = 6 (6kh – k – h) + 1

= 6M  1  (la valeur de M est adaptée pour chacun, bien sûr)

 

Comme tous les premiers, les nombres semi-premiers sont de la forme:

Pour les premiers >3 et les semi-premiers > 9

 

Exemples

5005 = 6 x 834 + 1 = 35 x 143 = (6 x 6 – 1) (6 x 24 – 1)

2 692 817 = 6 x 448 803 + 1 = 391 x 6 887 = (6 x 65 – 1) (6 x 1 148 + 1)

Famille des nombres en

6k1

 

*         La factorisation par 6 indiquée ci-dessus permet d'affirmer que:

 

Pour tout semi-premier, il est possible de trouver deux nombres positifs k et h tels que:

-  Si N = 6M + 1 alors  M = 6kh + k + h ou M = 6kh – k – h

-  Si N = 6M – 1 alors  M = 6kh + k – h ou M = 6kh – k + h

 

Exemples (trois des solutions sur sept possibles)

5005 = 6 x 834 + 1 = 6 (6 x 2 x 64 + 2 + 64 ) + 1

5005 = 6 x 834 + 1 = 6 (6 x 6 x 24 – 6 – 24 ) + 1

5005 = 6 x 834 + 1 = 6 (6 x 11 x 13 – 11 – 13 ) + 1

 

*         Notez que pour N appartenant à la famille des "6M  1", si on arrive  à trouver les valeurs de k et h, le nombre est semi-premier; sinon le nombre est premier.  Voir Théorème de Kraft

Avancées

*         Les semi premiers de grande taille sont la base de la cryptographie, car il est facile de les multiplier et extrêmement difficile de factoriser le nombre ainsi obtenu.

*         Le totient d'un semi premier pq est simplement calculé par:

 

 

Programmation

Programme Maple

 

Version pour copier-coller dans Maple

with(numtheory); SP := proc (n) local F, q; F := `minus`(divisors(n), {1, n}); q := nops(F); if q = 2 then return n end if end proc; {seq(SP(i), i = 10 .. 30)};

 

Commentaires

 

Appel du logiciel de théorie des nombres (numtheory).

Procédure SP (Semi-Premier) pour le nombre n.

 

F contient  les diviseurs propres de n (tous sauf 1 et n), et q donne la quantité de ces diviseurs (nops = number of operands).

 

Si celle-ci-vaut 2, le nombre n est semi-premier, il est retourné vers le programme principal.

 

On teste la procédure en demandant la séquence  (seq) testant les semi-premiers (SP) entre i = 10 et i = 30.

 

Voir Programmation

 

 

 

Semi-premiers en p² + q²

 

Les nombres p et q sont des nombres premiers distincts.

 

Exemples

34 = 2 x 17 = 3² + 5²

58 = 2 x 29 = 3² + 7²

 

 

 

 

 

Liste jusqu'à 15 000

34, 58, 74, 146, 178, 194, 218, 298, 314, 365, 386, 458, 482, 533, 538, 554, 698, 818, 866, 965, 1082, 1202, 1322, 1418, 1538, 1658, 1685, 1706, 1853, 1858, 1874, 2018, 2042, 2138, 2218, 2234, 2258, 2498, 2642, 2813, 2818, 2858, 2978, 3098, 3218, 3338, 3506, 3578, 3602, 3746, 4058, 4178, 4322, 4442, 4538, 4562, 4682, 4778, 5045, 5354, 5378, 5498, 6002, 6245, 6338, 6362, 6602, 6722, 6893, 6898, 6914, 6938, 7058, 7082, 7418, 7538, 8042, 8258, 8522, 8882, 9098, 9458, 9578, 9602, 9722, 9818, 9938, 10226, 10562, 10618, 10898, 11042, 11138, 11162, 11282, 11378, 11402, 11453, 11474, 11498, 11642, 11738, 11885, 11906, 12242, 12458, 12722, 12773, 12778, 12794, 12842, 12938, 12962, 13058, 13418, 13562, 13658, 13682, 13898, 13922, 14138, 14258, 14618, 14738, 14978 …

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Table des semi-premiers de 1 à 999

*         Codage RSA

*         Nombres hautement composés

*         Nombres hautement indicateur

Voir

*           Nombres composés

*           Nombres premiers et composésIndex

DicoNombre

*         Nombre 2

*         Nombre 2018 – Semi-premier en p² + q²

Site

*         OEIS A103558Semiprimes of the form p^2 + q^2, where p and q are primes.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/SemiPrem.htm