NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique  LOGIQUE

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Ensemble

 

Théorie des ensembles

 

 

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Ensemble

 

Théorie des ensembles

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Fini / Infini

 

Sommaire de cette page

>>> Produit cartésien

>>> Propriétés

 

>>> Anglais

>>> Bilan

 

 

 

 

Théorie des ensembles

PRODUIT CARTÉSIEN

 

 

Comment conjuguer deux ensembles ?

Combien de possibilités ?

 

*    Le produit cartésien de deux ensembles engendre des couples comme, par exemple,  les deux coordonnées du plan.

*    Le produit cartésien de trois ensembles engendre des triplets comme, par exemple,  les trois coordonnées de l'espace.

*    Un nombre complexe est formé de couples de nombres issus d'un produit cartésien  entre l'ensemble des nombres réels et lui-même.

 

 

 

 

Produit cartésien

 

*      Effectuer le produit cartésien d'un ensemble E par un ensemble F, noté E x F, consiste à distribuer tous les éléments de E par rapport à chaque élément de F.

*      Le produit de E, comportant k éléments, par F, en comportant H, engendre un ensemble de k.h éléments (couples).

 

Exemples

 

E = {2, 3} et F = {a, b}

E x F = { (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

 

G = {As, Roi}

H = { }

G x H =
{ (As,
 ), (As,  ), (As,  ), (As, ),
 (Roi,
 ), (Roi, ), (Roi,  ), (Roi,  ) }

 

 

E x F compte 2 x 2 = 4 couples

G x H compte 2 x 4 = 8 couples

 

 

 

Propriétés

 

*      Dans un produit cartésien, les couples formés sont ordonnés, ils sont mentionnés entre parenthèses.

 

*      Le produit cartésien n'est pas commutatif.

 

*      Le produit cartésien avec un ensemble vide est nul.

 

 

*      Le produit d'un ensemble infini par un ensemble infini est infini.

 

 

*      Le produit cartésien de trois ensembles engendre des triplets.
Même histoire pour quatre ou plus.

 

alerte.jpg  Le produit fixe l'ordre des deux éléments de chaque couple. Le premier élément provient de E et le second de F.

 

E x F est différent de F x E.

 

 

E x  =

 

 

N x N = N² ensemble de tous les couples d'entiers positifs ou nuls.

R x R = R² ensemble de tous les couples de nombres réels.

 

E x F x G écrit sans parenthèse
= { (E0, F0, G0), (E1, F1, G1) … }

 

alerte.jpg  (E x F) x G  E x (F x G)   en général.

 

 

 

Nous retenons

Un produit cartésien produit des couples, triplets, quadruplets … ordonnés dont l'usage est multiple. Les coordonnées dans le plan ou dans l'espace offrent de bons exemples d'emploi.

 

 

 

 

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