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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 10/05/2012

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CERCLE

 

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Sommaire de cette page

>>> Propriétés générales

>>> Corde et médiatrice

>>> Les trois points

 


 

 

CERCLE – Fondements

 

 

*      Propriétés qui semblent élémentaires (évidentes) pour qui connaît un peu de géométrie.

*      Pourtant ce sont des propriétés qu'il faut reconnaître pour construire l'ensemble de la géométrie du cercle.

*      On donne quelques démonstrations à titre d'exemple.

 

 

 

 

Propriétés générales

 

Sécante

*    Toute sécante coupe le cercle en deux points, et pas plus. Ou un point double, en cas de tangence.

 

Formalisation mathématique de cette propriété (pour l'exemple):

Soit 𝓓 une droite du plan affine euclidien, C un cercle de centre O et de rayon R, et   .

Si d(O,𝓓) < R, on a card (Ω) =  2.

 

*    De même, deux cercles qui se coupent, se coupent en deux points, sauf cas de tangence.

 

Diamètre

*    Un diamètre divise un cercle en deux parties égales.

*    Pour chaque point de la circonférence, l'angle intercepté par le diamètre est un angle droit.

 

Rayon et centre

*    Tous les points de la circonférence sont à égales distance du centre. La longueur est égale à celle du rayon. Si d'un point du cercle plusieurs segments joignant la circonférence sont égaux, ce point est le centre du cercle.

*    Tous les points internes au disque ont une distance au centre inférieure à celle du rayon.

*    Un point est intérieur ou extérieur au disque selon que sa distance au centre est inférieure ou supérieure à celle du rayon.

*    Un angle au centre interceptant un certain arc vaut le double de l'angle inscrit interceptant le même arc.

 

Corde

*    Une corde (non diamètre) partage le disque en deux parties inégales.

*    Les cordes les plus longues sont les plus proches du centre. La corde la plus longue est le diamètre.

*    La bissectrice d'un angle interceptant un arc de cercle coupe la corde correspondante à angle droit. Réciproquement, si le diamètre coupe une corde à angle droit, il partage les arcs interceptés en deux parties égales.

*    Une droite issue du centre du cercle et séparant une corde en deux parties égales est également la médiatrice de la corde. Voir Démo.

*    La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.

*    Deux cordes égales sont équidistantes du centre du cercle. Réciproquement: deux cordes équidistantes du centre sont égales.

*    Le lieu du point milieu de cordes égales est un cercle.

*    Une droite passant par le milieu de deux cordes passe par le centre du cercle.

 

 

 

Symétrie

*    Un cercle est symétrique par rapport à tout diamètre. Si un cercle passe par un point, il passe aussi par son symétrique par rapport à son diamètre.

*    Le centre du cercle est un centre de symétrie quelque soit l'angle de rotation.

*    La ligne des centres de deux cercles est un axe de symétrie pour ces deux cercles.

 

Deux, trois et quatre points

*    Il y a une infinité de cercles qui passent par deux points. Le lieu du centre de ces cercles est la médiatrice du segment joignant ces deux points.

*    Par trois points non alignés passe un cercle et un seul. La position et la taille d'un cercle sont complètement déterminées par trois points. Du fait de ses trois sommets, on peut inscrire tout triangle dans un cercle.

*    Si un parallélogramme est inscrit dans un cercle, les médiatrices des côtés se coupent au centre du cercle et c'est aussi le cas des diagonales.

*    Le seul parallélogramme inscriptible dans un cercle est le rectangle. Ses diagonales, qui sont des diamètres, se coupent au centre du cercle.

 

Deux cercles (ou plus)

*    Deux cercles de même rayon sont égaux.

*    Deux cercles (ou plus) concentriques de se coupent pas.

*    Deux cercles ayant un point commun n'ont pas le même centre, à moins qu'ils soient égaux, qu'ils se superposent.

*    Lorsque deux cercles se coupent, le segment joignant les deux points d'intersection est perpendiculaire à la ligne des centres.

*    Les segments d'une sécante, interceptés par deux cercles concentriques, sont égaux.

*    Deux cordes se coupent en M. Si les angles de ces cordes par rapport à OM sont égaux, les cordes sont égales.

*    Deux cordes égales qui se coupent se partagent en segments égaux d'une corde à l'autre.

*    Les cercles qui passent par un même point et qui ont leur centre sur une même droite, possède un second point commun d'intersection.

 

 

 

 

Corde et sa médiatrice

 

Théorème

 

Une droite issue du centre du cercle et séparant une corde en deux parties égales est également la médiatrice de la corde.

 

La réciproque est vraie:

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.

 

Hypothèses

 

*      La droite D passe par O le centre du cercle.

*      Elle coupe la corde AB, telle que: AH = HB.

*      On note que par construction: OA = OB = R.

 

Théorème invoqué

 

*      Deux triangles qui ont leurs côté égaux deux à deux sont égaux (isométriques).

Démonstration

 

*    Les triangles OHA et OHB ont:

*    OH en commun,

*    OA = OB, et

*    HA = HB.

*    Ces deux triangles ayant leurs trois côtés égaux deux à deux sont égaux.

*    Par conséquent, leurs angles sont égaux, notamment:

OHA = OHB

*    Or, la somme de ces deux angles forme un angle plat (180°).

*    Chacun vaut 90°, un angle droit.

*    La droite D qui partage AB en deux parties égales et qui lui est perpendiculaire est sa médiatrice

 

 

Note: il est recommandé de présenter une démonstration systématiquement de la manière indiquée ci-dessus,

à la mode de la classe de cinquième! Du moins, il y quelques années … 

 

Les trois POINTS

 

Théorème

 

Par trois points non alignés, on peut dessiner un cercle et un seul.

 

Conséquence

Un cercle est complètement défini par trois points.

 

Hypothèses

 

*      Trois points non alignés A, B et C.

 

Théorème invoqué

 

*      Un point situé sur la médiatrice d'un segment est à équidistance des deux extrémités du segment.

Démonstration

 

*    On trace les segments AB et BC et leur médiatrice. Celles-ci se coupent en O.

*    Le point O est sur la médiatrice de AB, alors: OA = OB.

*    Le point O est sur la médiatrice de BC, alors: OB = OC.

*    Le point O, qui est unique, est à équidistance de A, B et C.

*    Un cercle de centre O et de rayon OA passera aussi par B et C et il est unique

 

 

 

 


 

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