NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

TRIANGLE

Général

Triangle isocèle

Types

Débutant

Isocèle de 45° au sommet

Quelconque

Développements

Isocèle – Intersections

Rectangle

Propriétés

Isocèle – Bissection

Équilatéral

Résolution

Isocèle – Construction

Isocèle – 20 80 80

 

Sommaire de cette page

>>> Caractérisation du triangle isocèle

>>> Principales relations métriques

>>> Médianes

 

 

 

TRIANGLE ISOCÈLE

Fiche résumant les propriétés

 

Relations entre la longueur des côtés et la mesure des angles.

Autres propriétés et relations métriques.

 

 

Caractérisation du triangle isocèle

 

Côtés

Un triangle est isocèle si au moins deux de ses côtés ont même longueur.

AB = AC

 

Th: Si dans un triangle deux côtés ont même longueur, les angles opposés sont égaux.

 

Angles

Un triangle est isocèle si au moins deux de ses angles sont égaux.

 

Th: Si dans un triangle deux angles sont égaux, les côtés opposés ont même longueur.

 

Symétrie

Un triangle est isocèle s'il a au moins un axe de symétrie.

La droite portée par AH est un axe de symétrie du triangle ABC.

 

Un triangle est isocèle si une des hauteurs au moins partage ce triangle en deux triangles égaux (isométriques).

 

Médianes et autres céviennes

Un triangle est isocèle si au moins deux de ses médianes ont même longueur.

BM = CN  >>>

 

Propriétés vraies également pour les hauteurs et les bissectrices.

 

 

 

Si le triangle est isocèle:

*    AB = AC = a

*   

*    BH = HC

 

 

 

 

Relations principales: côtés, angles et hauteur principale

 

Angles

 

 

Longueurs



Hauteur principale

 

 

 

Médianes

 

 

 

Voir Longueur des médianes

 

 

 

Les médianes

se coupent en G,

le centre de gravité du triangle.

 

 

 

 

 

 

Les médianes BM et CN

sont de même longueur.

 

Cela parait évident du fait de la symétrie introduite par la droite AH.

 

 

 

Démonstration

Sachant que AB = AC et que M et N sont les milieux de ces segments, démontrez que BM = CN.

 

Dans les triangles AMB et ANC:

*      L'angle A est commun;

*      AB = AC; et

*      AM = AN.

Ces deux triangles sont égaux (isométriques).

La troisième côté de l'un est de même longueur que le troisième côté de l'autre: BM = CN

 

 

Si deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.

 

Démonstration

Un triangle quelconque avec

*    AN = NB et AM = MC;

*    BM = CN

Démontrez que ce triangle est isocèle.

 

On se sert de la construction indiquée:

*    MP parallèle à NC

*    P intesection de MP avc BC

 

L'idée consiste à montrer que le triangle MBP est isocèle. Les angles à la base (1 et 3) sont égaux et aussi égaux à 2.

 

 

Les points M et N sont les milieux de AB et de AC. NC est parallèle à MP.

 

 

MN et parallèle à BC.

Le quadrilatère NMPC est un parallélogramme.

Ses côtés NC et MP sont de même longueur.

 

Les médianes sont de même longueur.

 

NC = MP = MB

Le triangle MBP est isocèle.

Angle 1 = Angle 3

 

NC et MP sont parallèles.

Angle 1 = Angle 3 = Angle 2

Triangles BCM et BCN.

 

*      Même base BC

*      Angle 3 = angle 2

*      BM = CN

Ces deux triangles sont égaux.

 

Les côtés sont égaux deux à deux.

 

CM = BN

2CM = 2BN

AB = AC   

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Partage du carré en triangles isocèles

*    Résolution du triangle isocèle

*    TriangleIndex

*    Triangle isocèle – Bissection 

*   Triangle isocèle – Intersections

*    Triangle isocèle de 45° au sommet

*    Types de triangles

Voir

*    Allumettes et quatre triangles isocèles

*    Égalités des triangles

*    Jeux

*    Médianes

*    Platon et sa vision des éléments

*    Polygones

*    Probabilité d'obtenir un triangle obtusangle

*    Quadrupler le triangle

*    Résolution du triangle quelconque

Triangle de Pythagore

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