NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Introduction à la

Théorie des nombres

 

Débutants

Division

DIVISEURS

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

Introduction

Valeurs

Quantité

Somme

Terminale

Produit

Comparaisons

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés – Résumé

>>> Exemple

>>> Nombre premier

>>> Produit de 2 facteurs premiers

>>> Puissances

>>> Produit de puissances

>>> Théorème général

     >>> Quantité de diviseurs pour les nombres de 0 à 109

     >>> Nombres divisibles par leur quantité de diviseurs

     >>> Doublets

>>> Nombres à facteurs parfaits

>>> Nombres successifs ayant la même quantité de diviseurs

>>> Propriété multiplicative

 

 

 

 

 

QUANTITÉ de DIVISEURS

 

Pourquoi ne me l'avait-on pas dit plus tôt ?

C'est quasi évident ! et amusant …

Je veux voir le résultat tout de suite.

Oups, Par le commencement SVP.

 

En bref, avec un exemple

Voir Nombre hautement composé 5 040

Anglais: how many different factors are there?

 

 Cas des carrés

Propriété

Seuls les carrés ont un nombre impair de diviseurs.

Ex: Div(5²) = {1, 5, 25}

         => quantité de diviseurs = 3.

 

Jeu illustrant la propriété

Voir tableau =>

Aligner des cartes numérotées de 1 à 20  en noir au recto et même numéro en rouge au verso.

On retourne une carte sur 2, puis une sur 3, puis une sur 4 puis… une carte sur 20.

Seules les cartes avec un numéro carré se retrouvent en rouge, car retournée u nombre impair de fois.

Voir Jeux et puzzles

 

 

 

 

Propriétés – Résumé

Quantité de diviseurs

 

On considère la factorisation première d'un nombre.

La quantité de diviseurs de ce nombre est égale au produit de ses exposants incrémenté de un.

 

Valeur

Formule de Wigert

Plus précisément:

Moyenne

Formule de Dirichlet

 

La constante gamma est la constante d'Euler. Le terme final est une évaluation de l'écart. Depuis l'évaluation de cet écart a été raffiné. D'autres évaluations plus sophistiquées existent.

Voir Un exemple avec factorielle 9

 

 

EXEMPLE avec 16 nombres ayant 16 diviseurs

 

Voici les nombres inférieurs à 500 dont la quantité de diviseurs est égale à 16; il en existe 800 pour les nombres inférieurs à 10 000.

 

Le truc avec la quantité de diviseurs:

C'est simplement le produit des exposants des facteurs du nombre chacun étant augmenté de 1.

Cette page explique pourquoi.

 

 

 

 

Voyons l'élaboration de la formule générale, pas à pas.

 

 

 

Cas des NOMBRES PREMIERS

Nous savons qu'un nombre premier p

n'est divisible que par 1 et lui-même.

On a vite calculé:

*      les diviseurs sont

*      la somme des diviseurs:  

 

1 et p

 (tau)       = 2

On adopte la présentation ci-dessous qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux en utilisant une procédure quasi automatique.

 

Nombre

Quantité

Diviseurs

Illustration

7 = 1 x 7

 = 2

Div. =

1

7

 

Formalisation

p = 1 x p

 = 2

Div. =

1

p

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

11 =

1 x 11

2

13 =

1 x 13

2

101 =

1 x 101

2

1 009 =

1 x 1 009

2

 

 

 

 

PRODUIT de DEUX FACTEURS PREMIERS

 

Illustration

6 =

 = 4

Div =

1

3

2 x 3

 

2

6

 

Formalisation

n =

 = 4

Div =

1

1 .B

A. B

 

A

A .B

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

10 =

2 x 5

2 x 2 = 4

14 =

2 x 7

4

15 =

3 x 5

4

22 =

2 x 11

4

 

Remarque

Jusque là, compter le nombre de diviseurs, c'est facile!

*      Nombre premiers:   = 2

*      Produit de deux facteurs premiers:   = 4.

 

 

 

PUISSANCES pures

 

Avec les puissances de nombres premiers, évidemment, la quantité de diviseurs va dépendre de la puissance considérée.

