NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Notes de lecture

>>> Bilan 2016

 

Exemples de tests d'évaluation

>>> CM1  (TIMSS – 2015)

>>> CM2  (Francinfo – 2018)

 

 

 

 

On donne un plan à un Français. Après l'avoir examiné, il secoue la tête et déclare: " Bon, cela marche peut-être très bien dans la pratique, mais en théorie?"

 

Les mathématiques sont une approche du monde par l'abstraction qui convient bien à la mentalité française.  Cédric Villani

Voir Pensées & humour

 

 

ÉVALUATION du niveau en MATHS

 

Les Américains, traditionnellement critiques avec la France, saluent l'excellence des écoles françaises de mathématiques.

Par contre, nous ne pouvons pas être fiers du classement international pour l'ensemble des petits français en fin de primaire.

 

 

Notes de lectures

 

*    Mathématiciens français renommés: René Descartes, Évariste Galois ... Être cartésien, c'est être dépassionné, logiques, ne pas faire dans le sentiment.

*    Napoléon à l'origine de la création des grande écoles (Polytechnique et École Normale Supérieure), lui-même compétent en mathématiques: le calcul de l'angle d'élévation d'un canon compte autant que la dextérité dans le maniement d'une épée.

 

*    Paradoxe en maths:

*      La moyenne des petits Français se classent à peine au-dessus de la moyenne mondiale; par contre

*      Les meilleurs d'entre eux sont de vrais cracks.
 

*    Diplôme universitaire en mathématiques, sciences, technologie, ingénieur:

*      France :      27 % des étudiants du premier cycle;

*      États-Unis: 17%

*      2 000 chercheurs en mathématiques dans les centres parisiens. La plus forte concentration de mathématiciens du monde.

 

*    Français bien placé en mathématique financière: domaine de mathématique complexe en probabilités et statistiques.

*      Dix-huit masters français produisent 500 à 600 diplômés par an en ingénierie financière.

*      HEC classé premier  en 2011 par le Financial Time; ESSEC en troisième place.

*      Un quart des analystes quantitatifs dans le monde sont des Français.

 

*    Médailles Fields

*      11 sur 52 sont françaises.

*      Jean-Pierre Serres fut le plus jeune à 27 ans (aussi prix Abel en 2003)

*      Cédric Villani en 2010 – équation de Boltzmann et théorie du transport.

*      13 sont américaines avec cinq fois plus d'habitants.

 

 

Vous pouvez être excellent en philosophie et avoir des notes catastrophiques. En maths, c'est différent, un problème résolu est résolu. Alors, les plus malins choisissent la matière qui leur paraissent la plus juste.                 Wendelin Werner – Fields 2006

D'après L'Expansion Mars 2012 Josh Levine (Time Magazine)

Professeur: la seule profession où vous voler des choses à la maison pour les amener au travail.

Professeur: une personne qui vous aide à résoudre des problèmes que vous n'auriez pas sans eux.

Teaching: the only profession where you steal things from home and bring them to work.

Teacher: a person who helps you solve problems you'd never have without them

Le professeur médiocre informe.

Le bon professeur explique.

Le professeur supérieur démontre.

Le professeur éminent inspire.

The mediocre teacher tells.

The good teacher explains.

The superior teacher demonstrates.

The great teacher inspires.

William Arthur Ward

Les personnes qui éduquent bien les enfants doivent être plus à l'honneur que les parents: ceux-ci donnent la vie; ceux-là, un art de bien vivre. Aristote

Those who educate children well are more to be honoured than parents, for these only gave life, those the art of living well - Aristotle

Voir Pensées & humour / Anglais

 

 

 

 

Bilan 2016 en maths et en sciences par TIMSS

 

Une étude internationale révèle que les élèves français âgés de 10 ans (CM1) ont les moins bons résultats en mathématiques de l'Union européenne.

Test sur 5 000 écoliers français.

 

Pourtant, la moyenne des heures de cours est de 193 heures par an contre 158 heures en moyenne en Europe.

 

En France, les professeurs insistent sur le manque de liberté pour améliorer la compréhension des mathématiques des élèves en difficulté, aider à comprendre l'importance des mathématiques et donner du sens à cette matière.

Autre raison avancée: le français et mis plus en avant que les maths: on fait une faute d'orthographe et une erreur en maths, dit Claude Lelièvre, historien de l'éducation.

