NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 18/07/2016

Débutants

Calcul

CALCUL

Glossaire

Nombres géométriques

 

CARRÉS

 

 

 

Index des pages

CALCULS

 

>>> INDEX

 

Nombres carrés

Calcul des carrés

Unités des carrés

Calcul mental des carrés des nombres à deux chiffres

en 5

en 1 et 2

en 9

en 6 et 4

Bilan

Écart

                  Autres nombres =>

3 chiffres

Repdigit

 

Sommaire de cette page

>>> TRUCS de calcul mental

>>> Calcul mental des carrés – Règles

>>> Méthode générale de calcul des carrés

>>> Cas des unités supérieures à 5

>>> Méthode alternative, souvent plus rapide

>>> Nombres terminés par 9

>>> Carré des nombres à trois chiffres et plus

 

 

 

 

 

CALCUL des CARRÉS

 

*    Nous nous proposons de calculer mentalement tous les carrés des nombres de 1 à 100.

*    Certains calculs sont faciles et peuvent être faits purement de tête.

*    D'autres sont plus complexes et peuvent servir d'exercices de calcul en calculant mentalement les opérations posées sur un papier ou sur l'écran de l'ordinateur.

*    Sur cette page nous donnons la méthode de calcul générale et sur les suivantes, les trucs permettant le calcul mental.

 

 

 

Trucs simples de calcul mental

 

Cas général

 

Exemple

96² = 100 x 92 + 4² = 9216

 

Procédé: ajouter 4 pour arriver à 100 et les retrancher (92); faire le produit des deux (9200) et ajouter le carré de l'écart (4² = 16).

 

Propriété: (a + d)(a – d) + d² = a²

 

Autre exemple:

Suite >>>

 

Cas simple

 

Exemple

Je ne me souviens plus du carré de 7; J'hésite!

 

Procédé: prendre les deux nombres autour de 7, les multiplier et ajoutez 1:

 

Propriété: (a + 1)(a – 1) + 1 = a²

 

7² =  6 x 8 + 1

    = 48 + 1

    = 49

 

101² = 100 x 102 + 1

         = 10 200 + 1

         = 10 201

Voir Calcul mentalIndex / Table de multiplication / Identités remarquables

 

 

 

Calcul mental des carrés – Récapitulatif des règles

Notations

N = 10d + u

d' et u' compléments à 10

26 = 2 x 10 + 6

d' = 8 et u' = 4

Cas général

Propriété:

(10d + u

=100d² + u²

+ 20du

19²  0181; 180    361

23²  0409; 120    529

46²  1636; 480    2 116

99²  8181; 1620    9 801

 

Règles générales en recherchant la dizaine la plus proche

En +

 

Propriété:

a² = (a-b)(a+b) + b²

11²   10x12; 1²    121

15²   10x20; 5²    225

42²   40x44; 2²    1 764

101²  100x102; 1²    10 201

122²  100x144; 22² 

               14 400 + 484 = 144 884

En –

19²   20x18; 1²    361

17²   20x14; 3²    289

48²   50x46; 2²     2 304

99²   100x98; 1²    9 801

119²  100x138; 19² 

             13 800 + 361 = 14 161

Trucs associés

Calcul de produits

 

Propriété:

(a-b)(a+b) = a² – b²

N x M

avec N = 10d + u et M = 10d – u

23 x 17  = 20² – 3² = 391

55 x 65 = 60² – 5² = 3 575

115 x 85 = 100² – 15²

                 = 10 000 – 225 = 19 885

 

Petits trucs en plus, amusants!

Nombres en …5

N² = d x (d+1), puis 25

  35²    3 x   4       1 225

105²  10 x 11    11 025

Nombres en …1

D² + 2D + 1

avec D dizaine inférieure

21² = 20² + 40 + 1 = 441

71² = 70² + 140 + 1 = 5 041

131² = 130² + 260 + 1

         =16 900 + 260 + 1 = 17 161

Nombres en …9

2D + 1

avec D dizaine supérieure

19² = 20² – 40 + 1 = 361

59² = 60² – 120 + 1 = 3 481

119² = 120² – 240 + 1

         = 14 400 – 240 + 1 = 14 361

Nombres autour de 50

 

Propriété

(50+R = 2500+100R+R²

25 + R, puis R² (2 chiffres)

Avec R = différence à 50

52²  25+2;   4  2 704

57²  25+7; 49  3 249

49²  25-1;    1  2 401

42²  25-8;  64  1 764

Nombre suivant

(N+1)² = N² + 2N + 1

101² = 10 000 + 201 = 10 201

Nombre précédent

(N+1)² = N² – 2N +1

99² = 10 000 – 200 + 1 = 9 801

 

Règles particulières (pour la curiosité; les deux règles ci-dessus suffisent)

Nombres  100Plus

N² = N + u, puis u² (2 chiffres)

102    102+2; 2²   10 404

105²   105+5; 5²   11 025

Nombres  100Moins

N² = N – u', puis u'² (2 chiffres)

98²   98-2; 2²    9 604

97²   97-3; 3²    9 409

Nombres  10Plus

Propriété sur exemple

27² = (30 + 3)²

= 30² +2x3x60 + 3²

= 30(30-6) + 3²

= 30x24 + 3²

N² = Dx(10D + 2u'), puis u'²

22²   2x(20+4); 2²      484

62²   6x(60+4); 2²    3 844

33²   3x(30+6); 3²    1 089

106²   1x(100+12); 6²   11 236

Nombres  10Moins

N² = Dx(10D – 2u'), puis u'²

18²   2x(20-4); 2²       324

58²   6x(60-4); 2²     3 364

27²   3x(30-6); 3²       729

98² 1x(100-4); 2²   9 604

 

 

  

 

Méthode générale de calcul des carrés

 

Nous décomposons le nombre en dizaines et unités et nous utilisons les identités remarquables pour calculer le carré.

