NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Diviseurs

 

Débutants

Diviseurs

 

Débutants

Nombres parfaits

 

Types de nombres

selon leurs diviseurs

 

Glossaire

Diviseurs

 

 

INDEX

 

Décomposition

Diviseurs

 

Présentation

Parfait

Presque parfait

Amiables

de 1 à 100

Démonstration

Unit. Parfait

Sublimes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Abondant, parfait & déficient

>>> Propriétés

>>> Nombres superabondants

>>> Nombres fortement composés

>>> Nombres abondants primitifs

 

 

 

 

Nombres

ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS

 

On considère les diviseurs propres d'un nombre; on effectue leur somme (s') ; on compare le nombre initial à cette somme … Le nombre n est parfait en cas d'égalité. À un près, le nombre est presque-parfait.

Les nombres presque-parfaits de déficience 1 sont les puissances de 2;

on ne connait pas de presque-parfait avec abondance de 1.

 

Voir rubrique débutants pour une introduction en douceur >>>

Anglais: Abundant, perfect and deficient numbers

 

 

Approche

 

Observations

 

 

Le chiffre 6 est divisible par 1, par 2 et par 3. Il est curieux car la somme de ses diviseurs est justement 6. Notez que l'on prend les diviseurs, avec le 1 et sans le 6. Ce sont les diviseurs propres

 

Le nombre 10 donne la somme de    8 qui est inférieur  à 10.

Le nombre 20 donne la somme de 22 qui est supérieur à 20.

 

Trois possibilités

 

Pour en savoir plus

 

 

C'est Nicomachus en 100 après J.-C. dans son livre Introductio Arithmetica qui introduisit ces noms.
Il pense que tous les nombres impairs sont déficients. Il est vrai que la plupart des nombres abondants sont pairs. Le plus petit nombre abondant impair est 945 = 33x5x7. Ils sont seulement 23 jusqu'à 10 000.

 

  

 

 

Abondant, parfait, déficient …

 

Notations


 

Définitions

 

Voir Définitions

 

 

 

Propriétés

 

Déficients

*    Il existe une infinité de nombres déficients pairs comme impairs.

*    Tous les nombres premiers sont déficients (somme égale à 1); de même que leurs puissances.

*    Toutes les puissances de 2 sont presque parfaites (déficience égale à 1). Anglais: least deficient or near-perfect numbers.

*    Tout diviseur propre d'un nombre parfait ou d'un nombre déficient est déficient.

*    Tous les nombres impairs ayant un ou deux facteurs distincts est déficient.

*    Les nombres impairs sont souvent déficients, et la plupart des nombres abondants sont pairs.

*    Pour n grand, il existe au moins un nombre déficient dans l'intervalle .

 

Abondants

*    Il existe une infinité de nombres abondants pairs comme impairs.

*    Environ 24,8% des nombres sont abondants (entre 24,74 et 24,80).

*    Le plus petit abondant impair est 945 = 33x5x7. Ils sont seulement 23 jusqu'à 10 000.

*    Tous les multiples d'un nombre abondant sont abondants.

*    Tous les multiples d'un nombre parfait sont abondants.

*    Les nombres abondant sont en nombre infini.

*    Les nombres abondant pairs sont en nombre infini.

*    Les nombres abondant impairs sont en nombre infini.

*    Tous les nombres supérieurs à 20 161 sont la somme de deux nombres abondants.

*    Les nombres 54 et 56 sont abondants avec la même somme S = 120, et c'est la première paire. La suivante est 60 et 78 avec S = 168.

*    Il faut atteindre 5 391 411 025 pour avoir un nombre abondant non divisible pr 2 ou par 3.

*    Aucun nombre d'abondance égale à 1 n'a été trouvé (nombre presque-parfait ou semi-parfait).

 

*    5 775 et 5 776 sont deux nombres abondants consécutifs

*    Le plus petit triplet de nombres abondants consécutifs à été trouvé seulement en 1975 par Laurent Hodges et Micahel Reid:

171 078 830

171 078 831

171 078 832

 

 

 

Nombres fortement (ou hautement) composés

 

 Définition

Selon définition de Ramanujan , en partant de 1, suite des nombres qui établissent un nouveau record en quantité de diviseurs. Plus précisément, n est fortement composé si:

 

 

Exemples

48

= 24 x 3

a 10 diviseurs:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

60

= 2² x 3 x 5

en a 12:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Voir Base de numération 60

 

   

Premiers nombres fortement composés

 

1,  2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180 >>> 

 

Ramanujan

 

Le plus grand trouvé par Ramanujan:

6 746 328 388 800 = 26 x 34 x 52 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23

 

Il prouve pour tout nombre hautement composé, les exposants des facteurs premiers successifs vont en décroissant. Chaque exposant est plus grand ou égal au suivant.

Le dernier exposant est toujours égal à 1, sauf pour 4 et 36.

 

Il en existe une infinité.

 

Anglais: Highly composite numbers

Suite Nombres hautement composés

Voir Unitairement parfait / Types de nombres selon leurs diviseurs / Table de diviseurs

 

 

Nombres superabondants

 

*    Un nombre superabondant est plus " abondant " relativement que le précédent. Il s'agit de record d'abondance croissante. Plus précisément: n est superabondant si:

 

 

*    Les premiers superabondants:
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, 720720, 1441440, 2162160, 3603600, 4324320, 7207200, 8648640, 10810800 …
Notez que cette liste est différente de celle des nombres hautement composés, même si elle commence de la même façon..

 

*    Un nombre N colossalement abondant est tel qu'il existe , tel que pour tout n:

 

*    Les nombres premiers sont super déficients, car seul 1 est diviseur. La somme des diviseurs propres est donc minimale ( = 1).

 

Anglais: Superabondant numbers

 

Nombres abondants primitifs

 

*    Nombre abondant dont les diviseurs propres sont tous déficients.

 

Exemple

70 = 2 x 5 x 7

Somme des diviseurs propres: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 74 => abondant;

Diviseurs 2, 5 et 7 sont premiers => déficients;

Diviseur 10  = 2 x 5 et somme des diviseurs: 1 + 2 + 5 = 8 => déficient;
Diviseur 14 = 2 x 7 et somme des diviseurs: 1 + 2 + 7 = 10 => déficient;

Diviseur 35 = 5 x 7 et somme des diviseurs: 1 + 5 + 7 = 13 => déficient.

70 est un nombre abondant primitif.

 

Liste

20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030, 4070, 4095, 4216, 4288 …

 

Anglais: Primitive abondant numbers

 

 

 

Suite

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Voir

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*         Nombres économes, équidistants et prodigues 

*         Tables abondants / déficients

*         Théorie des nombresIndex

Site

*         Répartition des nombres superabondants par Paul Erdös et JL Nicolas – Définition des nombres hautement composés et superabondants.

*         OEIS A005101 – Abundant numbers (sum of divisors of n exceeds 2n).

*         OEIS A071395 – Primitive abundant numbers (abundant numbers all of whose proper divisors are deficient numbers).

*         OEIS A091191 - Primitive abundant numbers: abundant numbers having no abundant proper divisor.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Abondant.htm