 

Quand on interroge des élèves qui viennent de cinquante pays, on interroge sur l'intersection des programmes. Donc, quand on fait ça, on vise des exercices mathématiques liés à la vie de tous les jours. Le problème, c'est qu'il y a des pays où l'on enseigne majoritairement ce type d'exercices. Alors qu'en France, on développe l'abstraction, le raisonnement, la rigueur. Selon André Antibi, directeur-adjoint de l'Institut de recherche pour l'enseignement des sciences (Ires) à l'université Paul Sabatier

 

Résultats

Maths

Sciences

International

500

500

Europe

527

525

France

488

487

France < 400

13%

12%

 

En maths: France avant-dernière position après les Chypriotes.

 

En tête en Europe: les Irlandais et les Anglais.

Dans le monde: Singapour, Hong Kong, Corée du Sud, Taïwan, Japon.

 

Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) est une enquête internationale sur les acquis scolaires, coordonnée par l'International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA). Elle porte sur les mathématiques et les sciences.

 

Description détaillée et résultats à partir de 1995 en: Trends in International Mathematics and Science StudyWikipediaNote: la France ne fait jamais partie du palmarès.

            Sources: Mathématiques: bonnet d'âne pour les écoliers français – myeurop.info

Maths et sciences: pourquoi les écoliers français sont en bas du classement – La voix du Nord

et pratiquement tous les journaux …

Source originale en anglais: TIMSS 2015 Assessment Frameworks

 

 

 

 

Exemples d'épreuves d'évaluation

 

Problème 1

Joan a 12 pommes. Elle en mange quelques unes et il lui en reste 9.

Quelles est l'opération qui décrit ce qui s'est passé?

 

A

19

+

9

=

?

B

45

=

12

+

?

C

12

?

=

9

D

9

?

=

12

Solution 1

Elle a 12 pommes, moins celles qu'elle mange, égal 9 pommes. Ce qui se traduit par l'opération C.

C

12

3

=

9

Voir Soustraction – Initiation

 

 

 

Problème 2

Kim range des œufs dans des boites. Chacune peut contenir 6 œufs. Il a 94 œufs à ranger.

Combien lui faut-il de boites?

 

Solution 2

 

Il faut 16 boites

Voir Division – Initiation

 

 

Problème 3

Tom mange  du gâteau et Jane .

Quelle part du gâteau ont-ils mangé ensemble?

 

Solution 3

 

 

Problème 3 bis

Quelle est la plus grande de ces quatre fractions?

 

Alternative

Avec réduction au même dénominateur on aurait:

 

 

 

Solution 3 bis

 

Il est plus facile de prendre la valeur décimale que de calculer avec le même dénominateur.

 

Les factions deviennent:

0,8        0,75        0,625       0,7

C'est la première qui est la plus grande.   

 

Voir Fractions – Initiation

 

 

 

Problème 5

Mary quitte Apron et roule durant 2 heures à la même vitesse. Elle atteint le panneau. Mary continue à rouler à la même vitesse vers Brandon.

Combien de temps mettra-t-elle pour aller de ce panneau à Brandon?

1½ h    ou    2 h    ou    3 h    ou    3½ h

 

Solution 5

Le premier trajet dure 2 heures pour 30 km

Le second est 1,5 fois plus long et durera 2 x 1,5 = 3 heures

Aussi:

La vitesse de Mary est de: 30 / 2 = 15 km / h

Pour faire 45 km il lui faudra: 45 / 15 = 3 heures.

Temps

Distance

Rapport

2

30

1,5

?

45

Voir Vitesse – Initiation

 

 

Problème 6

Ina a trouvé ces patrons pour fabriquer des volumes.

Quel patron permet la réalisation du volume indiqué à son côté?

 

Solution 6

A) possède bien la quantité de faces, mais la forme en U ne convient pas: il y aurait deux "fonds" et pas de "couvercle".

B) la forme est bonne, mais le rectangle n'est pas assez large pour s'appliquer à la circonférence du disque.

C) il maque manifestement deux faces triangulaires.

D) c'est bien le patron du parallélépipède (proche de celui du cube). Cette fois, il y a bien une oreille de chaque côté pour le "fond" et le "couvercle".

Voir Patrons du cube – Les 11 possibilités

 

 

 

Problème 7

Ryan doit ranger des libres dans un boite. Tous les livres ont la même taille.

Combien de livres peut-il ranger dans la boite?

 

Solution 7

La hauteur du livre (20 cm) correspond justement à la hauteur de la boite. Les livres seront donc placés debout dans la boite.

Avec 6 cm par livre sur 36 cm de longueur de boite, il va 36 / 6 = 6 livres. Et ils occupent la moitié de la boite.

En effet, sur la largeur de la boite, il va deux livres l'un derrière l'autre (2 x 15 cm de livres pour 30 cm de boite).

