NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Addition à résoudre

>>> Étape 1 – Estimation de la somme maximale

>>> Retenues

>>> Étape 2 – Valeur de F et de I

>>> Étape 3 – Valeur de 0, T et de G

>>> Étape 4 – Essais avec 0 = 5 et  T = 6

>>> Étape 4bis – Essais avec 0 = 6 et  T = 8

>>> SOLUTION

 

 

 

 

 

PUZZLES ARITHMÉTIQUES

 Cryptarithmes – Cryptogrammes

 

Exemple de recherche de solution.

Nous allons décortiquer toutes les étapes de déduction pour arriver à la solution.

 

Devinette

Pour se lancer, un cryptarithme à solutions multiples.

Il y a huit lettres différentes, donc huit chiffres différents; certains sont doublés (en rouge).

Solution

 

 

   

ADDITION à résoudre

 

Problème & sa solution

 

*      Il existe Six solutions avec permutations des 2, 4 et 7.

 

 

Rappel: chiffres en anglais

 

                                          1                  ONE

                                          2                  TWO

                                          5                  FIVE

                                          8                  EIGHT

 

*       Notez bien que l'égalité en anglais est correcte: 1 + 2 + 5 = 8.

 

Voir Nombre 10 538/ Anglais

 

 

 

 

 

Résolution pas à pas

 

Étape 1 – Estimation de la somme maximale

 

*      L'idée est que:

*      EIGHT possède un chiffre de plus que FIVE;

*      E n'est pas 0 (sinon EIGHT serait IGHT);

*      E est manifestement une retenue: 1 ou 2.

 

*      Essayons d'apprécier sa valeur: on place les plus grands chiffres le plus à gauche possible pour faire la plus grosse somme.
On ne s'embarrasse pas, dans un premier temps, de la question des lettres identiques.

*      Voici la disposition des chiffres, tous différent,  qui donnerait la plus grande somme (11 223)

 

 

 

 

RETENUES

 

*      Nous avons admis que la retenue est égale à 1, est-ce si évident?

*      La somme maximale pour une addition de deux termes est celle de 9 + 9 = 18; retenue 1.

*      Avec trois termes: 9 + 9 + 9 = 27: retenue 2.

*      Etc.

 

Pour une somme de n chiffres, la retenue maximale est égale à n.

 

*      Configuration particulière (celle à gauche de notre énigme).

 

*      Ce qui justifie que E  = 1.

 

 

 

Étape 2 – Valeur de F et de I

*      On sait  que => 

E = r = 1

*      La somme F + s doit produire la retenue r = 1.

F + s = 1

*      On a vu que dans cette configuration la retenue s ne peut être que 1 ou 2.

s = 1

s = 2

*      Il faut que F fasse le maximum pour hisser la somme F + s à 10 ou plus.

Se souvenir que F est un chiffre (donc <10).

F = 8 et F+1 = 9 non

F = 8 et F+2 = 10 BON

F = 9 et F+1 = 10 BON
F = 9 et F+2 = 11 BON

F = 10 non

*      Possibilités pour F et I.

F = 8 et I = 1

F = 9 et I = 0

*      Or le chiffre 1 a déjà été attribué à E.

I = 0 et F = 9

 

 

 

Étape 3 – Valeur de 0, T et de G

*      Écrivons la somme suivante =>

Avec sa retenue connue s = 1.

O + T + t = 10 + G

*      C'est une somme de deux chiffes (O et T).

La retenue maximale est 1.

t = 0

t = 1

*      Une autre somme va nous aider.

1 + O + 1 = T

T = O + 2

*      Reprenons la première équation.

Et évaluons G (qui est un chiffre).

O + T + t = 10 + G

O + O + 2 + t = 10 + G

2 . O = G – t + 8

*      Le chiffre 9 étant déjà attribué, la valeur maximale de G est 8.

Gmax = 8

*      Voyons les cas possibles pour G et t

et calculons O et T.

2 . O = G – t + 8

T = O + 2

*      Soit quatre cas possibles avec O et T qui valent (5, 7) ou (6,8).

 

 

 

Étape 4 – Essais avec 0 = 5 et  T = 6

*      Premier cas:

G = 2 et t = 0

*      Chiffres qui ne sont pas encore attribués:

3, 4, 6, 8

*      Ces 4 valeurs sont celles à mettre dans la colonne libre.

N + W + V = H

*      Avec ces valeurs, la somme H n'est jamais inférieure à 10.

3 + 4 + 6 = 13 => NON

*      Deuxième cas:

G = 3 et t = 1

*      Ces 4 valeurs sont celles à mettre dans la colonne libre + retenue.

N + W + V + 1 = H

*      Chiffres qui ne sont pas encore attribués.

2, 4, 6, 8

*      Avec ces valeurs la somme H n'est jamais inférieure à 10.

2 + 4 + 6 + 1 = 13

=> NON

*      Ces deux cas sont à :

Rejeter

 

 

 

 

Étape 4bis – Essais avec 0 = 6 et  T = 8

*      Premier cas.

G = 4 et t = 0

*      Chiffres qui ne sont pas encore attribués.

2, 3, 5, 7

*      Ces 4 valeurs sont celles à mettre dans la colonne libre.

N + W + V = H

*      Avec ces valeurs, la somme H inférieure à 10 donne 9 et non le 7 restant (et 9 et déjà attribué).

2 + 3 + 5 = 9 => NON

*      Deuxième cas.

G = 5 et t = 1

*      Ces 4 valeurs sont celles à mettre dans la colonne libre + retenue.

N + W + V + 1 = H

*      Chiffres qui ne sont pas encore attribués.

2, 3, 4, 7

*      Avec ces valeurs la somme doit donner une retenue (>10), et

*      H doit être le chiffre restant.

2 + 3 + 4 = 9   Non

2 + 3 + 7 = 12 Non

2 + 4 + 7 = 13 OUI, Bingo

3 + 4 + 7 = 14 Non

*      Seule possibilité =>

G = 5

H = 3

N, W, V = {2, 4, 7}

 

 

SOLUTION

 

Notez que les lettres N, W et V de l'avant-dernière colonne valent (2, 4, 7) dans l'ordre que l'on veut. Soit 6 solutions possibles.

 

 

 

 

Devinette – Solution

 

Résoudre ce cryptarithme

Solutions

Il y en a 44 en admettant le 0 interne, et 28 sans présence de 0.

Les trois solutions les plus petites

Les unités peuvent être échangées.

Ex: 2 et 8 pour 8 et 2 dans le premier.

 

 

 

 

Les trois plus grandes

dont deux sans 0 interne:

 

 

 

 

 

 

Les 28 solutions sans 0:

Retour

 

 

 

 

 

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