NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calcul mental

 

Débutants

Général

RACINE CARRÉE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Racine carrée

 

Calcul

 

Deux chiffres

Trois chiffres

"Recette"

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Deux chiffres

>>> Exemple

>>> Méthode

 

 

 

 

 

CALCUL d'une RACINE CARRÉE

 

Deux types de méthodes:

Par CALCUL (objet de cette page)

ou

Par APPROXIMATIONS successives

 

Calculer la racine carrée d'un nombre: c'est simple en conservant une image géométrique en tête.

Hep! Je connais la méthode, je veux simplement me la remettre en tête >>>

Ci-dessous, une approche pas à pas qui permet d'en comprendre le mécanisme et mieux retenir la méthode.

 

 

Devinette

Quelle est la dixième décimale de:

Solution / Année 2016

 

 

 

Approche – Quantité de chiffres

 

Combien de chiffres pour la racine?

 

1 chiffre

Nombre de 0 à 100.

2 chiffres

Nombre de 100 à 10 000.

Etc.

 

On retient que pour un chiffre de racine, on compte deux chiffres dans le nombre. Lors des calculs, il sera utile de décomposer le nombre par paquets de deux chiffres.

 

dN

N

√N

d√N

1

 9  

3,00  

1

2

99  

9,94  

1

3

 999  

31,60  

2

4

9 999   

99,99  

2

5

99 999  

316,22 

3

6

999 999  

999,99 

3

7

9 999 999  

3 162,27 

4

8

99 999 999  

9 999,99 

4

9

999 999 999  

31 622,77  

5

 

Approche – Carré à deux chiffres

-     Prenons 12² = 144

Connaissant 144, retrouvez la racine.

-     En décomposant dizaine et unité:

12 = 10 + 2

-     Calcul du carré (voir figure):

(10 + 2)² = 100 + 2 x 20 + 4

-     Il nous faut imaginer le processus inverse pour calculer la racine de 144.

-     Pour atteindre la centaine du nombre 144, il faut une racine supérieure à 10 (10 x 10 = 100), mais inférieure à 20 (20 x 20 = 400):

-          Le chiffre des dizaines de la racine est donc 1.

-          Nous retirons le carré de 10 x 10 de la figure.

-          Reste 44.

 

 

-     Que savons –nous, à ce point ?

-     La racine est égale à 1u, avec u le chiffre des unités.

-     De sorte que (voir les deux rectangles):
          2 x 10 x u au max égal 44

-     Il faut laisser une place pour le petit carré en u².

-     Il suffit de diviser 44 par 20 pour trouver u = 2,2.

-     En en ne conservant que la valeur entière u = 2.

-     FIN.

2 x (10 . u ) < 44

u < 44 / 20 = 2, 2

 

Retenons u = 2

Retirons les deux rectangles
              2 x (10 x 2) = 40

Reste 44 – 40 = 4

Cette valeur est bien le carré du chiffre des unités  4 = 2 x 2

 

Notez l'usage du point ou du signe x pour signifier multiplication

 

Posons l'opération

-     Nombre 144 en rouge:

-          La valeur de la racine se place en haut au fur et à mesure qu'elle est connue.

-          Les calculs intermédiaires sont placés en dessous.

Racine

 

1

4

4

 

 

Calculs

 

Étape 1

-     On considère le chiffre des centaines: 1.

-     Quel est le nombre qui au carré donne 1:

-          Seul 1 est valable; 2 est trop grand,

-          On pose 1 en haut.

-     Soit une dizaine pour la racine et une centaine pour son carré.

1

 

 

 

 

1

4

4

 

 

1

 

 

 

 

 

Étape 2

-     On considère maintenant le nombre complet.

-     On retire la centaine déjà trouvée.

-     Il reste 44.

1

 

 

 

 

1

4

4

 

 

1

4

4

 

 

1

0

0

 

 

 

4

4

 

 

 

Étape 3

-     On prend le chiffre de la racine 1.

-     C'est  une dizaine 10.

-     Deux fois cette valeur.

-     Combien de fois au maximum dans 44.

-     Deux semble convenir.

1

 

 

 

 

1

4

4

 

 

1

4

4

 

 

1

0

0

 

 

 

4

4

/ 2 x 10

= 2,…

 

 

 

20 x 2

= 40

 

 

 

 

 

 

Étape 4

-     On retient 2 pour la racine, et on place ce chiffre en haut.

-     Tout en retranchant la contribution de 2, soit 2 x 10 x 2 = 40.

-     Qui donne 4; qui est le carré de l'unité.

-     L'extraction de la racine est terminée: FIN.