 

Illustration

8

 = (3 + 1)

Div =

1

 

= 23

= 4

 

2

 

8 est divisible par 1, 2, 4, 8 Ce sont les puissances de 2 successives

4

 

8

 

 

Formalisation

n = Aa

 = (a+1)

Div =

1

 

 

A

 

On a toutes les puissances de A

Jusqu'à la valeur de l'exposant:  a

A2

 

…

 

Aa

 

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Valeurs

Quantité

16

= 24

1, 2, 4, 8, 16

4 + 1= 5

125

= 53

1, 5, 25, 125

3 + 1= 4

16 807

= 75

1, 7, 49, 343, 2 401, 16807

5 + 1= 6

285 311 670 611

= 1111

1, 11, 121, …

11 + 1= 12

 

 

 

 

 

Bilan à ce stade

Avec les puissances de nombres premiers, on trouve la puissance plus 1.

Aa  a+1

Avec un produit, osons une hypothèse… c'est peut-être le produit de chaque puissance plus 1?

Aa . Bb  (a+1)(b+1)

 

 

 

 

 

PRODUIT DE PUISSANCES

 

Illustration

200

 = (3 + 1) (2 + 1)

Div =

1

5

25

= 23 . 52

= 12

 

2

10

50

On a calculé le produit des exposants plus 1. On trouve bien 12, la quantité de diviseurs

4

20

100

8

40

200

 

Formalisation

n = Aa . Bb

 = (a+1)(b+1)

Div =

1

1 x B

1 x B2

 

A

A x B

A x B2

On vérifie notre formule sur le produit générique. Attention: A et B sont premiers !

A2

A2 x B

A2 x B2

A3

A3 x B

A3 x B2

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

36

= 22 . 32

(2 + 1) (2 + 1) =   9

72

= 23 . 32

(3 + 1) (2 + 1) = 12

144

= 24 . 32

(4 + 1) (2 + 1) = 15

100

= 22 . 52

(2 + 1) (2 + 1) =   9

1 000

= 23 . 53

(3 + 1) (3 + 1) = 16

 

 

 

 

THÉORÈME GÉNÉRAL

Nombre & Facteurs

Quantité de diviseurs

n = Aa . Bb . Cc …

 = (a+1)(b+1)(c+1) …

= produit des exposants incrémentés

n = Aa . M

 = (a+1) M'

           divisible par (a + 1)

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

10 =

21 x 51

2 x 2 = 4

11 =

111

2

12 =

22 x 31

3 x 2 = 6

13 =

131

2

14 =

21 x 71

2 x 2 = 4

15 =

31 x 51

2 x 2 = 4

900 =

22 x 32 x 52

3 x 3 x 3 = 27

3 888 000 =

27 x 35 x 53

8 x 6 x 4 = 192

 

 

Bilan

OK pour la quantité! Et la somme des diviseurs? Voyons cela >>>

 

Je souhaiterais m'amuser un peu

Curiosité sur les diviseurs des diviseurs d'un nombre

 

Je veux en savoir davantage: Fonction arithmétique

 

Note

Dirichlet, en 1838, donne une formule donnant la quantité moyenne de diviseurs des nombres jusqu'à n.

Quantité de nombres premiers avec n: Voir Fonction phi.

 

 

Quantité de diviseurs pour les nombres de 0 à 109

Exemple: 60 a 12 diviseurs et 61 en a 2 seulement.

 

 

Nombres divisibles par leur quantité de diviseurs

Nombre TAU ou nombre refactorable

Exemple: 104 a 8 diviseurs et 104 est divisible par 8

 

Voir  Développement et programmation / Tables

 

 

Doublets sommes

 

Nombres n et n + 1 ayant la même somme de diviseurs.

 

La programmation Maple est simple:

 

 

Liste jusqu'à un million

14, 206, 957, 1334, 1364, 1634, 2685, 2974, 4364, 14841, 18873, 19358, 20145, 24957, 33998, 36566, 42818, 56564, 64665, 74918, 79826, 79833, 84134, 92685, 109214, 111506, 116937, 122073, 138237, 147454, 161001, 162602, 166934, 174717, 190773, 193893, 201597, 230390, 274533, 289454, 347738, 383594, 416577, 422073, 430137, 438993, 440013, 445874, 455373, 484173, 522621, 544334, 605985, 621027, 649154, 655005, 685995, 695313, 739556, 792855, 937425, 949634

Voir Sommes avec les mêmes chiffres

 

 

 

 

Nombres à facteurs parfaits

Il n'y a que quatre nombres qui sont égaux à la somme des quantités de diviseurs de leurs facteurs:

 

 

1, 3, 18 et 36

 

18 = 2 x 3 x 3

Diviseurs: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Quantité de diviseurs de chacun: 1, 2, 2, 4, 3, 6.

