NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> SIMPLE

>>> REPDIGIT

 

 

 

 

PUZZLES ARITHMÉTIQUES

 Cryptarithmes ou cryptogrammes

avec des soustractions

 

 

 

 

SIMPLE

 

 Remplacer chaque lettre par un chiffre différent et obtenez une soustraction juste.

 

V

E

N

U

S

-

E

A

R

T

H

=

 

M

A

R

S

  Solution

 

Voir DIX² - SIX²

 

 

REPDIGIT

 

Remplacer chacune des neuf lettres par un des neuf chiffres et obtenez une soustraction donnant le repdigit 33 333.

Solution double mais très proches l'une de l'autre.

 

a

b

c

d

e

-

f

g

h

i

=

3

3

3

3

3

  Solution

Essayez avec les autres repdigits (11 111, 22 222, 44 444 etc.)


 

 

 

 

 

 

SIMPLE - Solution

 

V

E

N

U

S

-

E

A

R

T

H

=

 

M

A

R

S

 

 

5

4

7

3

9

-

4

6

1

2

0

=

 

8

6

1

9

Retour

 

REPDIGIT - Solution

 

a

b

c

d

e

-

f

g

h

i

=

3

3

3

3

3

 

 

Solution

4

1

2

6

8

-

7

9

3

5

=

3

3

3

3

3

 

Variante

4

1

2

8

6

-

7

9

5

3

=

3

3

3

3

3

 

 

Résolution

 

Remarque liminaire

*      La valeur de a ne peut être que 3

*      Ou, alors 4 avec une retenue

 

 

 

car 3 – 0 = 3

car 4 – (0+1) = 3

 

Familiarisation

*      Essayons une solution sans retenue du tout, et posons donc a = 3

*      Quelles sont les couples de chiffres dont la soustraction donne 3?

Ø  Chaque colonne ci-contre montre une possibilité

 

*     Observez cette liste! À gauche en bas 654 et en haut à droite 654. Ce qui veut dire que, après trois choix, le quatrième reprendra un chiffre déjà pris

Ø  Or il en faut quatre pour remplir les quatre colonnes de l'opération

 

 

 

Toutes les possibilités avec les neuf chiffres (or le 3) pour que y - x = 3

 

Tableau 1

9

8

7

6

5

4

6

5

4

3

2

1

3

3

3

3

3

3

 

Opération : essais

3

9

8

7

e

-

6

5

4

i

=

3

3

3

3

3

 

Impossible de poursuivre

Il y a une ou des retenues dans cette opération

 

 

Systématisation

 

Quels sont les couples de chiffres dont la soustraction donne 3, avec retenue prise en compte si elle existe et, créant ou non une retenue?

 

Attention à la lecture du tableau: chaque colonne de chiffres est une soustraction

 

Tableau 2

 

Pas de retenue

antérieure

Avec une retenue

antérieure

Sans créer

une retenue

00

 

9  8  7  6  5  4

6  5  4  3  2  1

0  0  0  0  0  0

3  3  3  3  3  3

 

01

 

9  8  7  6  5

5  4  3  2  1

1  1  1  1  1

3  3  3  3  3

En créant

une retenue

10

 

12  11 

 9   8 

 0   0 

 3   3 

 

11

 

13  12  11 

 9   8   7

 1   1   1 

 3   3   3 

 

 

Vérification du tableau: la somme des 3 chiffres du bas donne celui du haut (ex: 7+1+3 = 11)

 

Le tableau présente quatre cases. En vert, la caractérisation de chacune selon que

-          l'opération crée une retenue ou non (exposant) et

-          l'opération doit prendre en compte une retenue venant de l'opération précédente (indice)

 

 

Remarques

*     Avec ce tableau vous constaterez qu'il n'est pas possible d'avoir des retenues sur toutes les colonnes, car il n'y a que trois possibilités (bas du tableau) pour un besoin de 4 colonnes dans l'opération.

*     Comme il faut créer au moins une retenue, nous trouverons un 1, un 2 ou un 3 en haut de l'opération (pour b, c, d ou e).

 

 

Finition

*     Arrivé là, je n'ai pas vu d'autres méthodes plus logiques que de procéder par essais successifs pour atteindre la solution.

*     Mais, avec ce tableau vous êtes armés pour tester les diverses configurations de l'opération. Certains essais s'arrêtent rapidement.

 

 

 

 

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      Il comporte de nombreux cas avec leur résolution

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