NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des nombres

 

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Glossaire

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INDEX

 

Racines carrées

 

Théorie des nombres

 

Puissances et racines

 

Algorithme de Héron

Calcul rapide ou à la main

Racine cubique à la main

 

Sommaire de cette page

>>> Construction géométrique

>>> Racines de carrés parfaits

>>> Racines de carrés quelconques

>>> Méthode de calcul à la main (à l'ancienne)

>>> Calcul complet avec décimales

>>> Une idée de pourquoi ça marche

>>> Méthode par dichotomie

>>> Avec les impairs: méthode du goutte à goutte

 

 

 

 

 

 

 CALCUL sans machine 

de la RACINE CARRÉE

 

Les calculateurs prodiges excellent dans ce genre de sport !

Deux cas se présentent: le nombre considéré est lui-même une puissance exacte du nombre à chercher ou il ne l'est pas.

Ici, on donne une méthode de calcul mental pour la racine carrée d'un nombre que ce nombre soit un carré ou non.

 

Un rappel sur la bonne vieille méthode de calcul posé comme la division.

Une méthode efficace mais lourde consiste à utiliser les fractions continues.

Pour finir, une curiosité de calcul de la racine avec les impairs.

Comme pour beaucoup de calculs, la méthode par recherche-erreur (dichotomie) est toujours possible.

 

Note: nous travaillons dans le monde des nombres positifs (pour éviter les questions sur la valeur négatives d'une raine carrée).

 Voir au préalable calcul rapide des carrés

 

 

 

Un truc marrant!

Pour calculer la racine d'un carré parfait, il suffit de compter combien il faut ajouter de nombres impairs consécutifs pour atteindre ce nombre.

Suite Méthode semblable si le carré n'est pas parfait

 

 

 

Construction géométrique

 

Calcul avec Pythagore

Remarquez que R = (n+1) / 2

 

 

 

 

Si le segment unité mesure m, alors la perpendiculaire mesure .

Voir Autre vision / Pseudo quadrature du cercle

 

 

 

 

Racines de carrés parfaits

 

Calculez la racine carrée de 1444.

 

On note N = mcdu (milliers, centaines, dizaines et unités).

 

Mentalement la preuve par 9 peut s'avérer utile.

38 x 38 = 1444

Dans le monde des racines numériques

(3 + 8) (3 + 8) = (1 + 4 + 4 +4)

2 x 2 = 4 BON!

Autres exemples

 

 

 Racines de carrés quelconques

 

Calcul pour des nombres à quatre chiffres.

Calculer avec un chiffre après la virgule peut s'envisager, au-delà, il faut être très doué!

 

 

Autre exemple avec 3 333

 

Note: Le calcul d'une proportion (e/E) pour en déduire le chiffre suivant n'est qu'une approximation commode pour le calcul mental; la progression n'est pas linéaire, mais, bien sûr, quadratique. Le résultat est néanmoins satisfaisant dans la majorité des cas. On le vérifie en recalculant le carré.

 

 

 

 

Méthode de calcul à la main (à l'ancienne)

 

Calculer la racine carrée n'est pas plus compliqué qu'effectuer une division.

C'est tout aussi fastidieux. Mais ce fut le seul moyen avant l'arrivée des calculatrices.

 

 

Cette méthode donnant les chiffres de la racine les uns après les autres était connue des Chinois. Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (vers le début de notre ère) rassemble toutes les mathématiques de la Chine ancienne. Liu Hui (263) commente ce livre et surtout donne une interprétation géométrique de la méthode.

 

 

 

 

Un calcul complet avec décimales

La présentation est éclatée (plus claire selon moi) par rapport à la méthode enseignée autrefois.

 

 

Bilan: racine de 1234,54 = 35,136 306 009 …

 

 

 

Une idée de pourquoi ça marche

Nombres de 2 chiffres

N = du

Nombres de 4 chiffres

N = 100C + U

R = 10d + u

2025 = 100 x 20 + 25

    45 =   10x4   + 5

Identité remarquable

R² = 100d² + 2x10du + u²

2025 = 100x4² + 2x10x4x5 + 5²

         =   1600   +      400     + 25

Illustration

 

Où apparaissent:

*    deux carrés: (10d et u²; et

*    deux rectangles égaux: 10du.

On connait l'aire du très grand carré.

N = (10d + u

A = 2025

On peut extraire le plus grand carré parfait qui y est inscrit.

N = 100C  + U

N = 100d² + …

En associant C et d²

Carré de 40 de côté

Estimer la taille des rectangles.

N – 100d² = 2x10du + …

2025 – 1600 = 425

2 x 10 x 4 x u + … = 425

u = 425/(80 +…)

u = 5,…

Bilan après le .retrait des rectangles

N – 100d² – 2x10du  = R

d = 4  et u = 5

425 – 2x40x5 = 25

Chiffre des unités.

R = u²

25 = 5²

 

 

 

Méthode par dichotomie

 

Cette méthode est générale à beaucoup de calcul. Il s'agit de cerner la valeur recherchée en encadrant la réponse de plus en plus finement.

 

Calculons la racine de 60 = 7,745 966 692 414 833 770 358 530 799 564 8 …

Méthode qui est pratique lorsqu'on dispose d'une calculette sans la fonction racine carrée.

 

 

 

Appel aux impairs – Méthode du goutte à goutte

 

Une propriété exceptionnelle des carrés: ils sont somme des impairs consécutifs.

Ex: 25 = 1 + 3 + 5 + 9; ajoutez 11 et vous obtenez un nouveau carré: 25 + 11 = 36 = 6².

Pour obtenir n², on ajoute les impairs consécutifs de 1 à 2n – 1.

 

La méthode d'extraction de racine carrée utilisant cette propriété est aujourd'hui une curiosité. Elle était utilisée sur les machines à calculer mécaniques à manivelle. 

 

On cherche la racine de 17 qui vaut 4,123 105 625 617 660 549 821 409 855 974 1…

 

Retirons autant d'impairs que possible

17 – 1 – 3 – 5 – 7 = 1

4 impairs

Travail sur le reste

1 suivi de la tranche de deux chiffres suivants.

1 00

Impair suivant

(7 + 1) x 10 + 1

81

Retrait des impairs

100 – 81 = 19

1 impair

Travail sur le reste

Nouvelle tranche de 00

19 00

Impair suivant

(81 + 1) x 10 + 1

821

Retrait des impairs

1900 – 821 – 823 = 256

2 impairs

Travail sur le reste

 

256 00

Impair suivant

(823 + 1) x 10 + 1

8241

Retrait des impairs

25 600 – 8 241 – 8 243 – 8 245 = 871

3 impairs

Etc.

La racine de 17 commence par

4, 123

 

Le passage à la tranche supérieure de deux chiffres correspond au passage au chiffre suivant de la racine. Soit 10n pour la racine ou (10n pour le nombre; lequel est atteint par la somme des nombres impairs de 1 à 20n – 1. Ce nombre peut se développer en: 

((2n – 1)  + 1) x 10 + 1. D'où le calcul un peu curieux présenté dans l'algorithme.

 

 

 

 

 

 

 

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