Il est possible de ranger 2 x 6 = 12 livres dans la boite.

 

Tailles du livre et de la boite

Solution en tableau

 

Résultats

Livre

Boite

Quantité

Hauteur

20

20

1

Longueur

6

36

6

Largueur

15

30

2

Total

 

 

12

Voir Volume du pavé (parallélépipède)

 

 

 

Problème 8

P et Q sont des fractions sur la droite des nombres telles que sur la figure du haut.

N  = P x Q

Montrez la position de N sur la droite des nombres.

 

Solution 8

Le produit d'un nombre par un nombre plus petit que 1 est un nombre encore plus petit. Ex: 5 x 0,2 = 1 plus petit que 5.

C'est vrai même si le deuxième nombre est lui-aussi plus petit que 1. En fait le produit sera plus petit que le plus petit des deux nombres. Ex: 0,5 x 0,2 = 0,1 plus petit que 0,2.

La réponse est bien la proposition D.

 

Énoncé

 

 

Propositions

 

Voir Multiplication – Initiation / Proportions

 

 

 

Problème 9

Quelle est la figure qui représente:

2x + 3x

 

Solution 9

Il s'agit d'une somme de produits. Or, un produit ne représente pas une longueur mais une aire. L'aire d'un rectangle.

L'aire des deux rectangles sur la figure du bas est égale à 5x + 5x. Ce n'est pas la bonne réponse.

Par contre, l'aire des deux rectangles au-dessus, est bien égale à 2x + 3x.

 

 

Propositions

 

Voir Aires – Formules

 

 

 

Problème 10

Jo a trois blocs de métal. Le poids de chacun est le même.

Deux pesées: l'une avec un bloc et 8 grammes; et, l'autre avec 3 blocs et  20 grammes.

Quel serait le poids d'un bloc métallique: 5, 6, 7 ou 8 grammes?

 

Solution 10

Première pesée:

B < 8

Deuxième pesée

3B > 20

Une inégalité peut être divisée par un nombre positif. Divisions par 3

B > 6,66

Parmi les propositions, seule 7  grammes convient (supérieure à 6,6  et inférieure à 8).

 

Pesée avec 1 bloc

Pesée avec 3 blocs

 

Voir Énigmes de pesées / Égalités

 

 

 

Problème 11

Le tableau exprime une relation entre x et y.

Complétez le tableau avec 2, 3, 4, 5 ou 6.

 

Solution 11

On pense d'abord à une proportion y = kx. Pas possible, k serait variable d'une ligne à l'autre.

Alors une relation en y = ax + b.

Pensons à la plus simple. Par exemple 7 = 4a + b avec a = 1 et b = 3. Mais, avec 13 = 7 + 6, ça ne marche pas.

La piste est bonne, essayons b = a – 1.

Bingo: le nombre manquant est 3.

Relation entre x et y

x

y

1

1

2

?

4

7

7

13

 

Solution en tableau

x

x – 1

y = x + (x – 1)

1

0

1

2

1

3

4

3

7

7

6

13

Voir Suites de nombres

 

 

 

Problème 12

Ces deux triangles sont égaux*.

Quelle est la valeur de l'angle A ?

52, 55, 65, 73 ou 75°.

 

Solution 12

Notons que le côté de 5 cm est côtoyé par l'angle à 73° et aussi par l'angle 52° lequel n'est pas indiqué sur la figure de droite.

L'angle A n'est pas celui à 52°.

Mais la somme des angles d'un triangle vaut 180°:

A + 52 + 73 = 180

A = 180 – 52 – 73 = 55°

 

*isométriques, ou congruents (anglais)

 

Voir Triangles égaux / Somme des angles du triangle

 

 

Tous ces exemples sont extraits de Example Mathematics ItemsTIMSS 2015

Autres exemples en anglais en TIMSS Mathematics Items

 

 

 

Test de niveau CM2 proposé par franceinfo

Question

Réponse

Commentaires

Division et puissance de 10

56 / 1000 = ?

 

Voir Division / Puissance de 10

 

56 /     10 = 5, 6

56 /   100 = 0,56

56 / 1000 = 0,056

 

 

Vitesse

Je pars à 6 heures de chez moi et je marche à 6 km/h.

Combien de temps vais-je mettre pour arriver à l'école qui se trouve à 4 km ?

Voir Vitesse

 

 

En 1 heure, je fais 6 km

En 60 min, je fais 6 km

En 10 min, je fais 1km

En 40 min, je fais 4 km

 

 

Restes de la division

Malik prépare des cookies.

