NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Exponentielle

EXPONENTIELLE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Arithmétique

Algèbre

Analyse

 

Introduction

Valeur

Fractions

Analogies

Propriétés

Formules

Dénombrements

Base

Dévelop ex

Oméga

 

Sommaire de cette page

>>> VALEUR DE " e "

>>> RÉDUITES

>>> FRACTIONS

>>> MNÉMOTECHNIQUE

>>> IMAGINAIRE – Relation d'Euler

>>> Les constantes e et Pi

>>> e puissance e

>>> Constante e en pannumérique

 

 

 

 

 

CONSTANTE "e"

 

dite

Nombre exponentiel ou nombre de Neper

 

*       e est l'initiale de exponentiel (nom donné par Euler) d'où le nom parfois donné à e: constante ou nombre d'Euler.

*       e désigne la base du logarithme népérien (ou naturel).

 

  Anglais : Napier's number / Euler's number

 

 

APPROCHE

 

Cent premières décimales

 

e  = 2, 7182818284  5904523536  0287471352  6624977572  4709369995

   9574966967  6277240766  3035354759  4571382178  5251664274

 

*    Notez que 2,7 est suivi de deux fois 1828.

 

Record

*    Connu en 1998 avec 50 millions décimales 

*    Patrick Demichel 

*    714 heures de calcul sur HP 9000/778

 

 

 

Fraction continue

 

e = 2,718 …   =  [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...]

C'est Euler qui calcule la fraction continue de la base des logarithmes népériens et constate le développement périodique en 1, 2k, 1.

Cette périodicité prouve que e est irrationnel.

 

 

 

  

VALEUR DE " e "

 

e = 2, 718 281 …

*       Valeur de la constante e.

*       Valeur de la fonction

*       Irrationnel            Démonstration par Euler en 1739.

*       Transcendant     Démonstration par Hermite  en 1873.

e = e1 = exp(1)

*       "e" pour exponentiel. Baptisé ainsi par Euler.

*       Base des logarithmes naturels ou népériens.

Les logarithmes ont été inventés par Neper;

Il ne connaissait sans doute pas la base "e".

e = Lim (1 + 1/n) n

*       Limite                                                       Voir cette fonction

 

e = 2,7  1828 1828  459 045 235 36...

e = 2,718 281 828  45 90 45   235 36...

*       Curiosités dans les chiffres.

*       Newton 1665.

 

*       Somme des inverses des factorielles.

 

Suite >>>

avec pi < x et premier

*       Formule produit

e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...]

*       Fraction continue

Répartition régulière en 2n.

e = 2 + 1 / (1 + 1/ (2 + 2/ (3 + 3/ (4 + 4/ (...

 

e = 1 + 2 / (1 + 1/ (6 + (1/ (10 +... 1/2(2n+1) +...

*       Autres fractions continues, le numérateur étant différent de 1.

87 / 32 = 2,718 7

878 / 323 = 2,718 2 6

2721 / 1001 = 2,718 281 2

*       Réduites de "e"

4 + π 5)1/6 = 2,718 281 8086…

*       Septième décimale >>> (Castellanos)

  19 / 7

  1/1 + 1/2 + … + 1/8

*       Approximation

*       Approximation

 

 

 

Fonction exponentielle 

 

Valeurs

n

exp (n)

1

               2 , 718281828

2

               7 , 389056099

3

           20 , 08553692

4

           54 , 59815003

5

       148 , 4131591

6

       403 , 4287935

7

   1096 , 633158

8

   2980 , 957987

9

   8103 , 083928

10

22026 , 46579

 

 

 

PUISSANCE DE " e "    avec 20 chiffres

 

 

e 1/5

1 , 2214027581601698339

e 1/4

1 , 2840254166877414841

e 1/3

1 , 3956124250860895286

e 1/2

1 , 6487212707001281469

e 1

2 , 7182818284590452354

e 2

7 , 3890560989306502274

e 3

20 , 085536923187667742

e 4

54 , 598150033144239081

e 5

148 , 41315910257660343

e 6

403 , 42879349273512264

e 7

1096 , 6331584284585994

e 8

2980 , 9579870417282751

e 9

8103 , 0839275753840088

e 10

22026 , 465794806716520  

 

Voir   Calcul des puissances de "e"

 

 

 

FRACTIONS

 

*      Il y de nombreuses fractions possibles pour représenter "e".

