NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/06/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	CERCLE
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INDEX Cercle Polygones	Partage	En 5 – Pentagone	En 6 – Hexagone
	Constructibilité
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Partage du cercle en n parties égales

ou Construction du polygone régulier à n côtés

Partager en 2, 4 ou 8, c'est relativement évident.

Partager en 3, 6 ou 9, c'est un peu plus difficile.

Partager en 5 fait partie des constructions que l'on trouvaient dans les manuels de géométrie du XXe siècle.

Il existe des cas pour lesquels il est impossible d'imaginer une construction géométrique à la règle et au compas. >>>

Partage du cercle et polygones réguliers En rouge les constructions impossibles.
n	2	3	4	5	6	7	8	9		10
	180	120	90	72	60	51,43	45	40		36
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n	11	12	13	14	15	16	17	18		19
	32,72	30	27,69	25,71	24	22,5	21,17	20		18,94
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Voir DicoNombre pour accéder aux nombres indiqués

Partage du cercle en 2, 4, 8 … parties égales
En 2 Pour partager un cercle en deux, il suffit de dessiner un diamètre (AB, par exemple). Pour cela, il faut connaître le centre. Voir Construction. En 4 Pour partager en quatre, tracez la médiatrice CD de AB. Il suffit pour cela de dessiner deux cercles. En 8 – méthode 1 Pour partager en huit, dessiner le carré ACBD. Puis tracez la médiatrice de AC qui coupe le cercle en E et G. Même chose pour CB dont la médiatrice coupe le cercle en F et H. En 8 – méthode 2 Pour partager un cercle en huit, partir du partage du cercle en quatre parties égales Tracez les médiatrices de OA, OB, OC et OD. Les deux droites EG et FH passant par les points d'intersection des médiatrices coupent le cercle en E, F, G et H. En 16 Même type de construction que pour 8. Médiatrices de AE, EC …

Partage du cercle en 3, 6, 12 … parties égales
En 12 – méthode 1 Reprendre la construction du partage en 8 (méthode 2). Tracez les droites EI, FJ … passant par les intersections des tracés verts avec le cercle. Voir Sin 30° = 1/2 En 6 – méthode 1 Prendre un point sur deux sur le cercle. En 3 – méthode 1 Prendre un point sur quatre sur le cercle. En 6 – méthode 2 Le cercle et un de ses diamètres (CD). Compas ouvert au rayon du premier cercle. Tracez un cercle de centre C qui coupe le cercle initial en E et F. CD, EG et FH partagent le cercle en six. Voir Rosace / Six en cercle En 3 – méthode 2 Prendre un point sur deux sur le cercle. En 12 – méthode 2 Tracez les médiatrices des cordes EC, CF …

Partage du cercle en 5, 10, 15, 20 … parties égales
En 5 La construction est décrite en construction du pentagone En 10 Prendre les médiatrices des côtés du pentagone. En 15 Tracez un pentagone ABCDE. Dessinez les médiatrices des côtés: elles sont issues d'un sommet et passent par le centre O du cercle circonscrit (AA', BB' …) Tracez les médiatrices (traits rouges) de OA', OB' …Sur le cercle, les dix points d'intersection ajoutés aux cinq du pentagone sont les sommets du pentadécagone. Observation: Les arcs délimités par le pentagone sont chacun divisés par 3 selon la méthode vue lors du partage en 8. Note: Si vous dessiner sur avec un logiciel de dessin ou avec Word, dessiner un pentagone, puis un deuxième que vous faire tourner de 24° et un troisième avec rotation de 48°.

Partage du cercle en 17 parties égales
En 17 La construction de l'heptadécagone est assez longue. En 1796, âgé de 19 ans, Gauss prouva que ce polygone est constructible. La méthode de construction fut trouvée vers 1800 par Erchinger. La méthode est basée sur la connaissance de la relation explicitée ci-dessous. Voir Diaporama par de Mélusine-Syracuse
Valeur du cosinus de l'angle Pi / 17 = 10,588235° ou en simplifiant (un peu): Cette valeur exprimée avec radicaux provient de la résolution d'une équation du huitième degré. Voir Angle Pi/17 et Heptadecagon de Wolfram

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Voir	Cercle – Index Géométrie – Index Noms des polygones
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