 

36 = 2x2x3x3

Diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Quantité de diviseurs de chacun: 1, 2, 2, 3, 4, 3, 6, 6, 9.

 

 

 

 

 

Nombres successifs

avec même quantité de diviseurs

 

Nombres de 1 à 250 avec au moins deux nombres successifs

On donne les nombres successifs et la valeur de tau en queue de liste

Ex: 33, 34 et 35 sont trois nombre successifs ayant quatre diviseurs.

2, 3, 2

14, 15, 4

21, 22, 4

26, 27, 4

33, 34, 35, 4

34, 35, 4

38, 39, 4

44, 45, 6

57, 58, 4

75, 76, 6

85, 86, 87, 4

86, 87, 4

93, 94, 95, 4

94, 95, 4

98, 99, 6

104, 105, 8

116, 117, 6

118, 119, 4

122, 123, 4

133, 134, 4

135, 136, 8

141, 142, 143, 4

142, 143, 4

145, 146, 4

147, 148, 6

158, 159, 4

171, 172, 6

177, 178, 4

189, 190, 8

201, 202, 203, 4

202, 203, 4

205, 206, 4

213, 214, 215, 4

214, 215, 4

217, 218, 219, 4

218, 219, 4

230, 231, 232, 8

231, 232, 8

242, 243, 244, 245, 6

243, 244, 245, 6

244, 245, 6

 

Nombres de 1 à 250 avec au moins trois nombres successifs

33, 34, 35, 4

85, 86, 87, 4

93, 94, 95, 4

141, 142, 143, 4

201, 202, 203, 4

213, 214, 215, 4

217, 218, 219, 4

230, 231, 232, 8

242, 243, 244, 245, 6

243, 244, 245, 6

301, 302, 303, 4

374, 375, 376, 8

393, 394, 395, 4

445, 446, 447, 4

603, 604, 605, 6

633, 634, 635, 4

663, 664, 665, 8

697, 698, 699, 4

902, 903, 904, 8

921, 922, 923, 4

 

 

Nombres de 1 à 100 000 avec quatre nombres successifs

On donne le nombre de tête et tau

242, 6

3655, 8

4503, 8

5943, 8

6853, 8

7256, 8

8392, 8

9367, 8

10983, 8

11605, 8

11606, 8

12565, 8

12855, 8

12856, 8

12872, 8

13255, 8

13782, 8

13783, 8

14312, 8

16133, 8

17095, 8

18469, 8

19045, 8

19142, 8

19143, 8

19940, 12

20165, 8

20965, 8

21368, 8

21494, 8

21495, 8

21512, 8

22855, 8

23989, 8

26885, 8

28135, 8

28374, 8

28375, 8

28376, 8

29605, 8

30583, 8

31735, 8

31910, 8

32005, 8

32792, 8

33062, 8

33608, 8

33845, 8

34069, 8

36392, 8

37256, 8

40311, 8

40312, 8

41335, 8

42805, 8

42806, 8

43304, 8

43526, 8

43766, 8

44213, 8

45686, 8

45733, 8

47845, 8

48054, 8

49147, 12

49765, 8

50582, 8

50583, 8

51752, 8

54103, 8

54585, 12

54966, 8

55063, 8

55254, 8

55255, 8

55976, 8

56343, 8

58952, 8

59815, 8

60231, 8

60232, 8

60663, 8

60664, 8

61142, 8

62343, 8

65334, 8

66952, 8

67015, 8

68104, 8

69303, 8

71095, 8

73927, 8

74053, 8

76262, 8

76982, 8

77432, 8

78535, 8

78872, 8

79094, 8

79095, 8

79591, 8

80726, 8

82855, 8

84469, 8

86887, 8

87655, 8

87656, 8

87896, 8

90181, 8

90182, 8

90183, 8

91495, 8

93063, 8

94262, 8

94645, 8

95384, 8

95414, 8

95512, 8

95845, 8

95846, 8

97255, 8

98102, 8

98984, 8

99655, 8

99656, 8

 

