NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/02/2013 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	ALGÈBRE
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	Racines cubiques de a		Solvabilité n^e degré	Équations 3^e degré (2/2)
		Sommaire de cette page >>> Corps et ses sous-ensembles >>> Cas x^3 – 2 = 0 >>> Équation quintique: x^5 – 2 = 0

Équations du énième degré

xⁿ – 2 = 0

Nous avons vu le cas avec n = 3 pour nous familiariser avec les racines représentées au sommet d'un triangle équilatéral et offrant ainsi toutes les symétries de ce type de triangle. Nous allons revenir sur ce cas en le formalisant et poursuivre avec le cas n = 5 (équations quintiques) dont on sait qu'elles n'ont pas de solutions exprimées avec des radicaux.

Corps et ses sous-ensembles
Un corps commutatif F et ses lois de composition notée + et x par convention: (F ,+, x). (F comme field en anglais).	Un corps commutatif est un ensemble dans lequel il est possible d'exécuter les quatre opérations, d'y pratiquer l'algèbre usuel. sont des corps commutatifs.
Un sous-ensemble de F est aussi un corps avec les mêmes opérations. Associer la racine de 2 à l'ensemble des rationnels n'est pas un sous-ensemble de R car les éléments n + n'en font pas partie.	est un sous-ensemble de qui est un sous-ensemble de . n'est pas un sous-ensemble de .
Introduisons l'ensemble F(c), un sous-ensemble de C tel que tous les nombres complexes qui lui appartiennent sont le résultat de toutes les opérations faites avec le nombre complexe c et tous ceux du sous-ensemble F de C.	F(c) est une sorte d'ensemble produit de F et de c. F(c) est le plus petit sous-ensemble de C qui contient à la fois F et c. Si un sous-ensemble F' qui a les mêmes propriétés que F, contient à la fois F et c, alors il contient F(c). Exemples: R(i) est l'ensemble des réels combinés avec i de toutes les façons possibles; c'est l'ensemble complet des complexes: R(i) = C. L'ensemble Q() de tous les rationnels combinés à racine de 2, est un ensemble plus grand que Q, mais nettement moins grand que R.

Retour sur le cas x^3 – 2 = 0
Dans le premier cas, les racines dessinent un triangle rectangle; dans le deuxième cas, elles forment le même triangle rectangle, les deux racines complexes étant mises l'une à la place de l'autre. C'est une réflexion par rapport à une horizontale passant par le sommet réel.	<<< Voir introduction à ce cas. L'ensemble Q(), où j est une des racines cubiques complexes de 1, est l'ensemble de toutes les racines de cette équation et c'est le plus petit. On aurait pu prendre Q(²) qui lui est égal. C'est le même sous-ensemble vu sous des angles différents. Effet de symétrie. Pourquoi pas les autres réflexions? Nous les aurons avec Q(²) et toutes les compositions de ces deux réflexions: r1, r2, r1r2, r2 r1 r2, (r1r2)^2, (r1r2)^3 et identité, soit les six symétries.

Équation quintique: x^5 – 2 = 0
La quantité de permutation des racines de x^p – 2 = 0 est égale à p (p – 1), alors que la quantité de symétries du polygone régulier à p côtés est égale à 2p. Pour p = 3: 2p = p(p-1) = 6. Pour p > 3: 2p < p(p-1); 10 < 20.	Avec le même mode de raisonnement, cette équation possède: une racine réelle, la racine cinquième de 2 = 1,148… et quatre complexes, chacune obtenue par multiplication par les racines cinquièmes complexes de 1, notée ici en w. Le pentagone compte dix cas de symétrie (groupe diédral D5). Il s'avère que ce n'est pas assez pour représenter les vingt cas de permutations des racines de cette équation. Et c'est le cas général pour tout n = p (premier) sauf le cas particulier de n = 3. Les équations de degré p, hors le cas p = 3, n'ont pas de solutions exprimables avec des radicaux.

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Suite	Équations quintiques – Historique Résolution des équations du troisième degré par la méthode symétrique de Lagrange
Voir	Calcul – Index Équation du troisième degré – Résolution Table des racines
Site	Symmetries of Equations: An Introduction to Galois Theory – Brent Everitt
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