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		Sommaire de cette page >>> Chapeaux et pièces de monnaie >>> Chapeaux de couleur >>> Chapeaux au vestiaire

Problèmes avec des CHAPEAUX

Casse-tête classiques qui stimulent l'esprit de déduction.

1) CHAPEAUX & PIÈCES – Problème
Dix chapeaux et dix pièces de monnaie dans chaque chapeau. Ces pièces pèsent toutes 10 grammes sauf celle d'un des chapeaux qui ne pèsent que 9 grammes. En une seule pesée trouver le chapeau singulier.

Solution

2) CHAPEAUX DE COULEUR – Problème
Trois personnes A, B et C en file indienne. Chacun regardant droit devant. Quatre chapeaux: deux bleus et deux rouges. Yeux bandés, on pose un chapeau au hasard sur chaque tête. On demande à chacun de deviner la couleur de son chapeau. Long silence ! Et, finalement, c'est B qui annonce la couleur de son chapeau. Comment le sait-il ?

Solution

3) CHAPEAUX au VESTIAIRE – Problème
Dix hommes ont laissé leur chapeau au vestiaire. En reprenant un chapeau au hasard, quelle est la probabilité qu'une personne tombe sur son propre chapeau?

Solution

1) CHAPEAUX & PIÈCES – Solution
On prend une pièce du premier chapeau, deux du deuxième, etc. Soit 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55 pièces. Toutes identiques, elles pèseraient 550 grammes. La différence avec la pesée réelle donne le rang du chapeau singulier. Exemple La pesée donne: 546 g => 550 – 546 = 4 Ce qui signifie qu'il y a quatre pièces moins lourdes. Les pièces de 9 g sont dans le chapeau de rang 4 .

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2) CHAPEAUX DE COULEUR – Solution
A	Ne voit rien et ne peut rien en déduire.
C	C voit à la fois A et B. Il voit deux chapeaux. Deux hypothèses:
C1	Hypothèse 1 C voit deux chapeaux de la même couleur. Il reste deux chapeaux de l'autre couleur. Son chapeau est de cette autre couleur. Il pourrait annoncer cette nouvelle. Or il reste silencieux. Hypothèse non retenue.
C2	Hypothèse 2 C voit un bleu et un rouge. Il reste un bleu et un rouge pour lui: il ne peut rien en déduire. C'est pourquoi il reste silencieux.
=>	Suite du raisonnement A et B ont donc des chapeaux de couleurs différentes.
B	B effectue le même raisonnement. C étant silencieux, il sait que A et lui ont des chapeaux de couleurs différentes.
=>	Voyant le chapeau bleu de A, B annonce la couleur de son chapeau: rouge
==>	A, ayant suivi mentalement le raisonnement, donne également la couleur de son chapeau: bleu
?	La couleur du chapeau ce C reste inconnue Pas de chance pour celui qui en voit le plus.

Les 6 cas possibles pour confirmation

Cas	C	B	A
	A et B sont rouges => Je suis bleu	C parle => A et B ont même couleur. Or A est rouge => Je suis rouge	C parle => A et B ont même couleur Or B est rouge => Je suis rouge
	Raisonnement identique Je suis rouge	Je suis bleu	Je suis bleu
	C ne parle pas Je ne sait pas	Ma couleur n'est pas celle de A Je suis rouge	Ma couleur n'est pas celle de B Je suis bleu
	idem	idem	idem
	C ne parle pas Je ne sait pas	Ma couleur n'est pas celle de A Je suis bleu	Ma couleur n'est pas celle de B Je suis rouge
	idem	idem	idem

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3) CHAPEAUX au VESTIAIRE – Solution

Dix hommes ont laissé leur chapeau au vestiaire.

En reprenant un chapeau au hasard, quelle est la probabilité qu'une personne tombe sur son propre chapeau?

Nombre de permutations de 10 chapeaux:	10!	= 3 628 800
Le nombre de mauvaises permutations est l'entier le plus proche de:	10! / e	= 1 334 961
La probabilité de mauvaises permutations est donc:	10! / (10! x e)	= 0,367
Et la probabilité d'une bonne permutation:	1 – 1/e	= 0,632

Apparition de la constante e (exponentielle)

Nombre de chapeaux	Nombre de permutations	Nombre de personnes sans son chapeau	Probabilité que personne n'ait son chapeau
1	1	0	0
2	2	1	0, 5
3	6	2	0, 333 333
4	24	9	0, 375 000
5	120	44	0, 366 666
6	720	265	0, 368 055
7	5 040	1 854	0, 367 857
8	40 320	14 833	0, 367 881
9	362 880	133 496	0, 367 879 1
10	3 628 800	1 334 961	0, 367 879 4
11	39 916 800	14 684 570	0, 367 879 439
12	479 001 600	176 214 841	0, 367 879 441
	Rappel	1/e	0, 367 879 441 2

Voir Dénombrement et e / Énigme des enveloppes

Constante e / Factorielle

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Roman

"I think you're begging the question," said Haydock, "and I can see looming ahead one of those terrible exercises in probability where six men have white hats and six men have black hats and you have to work it out by mathematics how likely it is that the hats will get mixed up and in what proportion. If you start thinking about things like that, you would go round the bend. Let me assure you of that!"

Christie, Agatha - The Mirror Crack'd

Voir Pensées & humour / Roman

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Voir	Énigmes des filles Jeux – Index Logique – Index
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