NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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CERCLE

 

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Cercle

 

Géométrie

 

Cercle

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Tangente

 

Sommaire de cette page

>>> Équations du cercle

>>> Trouver le rayon et le centre

>>> Équation du cercle passant par trois points

 

* Programme Scratch

 

 

Équation du cercle

 

Tout point de la circonférence est à la distance R (rayon) du centre. De sorte que pour tout point M: x² + y² = r² (théorème de Pythagore)

 

 

 

ÉQUATIONS du CERCLE

Coordonnées cartésiennes

Cercle de centre O (0, 0)

 

x² + y² = R²

Cercle de centre I (a, b)

(x – a)² + (y – b)² = R²

Coordonnées polaires

 

x = a + R cos

y = b + R sin

Coordonnées paramétriques

 

x = a + R (1 – t²) / (1 + t²)

y = b + 2Rt / (1 + t²)  avec t = tg()

Avec diamètre AB (x1, y1, x2, y2)

(x – x1)(x – x2) + (y – y1)(y – y2) = 0

Voir Application à l'ennéagone et sa construction

 

 

 

Trouver le rayon et le centre

Équation

x² + y² + x – y – 1 = 0

Méthode

Mettre sous la forme d'une somme de deux carrés, l'un en x et l'autre en y.

Carré en x (Général)

x² + 2ax + a² = (x + a)²

Départ de carré en x (Ici)

x² +     x

Égalité en x

2ax = x   a = 1/2

Pour les x

Carré en y (Général)

y² + 2ay + a² = (y + a)²

Départ de carré en y (Ici)

y² –      y

Égalité en y

2ay = –y   a = –1/2

Pour les y

Retour à l'équation

qui devient

x² + x            + y²  – y         – 1 = 0

Forme finale

Paramètres du cercle

Voir Forme complexe / Suite pour le cercle passant par deux points quelconques

 

 

Équation du cercle par trois points – TROIS méthodes

Distance au centre

Trois équations témoignant que chacun est à la même distance du centre du cercle.

>>>

Triangles rectangles inscrits

Trois équations témoignant que chacun est à la même distance du centre du cercle.

>>>

Médiatrices

Équations des deux médiatrices des segments joignant les trois points deux à deux.

>>>

 

 

Cercle par trois points – Avec centre

haut

 

Problème

Trouver l'équation du cercle passant par les trois points A, B et C.

 

Idée

Utiliser le fait que ces trois points sont à la même distance du centre du cercle dont les coordonnées inconnues sont a et b.

 

Calculs

On calcule les coordonnées a et b du centre du cercle, et on les injecte dans l'équation générique du cercle.

 

 

 

Équation avec triangles rectangles inscrits

haut

 

Problème

Trouver l'équation du cercle passant par les trois points indiqués sur la figure.

 

Idée

Tracer les perpendiculaires à AD et CD en A et C.

Elles se coupent en B.

Les triangles rectangles ABD et  BCD sont inscrits dans le cercle, alors BD est un diamètre du cercle.

 

Étapes

Trouver les équations des droites AD et CD.

Trouver les équations des perpendiculaires.

*      Leur pente est m' = –1/m, avec m la pente de la droite à laquelle elle est perpendiculaire.

*      Elle passe par le point A ou C avec dans ces cas y = m'x + b ce qui permet de calculer b.

Calculer les coordonnées du point d'intersection D: solution commune en x et y pour les deux perpendiculaires.

Trouver l'équation du cercle dont le diamètre est BD (rappel: les angles sont droits en A et en C et BD est un diamètre).

 

Calculs

 

En développant

 

Cercle passant par trois points

 

Tracé des perpendiculaires et du diamètre BD

Les triangles rectangles ABD et BCD sont inscrits dans le même cercle qui n'est autre que le cercle passant par A, C et D. Le point B est bien situé sur le cercle et Bd est un des diamètres.

 

Vérification avec Maple

Voir Cercle et trois points

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Arc de cercle – Coordonnées du point milieu

*  Calcul de l'aire du cercle par intégrale

*  Cercle d'Apollonius

*  Théorèmes

*  Cercle unité et triplets de Pythagore

*  Programmation du dessin du cercle – Classique ou récursive

*  Programmation du dessin du cercle avec Scratch

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Equation.htm