NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 28/10/2011

SOS je suis Débutant	-Ý- Rubrique: Nombres ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS
§ Présentation		§ Parfait	§ Presque parfait		§ Amiables
§ de 1 à 100		§ Démonstration	§ Unit. Parfait		§ Sublimes
Sommaire de cette page >>> APPROCHE >>> ABONDANT, PARFAIT & DÉFICIENT >>> NOMBRES FORTEMENT COMPOSÉS >>> PROPRIÉTÉS >>> LISTE				Pages voisines § Tables abondants / déficients § Nombres économes, équidistants et prodigues § Théorie des nombres § Calcul mental § Géométrie

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Nombres ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS

On considère les diviseurs d'un nombre

On effectue leur somme

On compare le nombre initial à cette somme

Anglais: Abundant, perfect and deficient numbers

Cool SVP!

§ Débutant

-Ý - APPROCHE

Observations

Nombre	Diviseurs Propres							Somme
6	1	2	3					S = 1 + 2 + 3 = 6
10	1	2			5			S = 1 + 2 + 5 = 8
16	1	2		4		8		S = 15
20	1	2		4	5		10	S = 22
§ Le chiffre 6 est divisible par 1, par 2 et par 3 § Il est curieux car la somme de ses diviseurs est 6 § Notez que l'on prend les diviseurs, avec le 1 et sans le 6 § Ce sont les diviseurs propres § Le nombre 10 donne une somme de 8 qui est inférieur à 10 § Le nombre 20 donne la somme de 22 qui est supérieur à 20

Trois possibilités

Somme < Nombre	Somme = Nombre	Somme > Nombre
Nombre DÉFICIENT	Nombre PARFAIT	Nombre ABONDANT
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9	6, 28, 496	12, 18, 20, 24, 30
Il y en a 76 < 100	Il y en a 2 < 100	Il y en a 22 < 100
>>>	>>>	>>>

Voir	§ Table de 1 à 100

§ C'est Nicomachus en 100 après J.-C. dans son livre

Introductio Arithmetica

§ qui introduisit ces noms

-Ý - ABONDANT, PARFAIT & DÉFICIENT

Rappel

s (n)	= somme des diviseurs de n, y compris l'unité et lui-même.
s '(n)	= somme des diviseurs propres (cad. sauf lui-même)

Voir	§ Définitions concernant les diviseurs d'un nombre

Définitions

Déficient	s ' (n)	< n
Parfait	s ' (n)	= n
Abondant	s ' (n)	> n
Super Abondant	s (n) / n	> s (12) / 12

Super abondant

§ Un nombre super abondant est plus " abondant "

que ne l'est le nombre 12

§ Les nombres premiers sont super déficients, car seul 1 est diviseur

la somme des diviseurs propres est minimum ( = 1)

NOMBRES FORTEMENT COMPOSÉS

Définition

Selon définition de Ramanujan , en partant de 1, suite des nombres qui établissent un nouveau record en quantité de diviseurs. 

Exemples

48	= 2^4 x 3 a 10 diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	= 2² x 3 x 5 en a 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Premiers nombres fortement composés

1	2	4	6	12	24	36
48	60	120	180	240	360	720
840	1 260	1 680	2 520	5 040	...

Anglais: Highly composite number

Voir Unitairement parfait / Types de nombres selon leurs diviseurs / Table de diviseurs

-Ý - PROPRIÉTÉS

· Tous les multiples d'un nombre abondant sont abondants

· Tous les multiples d'un nombre parfait sont abondants

· Les nombres abondant sont en nombre infini

· Les nombres abondant pairs sont en nombre infini

· Les nombres abondant impairs sont en nombre infini

· Le plus petit abondant impair est 945

· Tous les nombres supérieurs à 20 161 sont la somme de 2 nombres abondants

· 5 775 et 5 776 sont deux nombres abondants consécutifs

· Le plus petit triplet de nombres abondants consécutifs à été trouvé seulement en 1975 (Laurent Hodges et Micahel Reid):

171 078 830

171 078 831

171 078 832

-Ý - LISTE des nombres ABONDANTS, PARFAITS ou DÉFICIENTS

Voir	§ Liste de 1 à 100

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-Ý-

Voir

§ Nombres parfaits