Nombres de 1 à 100 000 avec cinq nombres successifs

On donne le nombre de tête et tau

11605, 8

12855, 8

13782, 8

19142, 8

21494, 8

28374, 8

28375, 8

40311, 8

42805, 8

50582, 8

55254, 8

60231, 8

60663, 8

79094, 8

87655, 8

90181, 8

90182, 8

95845, 8

99655, 8

 

Nombres de 1 à 1000 000 avec six nombres successifs

On donne le nombre de tête et tau

28374, 8

90181, 8

157493, 8

171893, 8

171894, 8

180965, 8

180966, 8

210133, 8

298694, 8

346502, 8

369061, 8

376742, 8

610310, 8

647381, 8

647382, 8

707286, 8

729542, 8

769862, 8

 

 

Voir  Dénombrement de ces nombres

 

 

 

Propriété multiplicative – Approche numérique

Exemple
avec 12 et 35, deux nombres premiers entre eux (aucun facteur en commun).

Observations

 

Prenons le nombre 2, un diviseur de 12. Il devient naturellement un diviseur du produit 12x35. À ce titre, il se combine à chacun des diviseurs de 35 pour devenir des diviseurs du produit 12x35.
=> (2x5 = 10, 2x7 = 14, 2x35 = 70).

Même chose pour les autres diviseurs de 12.

On constate bien l'effet multiplicatif (distributivité des diviseurs de 12 sur ceux de 35).

On remarque que, pour que ça marche, les diviseurs (donc, les facteurs) doivent être distincts.

 

Quantité de diviseurs

 (tau)

 

On sait que: tout nombre se décompose en facteurs premiers de manière unique (théorème fondamental de l'arithmétique): 12 = 2² . 3

La quantité de diviseurs (tau) est égale au produit des exposants des facteurs incrémentés de 1.
tau(12)    = (2+1) (1+1) = 6
tau (35)   = (1+1) (1+1) = 4
tau (420) = (2+1) (1+1) (1+1) (1+1) = 6 x 4 = 24

 

 

Démonstration:

la quantité de diviseurs est une fonction multiplicative

Soit deux nombres

a et b tels que (a, b) = 1  (ce qui veut dire que PGCD(a, b) = 1, ou encore qu'ils sont premiers entre eux.

Expressions développées de ces  nombres et de leur produit

 

 

Les ai et bj étant distincts, aucun regroupement de facteurs possible. 

Quantité de diviseurs directement déduite des expressions développées des nombres a, b puis a.b.

 

 

 

La propriété multiplicative est quasiment implicite connaissant la formule de calcul de la quantité de diviseurs.

 

Mêmes chiffres pour n et tau² ou tau3

Chiffres identiques pour le nombre et le carré de sa quantité de diviseurs.

 

Nombre, tau et tau carré

[1, 1, 1], [9, 3, 9], [63, 6, 36], [414, 12, 144], [756, 24, 576], [4320, 48, 2304], [6160, 40, 1600], [6912, 36, 1296], …

 

Nombre, tau et tau cube

[1, 1, 1], [46, 4, 64], [152, 8, 512], [261, 6, 216], [1278, 12, 1728], [1287, 12, 1728], [1827, 12, 1728], [2718, 12, 1728], [2871, 12, 1728], [2916, 21, 9261], [3825, 18, 5832], [3852, 18, 5832], [4690, 16, 4096], [6490, 16, 4096], [7218, 12, 1728], [7821, 12, 1728], [8080, 20, 8000], [8217, 12, 1728], [8325, 18, 5832], [9064, 16, 4096], [9640, 16, 4096], …

Voir Nombre 1 728

 

 

 

 

 

Retour

Suite

*         Diviseurs – Valeurs

*         Nombres composés, hautement composés, etc.

*         Nombres ordinaires ou comment retrouver un nombre à partir de sa quantité de diviseurs

*         Autres propriétés de la somme des diviseurs

Voir

*         Diviseurs

*         Exemple avec 16 diviseurs

*         Fonction phi

*         Jeux et puzzles – Index

*         Somme en puissances

*         Théorie des nombres – Index

*         Types de nombres selon diviseurs

Sites

*           OEIS A033950 – Refactorable numbers: number of divisors of n divides n. Also known as tau numbers.

*           OEIS A002961 – Numbers n such that n and n+1 have same sum of divisors.

*           OEIS A006601 – Numbers n such that n, n+1, n+2 and n+3 have the same number of divisors.

*         Highly composite numbers** – Proceedings 1915 – Y figure une table des nombres hautement composés page 111.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivQte.htm