NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Accélération

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Accélération record

>>> Exemple 1

>>> Exemple 2

>>> Formulation

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Performance des voitures de course

avec une Ford GT en 17 mai 2012.

 

Une accélération départ arrêté exceptionnelle!

 

 

Approche

 

*    Vous avez déjà été confronté au phénomène d'accélération:

*       dans une voiture lorsqu'au démarrage vous êtes plaqué dans votre fauteuil,

*       toujours dans votre voiture, lors des virages vous êtes déporté vers l'extérieur du virage,

*       dans un avion au décollage,

*       sur un manège qui se lance ou dans la voiture du grand-huit qui plonge ou prend un virage,

*    Notez qu'en voiture sur une ligne droite à vitesse constante, votre corps ne ressent rien. Vous savez que vous rouler du fait du paysage qui défile.

*    C'est ce qui explique que, la Terre étant en rotation uniforme (1666 km/h), vous ne ressentez pas le mouvement de rotation. À notre échelle, la courbure de la Terre est trop faible pour que nous la ressentions. La trajectoire est quasi-rectiligne.

*    En chute libre, dans un trou d'air, dans une chute vous êtes soumis à votre poids et dans un premier temps votre corps accélère; Il chute de plus en plus vite.

*    L'oreille interne n'est sensible qu'aux à-coups, au démarrage d'une accélération ou d'une décélération. Les concepteurs de simulateur en profitent. Pour faire croire à une accélération qui dure, ils provoquent l'accélération voulue et la diminue doucement. Le cerveau est leurré et l'individu croit qu'il est encore en accélération. Cas de la simulation d'un tonneau dans un avion de chasse.

 

Lorsque le mouvement d'un objet est modifié, soit par un changement de vitesse ou par un changement de direction, on dit qu'il a reçu une accélération. Une accélération n'est donc pas nécessairement une augmentation de vitesse.

 

 

 

 

 

Accélération record

 

*    Le graphique analyse ce record automobile indiqué dans l'en-tête.

*    Cette vitesse exceptionnelle correspond à 341 km/h / 3,6 = 94,7 m/s.

*    La durée pour atteindre cette performance est facile à calculer. Alors t = 800 / 94,7 = 8,4 s.

*    Le graphique montre la distance parcourue selon un calcul de plus en plus fin. D'abord un échantillonnage toutes les secondes, puis 0,5 s, 0,2 s, etc.

*    Le calcul en lui-même est simple, à un détail près: il faut imaginer une valeur de l'accélération. Je choisis: 22,43 m.s-2 . Alors:

*       pour t = 1 s, la vitesse prise est 22,43 et la distance parcourue est 22,43;

*       pour t = 2 s, la vitesse devient   44,86 et la distance est 22,43 + 44,86 = 67,29;

*       etc.

*    Pour la courbe suivante, je procède à un calcul plus fin. De plus en plus fin. J'approche de plus en plus la valeur cherchée 800 m en 8,4 secondes. Ce qui prouve que l'accélération choisie est la bonne. Avec une autre valeur, la courbe passerait à côté.
 

 

*    Deux leçons à tirer de cette expérience:

*       Sans connaître l'accélération a priori, il faudrait beaucoup tâtonner pour arriver au graphique présenté. Il doit exister un truc pour la calculer, non?

*       Le calcul de l'accélération n'est pas simple; il s'agit d'une question de passage aux limites (les spécialistes parlent de calcul de primitive).

 

*    Pour bien visualiser les choses, reprenons cette courbe distance parcourue en fonction du temps et y ajoutant la vitesse et l'accélération

 

 

*    Bilan: le passage de la courbe accélération constante à la vitesse uniformément accélérée est relativement facile. Par contre pour imaginer la courbe montrant la distance en fonction du temps, pas si simple!

 

 

 

 

Exemple 1

*    Suivons un bolide imaginaire dont l'accélération est 10 km / s / s.

*    Le but est de trouver la distance parcourue en 3 secondes.
 

*    Le graphique du haut montre la valeur de l'accélération en fonction du temps. L'accélération est uniforme. Le graphe est une droite horizontale (rouge).

 

*      Le graphique du milieu représente la vitesse. Durant la première seconde elle passe de 0 à 10 km/s. Puis de 10 à 20 durant la deuxième seconde de temps. Etc. C'est le graphe en vert.
Pour  faciliter l'explication qui va venir nous considérerons que la vitesse est constante durant la durée de chaque échantillon (graphe vert en pointillés pour 1s).


*    En bas, la distance parcourue. Pour la courbe noire: vitesse de 10 km/s durant 1 seconde: d = 10 km; vitesse 20 km/s durant la deuxième seconde, soit d = 10 + 20 km. Etc.

*    En prenant des intervalles de temps de plus en plus court (échantillonnage de plus en plus fin; courbes de couleur), le graphe devient de moins en moins anguleux et s'approche de la forme d'une parabole.

 

 



Plus le calcul est fin et plus la courbe se stabilise. elle atteint une limite. En l'occurrence pour 3 secondes la distance s'établit à 45 km.

 

 

 

Exemple 2

 

*    Prenons comme accélération, celle de la pesanteur:  9,8 m.s-2 (droite horizontale rouge en dessous de l'axe des abscisses).

*    Nous lançons un projectile en l'air avec une vitesse initiale de 20 m/s (72 km/h). Comme précédemment nous traçons la courbe de la vitesse en fonction du temps (droite oblique en vert). Au bout d'une seconde, la vitesse diminue pour prendre la valeur 10 m/s. Le projectile monte en l'air et la pesanteur s'oppose à cette montée. Tant et si bien qu'à la troisième seconde, le projectile a une vitesse nulle. Il a atteint alors son point le plus haut et  il va retomber avec une vitesse qui va croître mais dans le sens de la descente.

 

*    La trajectoire de notre projectile est représentée par la courbe parabolique en noir. Le projectile monte jusqu'à une altitude de 20,4 m.

*    Comment connaître directement cette valeur?

 

 

La formulation

*    Nous connaissons l'expression de la distance en fonction de la vitesse.

 


 

*    L'expression de la distance en fonction de l'accélération résulte d'un calcul de primitive et donne:

 

 

*    Calcul pour l'exemple précédent pour T = 2 secondes:

 

L = 20 x 2 – ½ x 9,8 x 22
   =  40 – 19,6

   =  20,4 m

 

Voir Calcul complet

 

 

 

Bilan

Nous avons appris à nous méfier de l'accélération. Le mode de calcul fait intervenir la notion de primitive d'une fonction. La primitive ou antiderivative comme disent les Anglais est l'inverse de la dérivée.

 

Connaissant une fonction dérivée (y' = a.x), retrouver la fonction (y = 1/2 a.x²).

C'est l'inverse du calcul de la dérivée de y = a.x² dont nous avons que c'est y' = 2a.x.

 

De manière intuitive la dérivée cherche une enveloppe (fonction de degré 1); alors que la primitive recherche une surface (fonction de degré 2).

 

Retenons que le calcul de la valeur de l'accélération passe par la formule indiquée ci-dessus.

Voir Calcul intégral / Exemple de calcul /  Infinitésimaux

 

 

 

 

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