1

 

2

 

 

1

4

4

 

 

1

4

4

 

 

1

0

0

 

 

 

4

4

 

 

 

4

0

 

 

 

0

4

reste 4

= 2x2

 

 

 

 

 

 

 = 12

 

 

 

Exemple à deux chiffres

Calculez

 

Étape 1: chiffre des dizaines

-     Blocs de 2 chiffres en partant de la droite.

-     Premier bloc à gauche.

-     Quelle est sa racine carrée:

-          7 x 7 = 49

-          8 x 8 = 64 trop grand

-          on retient 7

-          et on retire les 49; reste 4

-     On abaisse le bloc suivant.

 

 

 

 

 

 

 

5

3

2

9

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

5

3

2

9

 

 

5

3

 

 

 

 

4

9

 

 

 

 

 

4

2

9

 

 

 

Étape 2: chiffre des unités

-     On se souvient de la figure montrant la décomposition où intervient une histoire de deux rectangles identiques.

-     En bref, il faut trouver un chiffre des unités tel que 2 x 70 x u inférieur à 429.

-     Ou encore u < 429 / 140.

-     soit la valeur de u = 3.

 

 

7

 

 

 

5

3

2

9

 

5

3

 

 

 

4

9

 

 

 

 

4

2

9

 

 

 

 

 

 

Étape 3: bouclage final

-     On pose 3 comme chiffre des unités de la racine.

-     On retranche la contribution de ce 3 soit 420.

-     Reste 9 qui est bien le carré de l'unité.

-     FIN.

 

 

7

 

3

 

5

3

2

9

 

5

3

 

 

 

4

9

 

 

 

 

4

2

9

/  2 x 70 = 3,…

 

 

 

 

2 x 70 x 3 = 420

 

4

2

0

 

 

 

 

9

= 3 x 3

 

 

 = 73

 

 

Nous venons de voir le mécanisme de l'extraction de la racine carrée expliquée pas à pas.

Voici maintenant la méthode telle que vous pouvez la pratiquer

avec un peu d'habitude.

 

Méthode finale de calcul mental

Calculez

 

-     Blocs de 2 chiffres en partant de la droite.

-     Premier bloc à gauche: 34.

-     Sa racine: 34 = 5, 8…

-     On retient 5 et on retire sa contribution 25.

-     Valeur de u < 981 / (2 x 50) = 9,8

-     On retient 9 et on retire sa contribution 2 x 50 x 9 = 900

-     Reste 81 qui est bien le carré du chiffre des unités.

-     FIN.

 

 

5

 

9

3

4

8

1

3

4

 

 

2

5

 

 

 

9

8

1

 

9

0

0

 

 

8

1

 

 

 

 = 59

Calculez

 

-     Blocs de 2 chiffres en partant de la droite

-     Premier bloc à gauche: 24.

-     Sa racine: 24 = 4, 8…

-     On retient 4 et on retire sa contribution 16

-     Valeur de u < 801 / (2 x 40) = 10,01

-     La valeur entière inférieure à 10,01 est 10. Cependant une petite vérification: 50 x 50 = 2500 qui est > 2401. Alors la racine est < 50. Ce serait donc 49? Le 1 des unités le laisse également supposer 9 x 9 = 81).

-     On retient donc 9 et on retire sa contribution 2 x 40 x 9 = 720

-     Reste 81 qui est bien le carré du chiffre des unités.

-     FIN.

 

 

 

Exemple d'un cas un peu délicat, soulevé par un internaute (Merci à Adrien L.)

 

 

 

 

4

 

9

2

4

0

1

1

6

 

 

8

 

 

 

8

0

1

 

7

2

0

 

 

8

1

 

 

 = 49

 

 

 

Devinette – Solution

Quelle est la dixième décimale de:

Bien sûr la calculette va donner le résultat: 2 029 104, 5000000000.

 

Il existe une solution sans faire le calcul.

Une identité remarquable  avec des nombres successifs:

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1   = (n² + 3x + 1

De sorte que le terme sous le radical est un carré impair

La racine est un nombre entier divisé par 2.

Sa première décimale est 5 et les suivantes sont 0.

En outre, nous avons montré que le résultat est toujours 0 quels que soient les quatre nombres successifs choisis. Par exemple:

Retour

 

 

 

 

 

Suite

*  Racine carrée à trois chiffres

*  Compléments sur le calcul à la main (explications, pourquoi ça marche)

Voir

*  Calcul des carrés

*  Racines carrée – Introduction et Index

Aussi

*  Nombres carrésIndex

*  Carrés en géométrie

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