Quand il essaie de les partager équitablement entre 2, 3 ou 4 de ses amis, il en reste toujours 1 pour lui.

Combien de cookies a-t-il pu préparer ?  9, 11 ou 13 ?

Voir Division euclidienne /

Énigmes semblables

13 = 3 x 4 + 1

13 = 4 x 3 + 1

13 = 6 x 2 + 1 BON

11 = 2 x 4 + 3 => non

 

9 = 3 x 3 + 0 = > non

 

Comparaison

Marc a préparé 53 kg de confiture répartie dans des pots de 250 g.

Il possède trois placards de 7 étagères chacun où il peut ranger 10 pots par étagère.

A-t-il assez de place pour ranger ses pots de confiture ?

 

 

 

Pas assez!

250 g = 1/4 de kg

4 fois plus de pots que de kg => 53 x 4 = 212 pots

 

3 placards x 7 étagères x 10 pots = 210 rangements de pots.

 

Périmètre

Julia court autour d'un terrain rectangulaire de 20 mètres de long et 5 mètres de large.

Elle fait 10 tours et demi du terrain.

Combien d'hectomètres a-t-elle parcouru ?

Voir Périmètre

L = 10,5 x 2 (20+5)

   = 525 m

   = 5,25 hm

Périmètre du terrain:

2 fois (20 + 5) m = 50 m

10 fois le tour: 500 m

Sans oublier le demi tour

=> 5 x 100 + 25 m

    = 525 m

    = 5,25 hectomètres

 

Unités

Sophie a couru 10 hectomètres et 3 décamètres.

Quelle distance a-t-elle parcouru en mètres ?

Voir Préfixe des unités

L = 1000 + 30

   = 1030m

10 hm = 10 x 100 m

            = 1000 m

3 dam = 3 x 10 m

            = 30 m

 

Calcul

Quel est le carré du quart du tiers de 12 ?

Voir Fractions

Tiers de 12 = 4

Quart de  4 = 1

Carré = 1² = 1

 

Pourcentages

Luc achète 450 kg de grains de café. Il torréfie ce café qui perd 20 % de son poids.

Quelle quantité de café torréfié peut-il vendre ?

Voir Pourcentages

Q = 450 x 0,8

    = 360 kg

Perte de 20%

Reste 80% pour la vente

 

Longueur

Pour construire l'arc de Triomphe miniature, Mahaut a utilisé 60 000 allumettes.

Sachant qu’une allumette mesure en moyenne 5 cm, quelle longueur, en kilomètres, obtiendrait-on si on plaçait les 60 000 allumettes bout à bout ?

60 000 x 5

= 300 000 cm

= 3000 m

= 3 km

 

 

 

Nombre à deviner

Je suis un nombre entier composé de cinq chiffres, sachant que tous les chiffres sont différents.

Je suis un nombre pair.

 Les chiffres sont écrits en suivant l’ordre décroissant.

Le chiffre des dizaines est le double de celui des unités.

Le chiffre des unités de mille est le triple de celui des unités.

Le chiffre des dizaines de mille est la somme de celui des centaines et des dizaines.

Qui suis-je ?

Voir Pourcentages / Nombres à deviner

N= DM cdu (dix milliers, milliers, centaines, dizaines et unités)

u = {0, 2, 4, 6 ou 8}

d = 2u

M = 3u =>  M = 6, u = 2 et d= 4

               => N = D6 c42

Différents et décroissants 

    => c = 5 => N = D6 542

D = c + d => D = 9 => N = 96 542

 

Énigme avec additions

Michel possède 2 873 pin's. Sa sœur Leïla en possède 561 de plus que lui.

Michel donne 193 pin's de sa collection à sa sœur.

Avec ceux que leur père vient de lui donner, Leïla en a maintenant 4 177.

Combien de pin's Leïla a-t-elle reçus de la part de son père ?

Voir Initiation au calculIndex

Michel:

2 873

Leila:

2 873 + 561

       = 3 434

2 873 – 193 =  2 680

3 434 + 193 = 3 627

 

4 177 – 3 627 = 550

 

Tous ces exemples sont extraits de la page de franceinfo:

QUIZ. Addition, multiplication... Avez-vous encore le niveau d'un élève de CM2 en maths ?

 – Élise Lambert – 12/02/2018

 

 

Suite

*         Intelligence

*         Intelligence artificielle

*         Ces énigmes qui affolent le Net

*         Méthode Singapour

*         Surcomptage (capacité à globaliser les calculs)

Voir

*         Étudiants

*         Exercices de CM2

*         Mémoire

*         SOS DébutantsIndex

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