 

Formule

N = 10d + u

N² = (10d + u)²

      = 100d² + 20du + u²

 

Exemple

23² = 4 x 100 + 20 x 2 x 3 + 9

       = 400 + 120 + 9      

       = 529

 

Procédé

Pour obtenir les chiffres du carré: concaténez le carré des dizaines et celui des unités pour former un nombre à quatre chiffres.

Ajoutez deux fois le produit dizaines-unités en tant que dizaines.

Attention à la propagation des retenues!

 

M

C

D

U

 

2du

Illustration

 

 

Exemples de calcul

 

53² = 2 809

M

C

D

U

2

5

 

0

9

 

3

0

2

8

0

9

 

88² = 7 744

M

C

D

U

6

4

 

6

4

1

2

8

7

7

4

4

 

 

 

*      Avec un nombre à trois chiffres, le même procédé peut être appliqué.

Surtout, si on connaît le carré d'un groupe de chiffres, comme:

25² = 625

12² = 144

88² = 7 744

 

125² = (100 + 25)²

= 10 000 + 2 x 100 x 25 + 625

= 15 625

 

212² = (200 + 12)²

= 40 000 + 2 x 200 x 12 + 144

= 44 944

 

888² = (800 + 88)²

= 640 000 + 2 x 800 x 88 + 7744

= 788 544

 

Voir Unités des carrés

 

 

 

Cas des unités supérieures à 5

Remarquez:

58 = 60 – 2 = 60 – (82)

2 est le complément à 10 de 8.

Noté u'

 

Formule

N = 10d + u = 10(d+1) – u'

N² = 100(d+1)²
               - 20(d+1) u' + u'²

 

Exemple

28² = 100 x 9 – 20x3x2 + 2²

       = 900 – 120 + 4 = 784

 

Procédé

Pour obtenir les chiffres du carré: faire les opérations indiquées ci-dessous:

 

M

C

D

U

(d+1)²

 

u'²

 – 2(d+1)u'

Exemples de calcul

 

29² = 841

 d+1 = 3 et u' = 1

M

C

D

U

0

9

 

0

1

6

 

8

4

1

 

77² = 5 929

 d+1 = 8 et u' = 3

M

C

D

U

6

4

 

0

9

4

8

5

9

2

9

 

98² = 9 604

 d+1 = 10 et u' = 2

M

C

D

U

10

0

 

0

4

4

0

9

6

0

4

 

 

 

Méthode alternative, souvent plus rapide 

Procédé

La méthode alternative consiste à visualiser un rectangle dont les dimensions sont simplement:

*    largueur  = 10d (les dizaines),

*    longueur = N + u (nombre plus unité).

Le carré de N est le produit de ces deux nombres plus u².

 

Exemples

12² = 10 x 14 +   4 =    144

23² = 20 x 26 +   9 =    529

34² = 30 x 38 + 16 = 1 156

45² = 40 x 50 + 25 = 2 025

56² = 50 x 62 + 36 = 3 136

67² = 60 x 74 + 49 = 4 489

78² = 70 x 86 + 64 = 6 084

89² = 80 x 98 + 81 = 7 921

91² = 90 x 92 +   1 = 8 281

 

 

Voir Calcul des racines qui fait aussi appel à ce type de représentation géométrique

 

 

Ce que nous avons appris

Nous savons calculer le carré d'un nombre à deux chiffres selon trois méthodes, par ordre de facilité croissante:

*    La multiplication classique;

*    La méthode de calcul mental générale; et

*    La méthode de calcul mental alternative.

 

Cependant, même la dernière méthode reste encore ardue pour un calcul de tête.

Les pages suivantes abordent les tactiques particulières pour faciliter le calcul selon les chiffres des unités ou des dizaines.

 

 

Cas des nombres terminés par 9

 

Un nombre terminé par 9 est égal à la dizaine supérieure moins 1. Son carré est alors très facile à calculer.

 

Exemple: 29 = 30 – 1 = (a – 1)

 

(a – 1)²

=

2a

+ 1

 

 

29²

=

30²

60

+ 1

=

841

79²

=

80²

160

+ 1

=

6 241

129²

=

130²

260

+ 1

=

16 641

 

Méthode



Voir Suite et exemples

 

 

Nombre à trois chiffres et plus

 

Calcul du carré de N =  = 1000m + 100c + 10d + u

 

On isole chacun des chiffres: m milliers, c centaines, d dizaines et u unités.

 

On procède au calcul des termes dans les cases jaunes: les carrés des chiffres et le double des produits deux à deux.

 

On additionne dans chaque colonne en propageant la retenue éventuelle.

 

 

L'exemple donne:

4321² = 18 671 041

 

 

 

Tableau pour quatre chiffres

 

 

 

Identité utilisée

 

     (1000 m

     + 100 c

     +   10 d

     +        u )²

                    =

 

Comparaison avec la méthode de multiplication habituelle.

 

La méthode par multiplication posée a l'avantage d'être universelle.

 

La méthode par identité remarquable est plaisante, mais ne remplacera pas la bonne vieille méthode apprise à l'école.

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Calcul des carrés en 5

*    Calcul mental des carrés – Junior (ppt)

*    Factorisation avec des carrés

Voir

*    Calcul des cubes

*    Calcul des racines

*    Calcul des racines par approximations

*    Calcul du carré des impairs

*    Calcul mentalIndex

*    Calcul mental des Carrés

*    Carrés en géométrie

*    Carrés magiques

*    Multiplication

*    Racine

*    Unités des puissances

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