Voici les plus typiques:

 

11

/

4

19

/

7

193

/

71

299

/

110

878

/

323

2 721

/

1 001

 

La fraction 878 / 323  est souvent choisie;

Étant palindromes, ces deux nombres sont faciles à retenir.

 

Voir  Toutes les réduites de "e" et autres fractions

Calculs des réduites

 

 

 

MNÉMOTECHNIQUE

 

e = 2,718 281 828 4…

 

Français

 

Tu aideras à rappeler ta quantité à beaucoup de docteurs amis

 

Le nombre de lettres de chaque mot donne les chiffres de "e".

Cela dit, la répétition 1828 est également facile à retenir sans autre truc.

 

 

Anglais

 

To express e, remember to memorize a sentence to simplify this

 

Américain

 

By omnibus I traveled to Brooklyn

 

Attention: " travel" est au prétérit et, en américain; il s'écrit "travelled" en anglais.

 

Voir  Mnémotechnique

 

 

 

 

 

IMAGINAIRE

 

Identité d'Euler

= 23, 140 692 64...

= 0, 207 879 576...

 

Voir  Puissance de l'imaginaire / Complexes 

 

 

 

 

Les constantes "e" et "Pi"

*       Constante de Gelfond.

*       Nombre transcendant, prouvé en 1929

*       Il n'est pas nombre de Liouville (Conjecture).

Voir Nombres presque-entiers en ePi

23, 1406926327 7926900572 9086367948 5473802661 0624260021 1993445046              4095243423 5069045278 3516971997 0675492197 …

*       Rationnel ou non?

*       Curiosité de proximité entre ces deux valeurs combinées de Pi et e.
                Écart de 0, 681… (3%).

22, 4591577183 6104547342 7152204543 7350275893 1513399669 2249203002 5540669260 4039911791 2318519752 7271430316  ….

*       Ces nombres sont indépendants

                (démonstration 1995).

 

*       Approximation du nombre 20.

 

Historique de

 

*       Euler connaît implicitement le nombre  , déductible de l'identité
 

*       Hilbert en 1900, le cite explicitement dans son septième problème.

*       Gelfond en 1929, démontre qu'il est transcendant.

*       Nesterenko en 1996, montre que     et   sont algébriquement indépendants.

 

 

 

E  puissance    E

 

 

 

Quelques curiosités de chiffres

*       La valeur de e contient 1828 1828;

*       e puissance e  = 1515, la date de la bataille de Marignan;

*       (ee) à la puissance e (environ 15,15 puissance 2,7) = 1618 et quelques, soit 1000 fois le nombre d'or à 0,1 millième près:

 

 

Voir Exponentielle d'exponentielle / Puissance de l'imaginaire

 

 

 

Constante e en pannumérique

En 2004, Richard Sabey a trouvé cette formule monumentale pour exprimer e avec les neuf chiffres (pannumérique). 

Elle donne 18 457 734 525 360 901 453 873 570 = 1,84 … 1025 décimales

Explications avec la valeur de e

Et avec N exprimé sous deux formes avec cette propriété des exposants: 3^2p = 9^p, exploitées deux fois.

 

   

En se souvenant que l'inverse d'une puissance est une puissance négative.

Voir Pi en pannumérique

 

 

 

 

 

Suite

*    Calcul de "e"

*    Propriétés de "e"

*    Spectre de "e"

*    Approximations de "e" par des racines

*    Graphe avec certaines valeurs de e

Voir

*    Cercle

*    Constantes

*    Constantes de l'univers 

*    Constantes Mathématiques

*    Exponentielles

*    Exponentielles – propriétés

*    Exposants Index

*    Nombre 2^rac(2)

*    Nombre d'or

*    Oméga (constante)

*    Pi

*    Théorie des nombres

DicoNombre

*    Constante " e "

*    Nombre 22, 45 …

*    Nombre 23, 14 …

*    Nombre 2, 678, factorielle généralisée

Sites

*    e Approximations – Wolfram MathWorld

*    Numberphile

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