NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Représentation

>>> Problème typique sur les vitesses

 

 

 

Notion de vitesse

Spécial débutants (page 1/2)

 

Dés que l'on parle de vitesse, je suis perdu; je n'y comprends rien. Pourtant quelques bases simples et tout devient plus facile…

Voici une approche générale, puis les premiers pas formels.

Voir / Évaluation de CM1

 

 

 

APPROCHE

Définition

 

Vitesse: longueur (ou distance) en kilomètres

parcourue en une heure.

 

Langage

On dit

kilomètre par heure (km/h)

ou kilomètre à l'heure,

mais jamais kilomètre heure (comme disent certaines personnes à la télévision).

Exemples

Voiture qui roule à 110 km/h.

Elle parcourt:

Formule

l = v . t

Longueur égale vitesse par temps

Addition

Dans le métro j'emprunte le trottoir roulant qui progresse à 3 km/h.

Je marche moi-même à 5 km/h sur ce tapis roulant.

J'avance plus vite que sur le trottoir fixe.

Ma vitesse est la somme des deux: 3 + 5 = 8 km/h

 

 

REPRÉSENTATION

 

 

Représentation graphique

 

*      En horizontal (abscisses) la longueur.

*      En vertical (ordonnées) le temps qui s'écoule.

 

*      La droite oblique représente un mobile qui avance sur son chemin (en horizontal) pendant que le temps s'écoule (en vertical).

*      En une heure, le mobile a parcouru une distance qui correspond à sa vitesse (Exemple: à 90 km/h, le mobile a bien parcouru 90 km au bout d'une heure.

*      En un temps t, le mobile aura parcouru une distance l =  v.t

 

 

 

 

 

LE COURSIER

 

Problème

*      Le coursier est parti livrer un paquet.

Il marche à 5 km/h.

*      Le patron constate une erreur et veut rejoindre le coursier en vélo.

Il part deux heures plus tard

à la vitesse de 15 km/h.

*      Quand va-t-il rejoindre le coursier ?

 

 

Solution

*      La représentation graphique donne immédiatement la solution.

*      Droite bleue: le coursier qui marche à 5 km/h.

Droite rouge: le patron part deux heures plus tard et va trois fois plus vite que le coursier à 15 km/h.

*      Ils auront parcouru chacun 15 km et se rejoindront 3 heures après le départ du coursier.

 

 

Graphique

 

Solution algébrique

 

Coursier:  L =   5 . T

Patron:      L = 15 . (T – 2)

Égalité de chemin parcouru

        L = 5 . T = 15 . (T – 2)

                    T = 3 T – 6

                    T = 3 heures

 

Le patron retrouve son coursier une heure après être parti, au kilomètre 15. Le coursier était parti depuis déjà trois heures.

 

 

 

 

PROBLÈME TYPIQUE SUR LES VITESSES

 

 

*      Je vais chez ma grand-mère qui habite à 5 km de chez moi.
J'y vais à pied, en courant, à 10 km/h.
Je rentre en vélomoteur à 50 km/h.

*      Quelle est ma vitesse moyenne sur le trajet aller-retour?

 

 

C'est la moyenne des vitesses.

Rappelez-vous, le calcul des vitesses fourmille de pièges; celui de la moyenne des vitesses, aussi!

Avec les problèmes de vitesses, le truc est de toujours s'en remettre à la formule: L = V . t

 

 

*      Je vérifie:

Trajet aller en 1/2 h  et retour en 1/10 h

à la vitesse moyenne de 16,666…km/h.

 

Je retrouve bien la distance aller-retour égale à 10 km.

 

 

Parcours:  5 km à 10 km/h

    puis  5 km à 50 km/h

Vitesse moyenne:

(10 + 50) / 2 = 30 km/h

NON!

 

 

Calcul indispensable!

L1 = V1 . t1    =>     t1 = 5/10 =  1/2  h

L2 = V2 . t2    =>     t2 = 5/50 = 1/10 h

 

L   = V   . t

(L1 + L2)    =  V (t1 + t2)

  (5 + 5)     =  V (1/2 + 1/10)

      10        =  V (12/20)

 

V = 10 x 20/12 = 200 / 12 

    = 16,666 … km/h

 

(ce qui fait 36 minutes)

 

 

 

 

Devinette: il doit arriver à l'heure!

Il doit arriver au bureau à 9h. En vélo à 20 km/h, il arriverait à 8h30; à pied à 5 km/h, ce serait plutôt 10h. À quelle vitesse devrait-il aller pour arriver pile à l'heure?

Avec T l'heure de départ de la maison, on écrit l'égalité pour la distance.

En développant et en notant les heures en décimal, on calcule T puis la distance L et enfin la vitesse à adopter.

L =  20 (8h30 – T) = 5 (10h – T)

20 x  8,5 – 20T = 50 – 5T

170 – 50 =  20T – 5T

15T = 120

T = 8 h

L = 20 (8,5 – 8) = 10 km

Durée désirée: 9h – 8h = 1h

Vitesse à adopter: 10km/h

 

 

 

 

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