NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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CERCLE

 

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Sommaire de cette page

>>> Théorème des angles alternés

>>> Exemples

>>> Deux cercles et sécantes

>>> Le triangle isocèle

 

 

 

Cercle: sécantes et tangentes

 

Cas de triangles inscrits dans un cercle et des tangentes aux sommets.

Théorème des angles alternés et applications; Découverte d'une bine belle propriété relative à deux cercles tangents et à deux sécantes.

 

 

Théorème des angles alternés

Théorème

Un cercle et une tangente.

Un triangle inscrit dans le cercle.

Aux sommets, les angles avec la tangente sont égaux aux angles alternés du triangle.

 

Explication

Les angles interceptent les mêmes arcs. Or, les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.

 

Avec ce genre de figure, le même angle se retrouve trois fois.

 

Démonstration

Dessiner les trois rayons vers les sommets du triangle qui créent trois triangles isocèles.

Ces rayons sont perpendiculaires aux tangentes.

Il suffit alors d'évaluer les angles.

 

 

En effet:

A = x + y

B = 90° – z

Autour du centre:

(180 – 2x) + (180 – 2y) + (180 – 2z)  = 360°

2x + 2y + 2z = 180°

x + y = 90 – z    =>    A = B

Anglais: alternate segment theorem or tangent-chord theorem

 

Exemples

 

 

L'angle au centre (100°) vaut deux fois l'angle inscrit (50°).

 

 

 

 

Les deux angles le long de la tangente déterminent la valeur des deux autres angles du triangle.

Cercle et deux tangentes à 30°.

Les deux tangentes forment un triangle isocèle avec angles à la base de 75° = (180 – 30) / 2.
L'angle opposé vaut 75° quelle que soit la position du sommet sur le cercle.

 

 

 

Deux cercles tangents et droites sécantes

Problème

Deux cercles tangents en T.

Deux sécantes passant par T et coupant les cercles en A, B, C et D.

Montrer que les droites passant par AB et CD sont parallèles.

 

Solution (figure du bas)

On trace la tangente commune en A (verte) et la solution devient évidente.

Application du théorème des angles alternés dans chacun des cercles (interception du même arc):

*      les angles marques 1 sont égaux  (arc AT);

*      les angles marques 2 sont égaux (arc TD).

Or, les angles 1 et 2 en T sont égaux. L'angle en B est égal à l'angle en C.

Même chose pour l'angle en A qui est égal à l'angle en D.

 

Les deux triangles sont semblables et les troisièmes côtés, AB et CD, sont parallèles. 

 

 

Problème

Deux cercles tangents. Une droite tangente aux deux cercles. Le triangle ABT avec les points de tangence pour sommets.

Quelle est la valeur de l'angle ATB ?

 

Solution

Les segments de tangente à un cercle, issue d'un même point, sont égaux. (isométriques).

MA = MT = MB

Si M est le centre d'un cercle de rayon MA, alors B et T sont sur ce cercle.

AB est le diamètre et le triangle ABT, inscrit dans le demi-cercle, est rectangle en T.

 

 

 

Voir Brève 687

 

 

Le triangle isocèle

 

 

Problème

Un cercle bleu. Un triangle BCE.

Les deux tangentes en B et C et leur intersection en D.

La parallèle DF à BE.

Montre que le triangle BEF est isocèle.

 

 

Solution (figure du bas)

Les angles marqués 1 sont égaux selon ce qui a été vu ci-dessus.

Avec les parallèles:

*      les angles marqués 2 sont alaternes-internes et sont égaux.

*      l'angle 3 est égal à l'angle 1 en E.

 

L'angle 1 en B intercepté CD.

L'angle 3 en F intercepté CD.
CD est la corde commune d'un cercle. Les points BFCD sont cocyclique (cercle en pointillé).

 

Dans ce cercle:

*    l'angle 1 en C intercepte l'arc BD

*    l'angle 2 en F intercepte l'arc BD

Ils sont égaux.

 

Les angles marqués 1, 2 et 3 sont tous égaux.

En particulier, l'angle 2 en B et l'angle 1 en F. Le triangle BEF est isocèle et FB = FE.

 

 

 

 

Suite

*  Équations

*  Fondements

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Sites

*   Alternate Segment Theorem – Cuemath

*  Alternate Segment Theorem – Explanation & Examples – The Sory of Mathematics

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/SecTang.htm