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CALCUL des CARRÉS

Nous nous proposons de calculer mentalement tous les carrés des nombres de 1 à 100.

Certains calculs sont faciles et peuvent être faits purement de tête.

D'autres sont plus complexes et peuvent servir d'exercices de calcul en calculant mentalement les opérations posées sur un papier ou sur l'écran de l'ordinateur.

Sur cette page nous donnons la méthode de calcul générale et sur les suivantes, les trucs permettant le calcul mental.

Méthode générale de calcul des carrés

Nous décomposons le nombre en dizaines et unités et nous utilisons les identités remarquables pour calculer le carré.

Formule

N = 10d + u

N² = (10d + u)²

= 100d² + 20du + u²

Exemple

23² = 4 x 100 + 20 x 2 x 3 + 9

= 400 + 120 + 9

= 529

Procédé

Pour obtenir les chiffres du carré: concaténez le carré des dizaines et celui des unités pour former un nombre à quatre chiffres.

Ajoutez deux fois le produit dizaines-unités en tant que dizaines.

Attention à la propagation des retenues!

M	C	D	U
d²
		u²
2du

Illustration

Exemples de calcul

53² = 2 809

M	C	D	U
2	5
		0	9
	3	0
2	8	0	9

88² = 7 744

M	C	D	U
6	4
		6	4
1	2	8
7	7	4	4

Avec un nombre à trois chiffres, le même procédé peut être appliqué.

Surtout, si on connaît le carré d'un groupe de chiffres, comme:

25² = 625

12² = 144

88² = 7 744

125² = (100 + 25)²

= 10 000 + 2 x 100 x 25 + 625

= 15 625

212² = (200 + 12)²

= 40 000 + 2 x 200 x 12 + 144

= 44 944

888² = (800 + 88)²

= 640 000 + 2 x 800 x 88 + 7744

= 788 544

Cas des unités supérieures à 5

Remarquez:

58 = 60 – 2 = 60 – (8 – 2)

2 est le complément à 10 de 8.

Noté u'

Formule

N = 10d + u = 10(d+1) – u'

N² = 100(d+1)²
- 20(d+1) u' + u'²

Exemple

28² = 100 x 9 – 20x3x2 + 2²

= 900 – 120 + 4 = 784

Procédé

Pour obtenir les chiffres du carré: faire les opérations indiquées ci-dessous:

M	C	D	U
(d+1)²
		u'²
– 2(d+1)u'

Exemples de calcul

29² = 841

ð d+1 = 3 et u' = 1

M	C	D	U
0	9
		0	1
–		6
	8	4	1

77² = 5 929

ð d+1 = 8 et u' = 3

M	C	D	U
6	4
		0	9
–	4	8
5	9	2	9

98² = 9 604

ð d+1 = 10 et u' = 2

M	C	D	U
10	0
		0	4
–	4	0
9	6	0	4

Méthode alternative, souvent plus rapide

Procédé La méthode alternative consiste à visualiser un rectangle dont les dimensions sont simplement: longueur = N + u (nombre plus unités larguer = d (dizaines) sa surface est égale à (N+u) d Le carré de N est la somme de cette surface avec u² Exemples 12² = 10 x 14 + 4 = 144 23² = 20 x 26 + 9 = 529 34² = 30 x 38 + 16 = 1 156 45² = 40 x 50 + 25 = 2 025 56² = 50 x 62 + 36 = 3 136 67² = 60 x 74 + 49 = 4 489 78² = 70 x 86 + 64 = 6 084 89² = 80 x 98 + 81 = 7 921 91² = 90 x 92 + 1 = 8 281

Voir Calcul des racines qui fait aussi appel à ce type de représentation géométrique

Ce que nous avons appris

Nous savons calculer le carré d'un nombre à deux chiffres selon trois méthodes, par ordre de facilité croissante:

La multiplication classique;

La méthode de calcul mental générale; et

La méthode de calcul mental alternative.

Cependant, même la dernière méthode reste encore ardue pour un calcul de tête.

Les pages suivantes abordent les tactiques particulières pour faciliter le calcul selon les chiffres des unités ou des dizaines.

Cas des nombres terminés par 9

Un nombre terminé par 9 est égal à la dizaine supérieure moins 1. Son carré est alors très facile à calculer.

Exemple: 29 = 30 – 1 = (a – 1)

(a – 1)²	=	a²	–	2a	+ 1
29²	=	30²	–	60	+ 1	=	841
79²	=	80²	–	160	+ 1	=	6 241
129²	=	130²	–	260	+ 1	=	16 641

Méthode

Voir Suite et exemples

Suite	Calcul des carrés en 5 Calcul mental des carrés – Junior (ppt) Factorisation avec des carrés
Voir	Calcul des cubes Calcul des racines Calcul des racines par approximations Calcul du carré des impairs Calcul mental – Index Calcul mental des Carrés Carrés en géométrie Carrés magiques Multiplication Racine Unités des puissances