NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Général

Propriétés de partage

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Cercle

 

Polygones

 

Partage

En 5 – Pentagone

En 6 – Hexagone

Constructibilité

 

 

Sommaire de cette page

>>> Index

>>> En 2, 4, 8, 16 …

>>> En 3, 6, 12 …

>>> En 5, 10, 15, 20 …

>>> En 17

 

 

 

 

 

Partage du cercle en n parties égales

ou Construction du polygone régulier à n côtés

 

Partager en 2, 4 ou 8, c'est relativement évident.

Partager en 3, 6  ou 9, c'est un peu plus difficile.

Partager en 5 fait partie des constructions que l'on trouvaient dans les manuels de géométrie du XXe siècle.

Il existe des cas pour lesquels il est impossible d'imaginer une construction géométrique à la règle et au compas. >>>

 

 

 

Partage du cercle et polygones réguliers

En rouge les constructions impossibles.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

180

120

90

72

60

51,43

45

40

36

Lien

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n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

32,72

30

27,69

25,71

24

22,5

21,17

20

18,94

Lien

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Voir DicoNombre pour accéder aux nombres indiqués

 

 

Partage du cercle en 2, 4, 8 … parties égales

 

En 2

*    Pour partager un cercle en deux, il suffit de dessiner un diamètre (AB, par exemple).

*      Pour cela, il faut connaître le centre. Voir Construction.

 

En 4

*    Pour partager en quatre, tracez la médiatrice  CD de AB. Il suffit pour cela de dessiner deux cercles.

 

 

 

En 8 – méthode 1

*    Pour partager en huit, dessiner le carré ACBD. Puis tracez la médiatrice de AC qui coupe le cercle en E et G. Même chose pour CB dont la médiatrice coupe le cercle en F et H.

 

 

 

 

 

En 8 – méthode 2

*    Pour partager un cercle en huit, partir du partage du cercle en quatre parties égales

*    Tracez les médiatrices de OA, OB, OC et OD.

*    Les deux droites EG et FH passant par les points d'intersection des médiatrices coupent le cercle en E, F, G et H. 

 

 

En 16

*    Même type de construction que pour 8. Médiatrices de AE, EC

 

 

 

 

Partage du cercle en 3, 6, 12 … parties égales

 

 En 12 – méthode 1

*    Reprendre la construction du partage en 8 (méthode 2).

*    Tracez les droites EI, FJ … passant par les intersections des tracés verts avec le cercle.

Voir Sin 30° = 1/2 

 

En 6 – méthode 1

*    Prendre un point sur deux sur le cercle.

 

En 3 – méthode 1

*    Prendre un point sur quatre sur le cercle.

 

 

En 6 – méthode 2

*    Le cercle et un de ses diamètres (CD).

*    Compas ouvert au rayon du premier cercle.

*    Tracez un cercle de centre C qui coupe le cercle initial en E et F.

*    CD, EG et FH partagent le cercle en six.

 

Voir Rosace / Six en cercle

 

En 3 – méthode 2

*    Prendre un point sur deux sur le cercle.

 

En 12 – méthode 2

*    Tracez les médiatrices des cordes EC, CF

 

 

 

 

Partage du cercle en 5, 10, 15, 20 … parties égales

 

En 5

*    La construction est décrite en construction du pentagone

 

En 10

Prendre les médiatrices des côtés du pentagone.

 

En 15

*    Tracez un pentagone ABCDE.

*    Dessinez les médiatrices des côtés: elles sont issues d'un sommet et passent par le centre O du cercle circonscrit (AA', BB' …)

*    Tracez les médiatrices (traits rouges) de OA', OB' …Sur le cercle, les dix points d'intersection ajoutés aux cinq du pentagone sont les sommets du pentadécagone.

 

Observation: Les arcs délimités par le pentagone sont chacun divisés par 3 selon la méthode vue lors du partage en 8.

 

Note: Si vous dessiner sur avec un logiciel de dessin ou avec Word, dessiner un pentagone, puis un deuxième que vous faire tourner de 24° et un troisième avec rotation de 48°.

 

 

Partage du cercle en 17 parties égales

 

En 17

 

*    La construction de l'heptadécagone est assez longue. En 1796, âgé de 19 ans,  Gauss prouva que ce polygone est constructible. La méthode de construction fut trouvée vers 1800 par Erchinger.

 

*    La méthode est basée sur la connaissance de la relation explicitée ci-dessous.

 

Voir Diaporama par de Mélusine-Syracuse

 

 

Valeur du cosinus de l'angle Pi / 17 = 10,588235°

 

ou en simplifiant (un peu):

 

Cette valeur exprimée avec radicaux provient de la résolution d'une équation du huitième degré.

Voir  Angle Pi/17 et Heptadecagon de Wolfram

 

 

 

Suite

*  Voir en haut de page

*  Cercle – Découpe - Faisabilité

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

*  Noms des polygones

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Partage.htm