NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 10/02/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

CERCLE

 

Débutants

Général

Propriétés de partage

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Cercle

 

Polygones

 

Dénombrement

 

Partage – Égalité

En 5 – Pentagone

En 6 – Hexagone

Constructibilité

Régions-cordes

Régions-points

 

Sommaire de cette page

>>> Index

>>> En 2, 4, 8, 16 …

>>> En 3, 6, 12 …

>>> En 5, 10, 15, 20 …

>>> En 17

 

 

 

 

 

Partage du cercle en n parties égales

ou Construction du polygone régulier à n côtés

 

Partager en 2, 4 ou 8, c'est relativement évident.

Partager en 3, 6  ou 9, c'est un peu plus difficile.

Partager en 5 fait partie des constructions que l'on trouvaient dans les manuels de géométrie du XXe siècle.

Il existe des cas pour lesquels il est impossible d'imaginer une construction géométrique à la règle et au compas. >>>

 

 

 

Partage du cercle et polygones réguliers

En rouge les constructions impossibles.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

180

120

90

72

60

51,43

45

40

36

Lien

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

32,72

30

27,69

25,71

24

22,5

21,17

20

18,94

Lien

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

Voir DicoNombre pour accéder aux nombres indiqués

 

 

Devinette

Savez-vous quelle est la meilleure façon de partager un gâteau pour en prendre une part ou deux et remettre le reste au frigo?

Solution

 

Comment partager un disque en deux anneaux

Voir Énigmes et puzzles

 

 

 

 

 

Partage du cercle en 2, 4, 8 … parties égales

 

En 2

*    Pour partager un cercle en deux, il suffit de dessiner un diamètre (AB, par exemple).

*      Pour cela, il faut connaître le centre. Voir Construction.

 

En 4

*    Pour partager en quatre, tracez la médiatrice  CD de AB. Il suffit pour cela de dessiner deux cercles.

 

 

 

En 8 – méthode 1

*    Pour partager en huit, dessiner le carré ACBD. Puis tracez la médiatrice de AC qui coupe le cercle en E et G. Même chose pour CB dont la médiatrice coupe le cercle en F et H.

 

 

 

 

 

En 8 – méthode 2

*    Pour partager un cercle en huit, partir du partage du cercle en quatre parties égales

*    Tracez les médiatrices de OA, OB, OC et OD.

*    Les deux droites EG et FH passant par les points d'intersection des médiatrices coupent le cercle en E, F, G et H. 

 

 

En 16

*    Même type de construction que pour 8. Médiatrices de AE, EC …

 

 

 

 

Partage du cercle en 3, 6, 12 … parties égales

 

 En 12 – méthode 1

*    Reprendre la construction du partage en 8 (méthode 2).

*    Tracez les droites EI, FJ … passant par les intersections des tracés verts avec le cercle.

Voir Sin 30° = 1/2 

 

En 6 – méthode 1

*    Prendre un point sur deux sur le cercle.

 

En 3 – méthode 1

*    Prendre un point sur quatre sur le cercle.

 

 

En 6 – méthode 2

*    Le cercle et un de ses diamètres (CD).

*    Compas ouvert au rayon du premier cercle.

*    Tracez un cercle de centre C qui coupe le cercle initial en E et F.

*    CD, EG et FH partagent le cercle en six.

 

Voir Rosace / Six en cercle

 

En 3 – méthode 2

*    Prendre un point sur deux sur le cercle.

 

En 12 – méthode 2

*    Tracez les médiatrices des cordes EC, CF …

 

 

 

 

Partage du cercle en 5, 10, 15, 20 … parties égales

 

En 5

*    La construction est décrite en construction du pentagone

 

En 10

Prendre les médiatrices des côtés du pentagone.

 

En 15

*    Tracez un pentagone ABCDE.

*    Dessinez les médiatrices des côtés: elles sont issues d'un sommet et passent par le centre O du cercle circonscrit (AA', BB' …)

*    Tracez les médiatrices (traits rouges) de OA', OB' …Sur le cercle, les dix points d'intersection ajoutés aux cinq du pentagone sont les sommets du pentadécagone.

 

Observation: Les arcs délimités par le pentagone sont chacun divisés par 3 selon la méthode vue lors du partage en 8.

 

Note: Si vous dessiner sur avec un logiciel de dessin ou avec Word, dessiner un pentagone, puis un deuxième que vous faire tourner de 24° et un troisième avec rotation de 48°.

 

 

Partage du cercle en 17 parties égales

 

En 17

 

*    La construction de l'heptadécagone est assez longue. En 1796, âgé de 19 ans,  Gauss prouva que ce polygone est constructible. La méthode de construction fut trouvée vers 1800 par Erchinger.

 

*    La méthode est basée sur la connaissance de la relation explicitée ci-dessous.

 

Voir Diaporama par de Mélusine-Syracuse

 

 

Valeur du cosinus de l'angle Pi / 17 = 10,588235°

 

ou en simplifiant (un peu):

 

Cette valeur exprimée avec radicaux provient de la résolution d'une équation du huitième degré.

Voir  Angle Pi/17 et Heptadecagon de Wolfram

 

 

 

Devinette – Solution

 

Question

Savez-vous quelle est la meilleure façon de partager un gâteau pour en prendre une part ou deux et remettre le reste au frigo?

La solution fut présentée par Francis Galton en 1906: couper un gâteau rond selon des principes scientifiques. Solution remise au goût du jour par Alex Bellos (vidéo sur Numberphile: the scientific way to cut a round cake >>>).

 

Réponse

Ce qu'il ne faut pas faire: couper une portion et remettre au frigo car les deux faces coupées vont prendre l'air et rancir.

Ce qu'il faut faire: couper une section centrale et rapprocher les deux "presque" demi-parts. Ainsi, les faces coupées ne sont plus à l'air. Au besoin, maintenir avec un ruban élastique autour du gâteau

 

Pour prendre une part le lendemain, coupez de la même façon mais en croix. Rapprochez à nouveau les deux parts restantes.

 

Retour

 

 

 

Suite

*  Voir en haut de page

*  Cercle – Découpe - Faisabilité

*  Partage de la tarte en un maximum de parts

*  Découpe du gâteau en huit

*  Découpe de la brioche en neuf parts

Voir

*  Bonne année 2017

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

*  Noms des polygones

*  Tartes et fractions

Site

*  Pourquoi il ne faut jamais couper un gâteau rond en parts triangulaires - Terrafemina

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Partage.htm