NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 17/02/2011

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			Produit
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QUANTITÉ de DIVISEURS

Pourquoi ne me l'avait-on pas dit plus tôt ?

C'est quasi évident ! et amusant …

Je veux voir le résultat tout de suite

EXEMPLE avec 16 nombres ayant 16 diviseurs
Voici les nombres inférieurs à 500 dont la quantité de diviseurs est égale à 16; il en existe 800 pour les nombres inférieurs à 10 000. Le truc pour calculer la quantité de diviseurs: C'est simplement le produit des exposants des facteurs du nombre chacun étant augmenté de 1. Cette page explique pourquoi.

NOMBRE PREMIER

Nous savons qu'un nombre premier p

n'est divisible que par 1 et lui-même

On remarque vite que

- les diviseurs étant: 1 et p,

- la quantité de diviseurs : (tau) = 2

On adopte la présentation ci-dessous

qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux

en utilisant une procédure quasi automatique

Nombre

Quantité

Diviseurs

Illustration

7 = 1 x 7

= 2

Div =

1

7

Formalisation

p = 1 x p

= 2

Div =

1

p

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité
11 =	1 x 11	2
13 =	1 x 13	2
101 =	1 x 101	2
1 009 =	1 x 1 009	2

PRODUIT DE 2 FACTEURS PREMIERS

Nombre

Quantité

Diviseurs

Illustration

6 = 2 x 3	= 4	Div =	1	3
			2	6

Formalisation

n =	=	Div =	1	1 .B
A. B	4		A	A .B

Exemples pur quelques nombres premiers

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité
10 =	2 x 5	2 x 2 = 4
14 =	2 x 7	4
15 =	3 x 5	4
22 =	2 x 11	4

Jusque là, Compter le nombre de diviseurs, c'est facile!
- Nombre premiers - Produit de deux facteurs premiers	= 2 = 4

PUISSANCES

Avec les puissances de nombres premiers

Évidemment, la quantité de diviseurs va dépendre

de la puissance considérée

Nombre

Quantité

Diviseurs

Illustration

8	= (3 + 1)	Div =	1
= 2^3	= 4		2
8 est divisible par 1, 2, 4, 8			4
Ce sont les puissances de 2 successives			8

Formalisation

n = A^a	= (a+1)	Div =	1
			A
On a toutes les puissances de A			A^2
			…
Jusqu'à la valeur de l'exposant: a			A^a

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Valeurs	Quantité
16	= 2^4	1, 2, 4, 8, 16	4 + 1= 5
125	= 5^3	1, 5, 25, 125	3 + 1= 4
16 807	= 7^5	1, 7, 49, 343, 2 401, 16807	5 + 1= 6
285 311 670 611	= 11^11	1, 11, 121, …	11 + 1= 12

PRODUIT DE PUISSANCES

Avec les puissances de nombres premiers - On trouve la puissance plus 1	A^a => a+1
Avec un produit, osons une hypothèse… - C'est peut-être le produit de chaque puissance plus 1 ?	A^a . B^b => (a+1)(b+1)

Nombre

Quantité

Diviseurs

Illustration

200	= (3+1) (2 + 1)	Div =	1	5	25
= 2^3 . 5^2	= 12		2	10	50
On a calculé le produit des exposants plus 1			4	20	100
On trouve bien 12, la quantité de diviseurs			8	40	200

Formalisation

n = A^a . B^b	= (a+1)(b+1)	Div =	1	1 x B	1 x B^2
			A	A x B	A x B^2
On vérifie notre formule sur le produit générique			A^2	A^2 x B	A^2 x B^2
Attention: A et B sont premiers !			A^3	A^3 x B	A^3 x B^2

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité
36	= 2^2 . 3^2	(2 + 1) (2 + 1) = 9
72	= 2^3 . 3^2	(3 + 1) (2 + 1) = 12
144	= 2^4 . 3^2	(4 + 1) (2 + 1) = 15
100	= 2^2 . 5^2	(2 + 1) (2 + 1) = 9
1 000	= 2^3 . 5^3	(3 + 1) (3 + 1) = 16

THÉORÈME GÉNÉRAL

Nombre & Facteurs	Quantité de diviseurs
n = A^a . B^b . C^c …	= (a + 1) (b + 1) (c + 1) … = produit des exposants incrémentés

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité
10 =	2^1 x 5^1	2 x 2 = 4
11 =	11^1	2
12 =	2^2 x 3^1	3 x 2 = 6
13 =	13^1	2
14 =	2^1 x 7^1	2 x 2 = 4
15 =	3^1 x 5^1	2 x 2 = 4
900 =	2^2 x 3^2 x 5^2	3 x 3 x 3 = 27
3 888 000 =	2^7 x 3^5 x 5^3	8 x 6 x 4 = 192

La quantité de diviseurs, d'accord on sait faire

Et la somme des diviseurs ?

Voyons cela >>>

Je souhaiterais m'amuser un peu

Curiosité sur les diviseurs des diviseurs d'un nombre

Je veux en savoir davantage

Fonction arithmétique

Note	- Dirichlet, en 1838, donne une formule donnant la quantité moyenne de diviseurs des nombres jusqu'à n
	- Quantité de nombres premiers avec n Voir Fonction phi

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Diviseurs

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