NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Cercle 

 

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Sommaire de cette page

>>> Périmètre & surface

>>> Longueur de la corde

>>> Périmètre des polygones

>>> Pythagore dans le cercle

>>> Corde et deux cercles

 

 

 

 

Voir Fondements pour les propriétés fondamentales, de base

 

 

PÉRIMÈTRE & SURFACE (Aire)

*    Chaque formule utilise R, Pi et 2. Mais, le deux est placé différemment.

*    Il est facile de se souvenir que le 2 indiquant le carré est utilisé pour l'aire. En effet, une aire  est le produit de deux longueurs (l'aire se mesure en m²).

 

 

P: périmètre; R: rayon; A: aire.

 

Il est extraordinaire d'avoir le même rapport:

 = P / 2R = A / R²

 

*    De toutes les figures planes de périmètre donné, le cercle est la figure qui offre la plus grande aire.

Démonstration de Steiner

 

    

 

Longueurs et CORDE

 

*    On donne le rayon du cercle R = 5 cm et la corde AB = 8 cm, calculez la distance du centre à la corde OH. Quel est l'aire du triangle OAB?

*    Le théorème de Pythagore nous dit que:

OH² + AH² = OA²

OH² = OA² – A H²

        = R² – (AB/2)²

        = 5² – 4² = 9 = 3²

OH  = 3 cm

 

*    Aire du triangle OAB

A = ½ AB x OH

    = ½  8 x 3 = 12 cm²

 

 

Voir Démonstration

sur la corde et sa médiatrice

 

Dans le cas ou la corde est égale au rayon – le triangle OAB est équilatéral – on calcule avec la même méthode que

OH = 3/2 R

 

*    On donne deux segments AB et BC perpendiculaires mesurant 6 cm et 8 cm. Trouvez le rayon du cercle qui passe par les trois points.

*    On trace les médiatrices OM à AB et ON à BC. Le point d'intersection O, avec OA = OB = OC, est le centre du cercle cherché.

*    Le quadrilatère MBNO, avec ses trois angles droits ets un rectangle. OM = NB = BC / 2 = 4 cm

*    Avec Pythagore, à nouveau:

R² = OB² = OM² + MB²

R² = 4² + 3² = 25 = 5²

R = 5 cm

Voir Démonstration

sur les trois points et le cercle

 

 

 

PÉRIMÈTRE DES POLYGONES

 

*    Les aires successives de ces polygones en fonction du diamètre sont:

 

 

*    La limite du périmètre d'un polygone de " diamètre " D

et ayant une infinité de côté est:

 

 

Voir méthode des polygones

Voir Périmètre et paradoxes

 

 

PYTHAGORE DANS LE CERCLE

 

*    Devineriez-vous que les deux surfaces colorées ont la même aire?

*    Les cercles concentriques pour rayons: 1, 2, 3, 4, 5.

*    Aire du cercle rose:

*    Aire de la couronne bleue:

*    Nous trouvons là un triplet de Pythagore.

3² + 4² = 5²

*    Les deux aires sont égales.

 

 

 

Aire bleue = Aire rose

 

 

 

Corde et deux cercles

 

*    M est positionné n'importe où sur la circonférence d'un deuxième cercle.

*    Les sécantes MA et MB passent pas les deux intersections des cercles.

*    La corde AB a une longueur constante.

AB = constante

 

 

English corner

 

*    A circle is symmetrical about any diameter.

*    The straight line which bisects a chord at right angles passes through the center.

*    One circle, and only one, can pass through any three points not in the same straight line.

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Équations

*  Fondements

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

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