NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

Débutants

Dénombrement

Combinaisons

à répétitions

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Dénombrement

 

Vue globale

 

Probabilités

 

Balles en boites

Multiset

Bases – Théorèmes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Combinaisons à répétitions

>>> Formulation générale

>>> Historique

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

MULTIENSEMBLE, MULTISET

Ensembles à répétitions

 

Une généralisation des ensembles qui admet la répétitions des éléments.

Par définition, un ensemble comporte un exemplaire unique de chaque élément. Un multiensemble peut en contenir plusieurs.

Analogie avec des balles à répartir dans des sacs, paniers ou boites.

 

 

Anglais: Multiset, bag / Distributing balls into boxes

 

 

Approche

 

Un ensemble à répétitions ou multiensemble est un ensemble:

*    sans notion d'ordre, et

*    les éléments peuvent être répétés.

 

Exemples

11, 12, 21, 22

 

123 est équivalent  à 213 ou 312

1223 n'est pas équivalent à 123

Cardinalité

 

Quantité d'éléments

Ex: Cardinalité {11223344} = 8

Écritures

 

{aaabbcddd} = {a:5, b:2, c:1, d:3} = {a5 b2 c1 d3}

 

Les nombres placés derrière les lettres sont les coefficients de multiplicité.

La cardinalité est la somme des coefficients de multiplicité.

 

Factorisation des nombres

 

Le nombre 123 480 se factorise en :

2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 x 7 x 7

Autrement dit, sous la forme d'un multiensemble:

{23 32 51 73}

 

Théorème fondamental de l'arithmétique

 

Tout nombre peut être exprimé comme produit unique d'un multiensemble de nombres premiers.

Every positive integer can be uniquely expressed as the product of a multiset of primes.

 

Multiensemble – Définition

 

Un multiensemble est une collection d'éléments dont certains peuvent apparaître plusieurs fois.

Les occurrences d'un élément particulier sont indiscernables.

Chaque occurrence d'un élément contribue à la cardinalité du multiensemble.

La quantité d'occurrence d'un élément donné est un nombre entier positif.

La quantité de type d'éléments peut être infinie.

Un multiensemble est complètement définit par la connaissance de ses types d'éléments et leur fréquence.

 

 

 

Combinaisons à répétitions (p-suite)

 

Définition

Une combinaison à répétitions et une combinaison où:

*    la notion d'ordre n'importe pas, et

*    les éléments peuvent être répétés.

 

Exemple

Le résultat du lancer de trois dés sans distinguer lequel produit quel nombre.

{1,6, 6}, {4, 2, 1}, {1, 1, 1}, etc.

 

Dénombrement

 

Une manière de dénombrer les possibilités consiste à les énumérer. Intéressant pour apprécier la logique de comptage.

 

Lorsque le premier dé donne 1  et lorsque le deuxième dé est aussi à 1, il y a 6 possibilités pour le troisième dé. Classique!

 

Avec le deuxième dé à 2, il ne faut recompter 121 qui est équivalent à 112. Par contre 122 est nouveau ainsi que 123 etc. – Soit 5 possibilité.

Avec le même raisonnement la configuration commençant par 13 aura pour troisième dé 133, 134, 135 et 136.

Etc.  On constate que les nombres sur les dés vont croissants, on ne retourne pas en arrière.

 

Ainsi le décompte est singulier

 

Avec le 1er dé à 1: 21 possibilités.

Avec le 1er dé à 2: 15 possibilités.

Etc.

 

 

La formulation n'est pas évidente avec cette méthode directe.

 

 

Cas du lancer de trois dés

 

Formule

La méthode des étoiles et des barres permet d'établir la formule générale:

 

 

Les parenthèses sont les coefficients du binôme.

 

 

Exemple

 

Avec n = 6 chiffres et k = 3 dés:

 

 

 

 

Formulation générale

 

 

Notations

 qui se lit gamma n k ou la double parenthèse ((-)), ces symboles désignent la quantité de multiensembles de cardinalité k dont les éléments sont pris dans un ensemble fini de cardinalité n. Cardinalité: traduisez: quantité d'éléments.
La simple parenthèse (-) est le symbole des coefficients du binôme.

 

Anglais: Counting multisets, multichoose coefficient

 

 

Exemple des dominos

 

Combien de sortes de dominos? Autrement-dit: dénombrer l'ensemble des dominos de taille 2x1?

 

Il s'agit de calculer le nombre de combinaisons avec répétitions de 2 chiffres parmi 7.

 

n = 7 et k = 2


 

 

 

 

Historique

 

Dans l'Antiquité, on manipulait des multiensembles sans le savoir: collection de symboles pour représenter les nombres (comme les dessins de bâtons).

Richard Dedekind (1831-1916): une notion utile consiste à affecter une fréquence à un élément pour indique combien de fois il doit être compté comme élément de l'ensemble.

Karl Weierstrass (1815-1897) avait une curieuse façon de concevoir les nombres. Par exemple 0,543 est un nombre qui contient 1/10 avec la multiplicité 5; 1/100 ave le multiplicité 4; etc.

En 1895, Cantor définit l'ensemble à élément unique: "aggregates" consist only of distinct elements.

 

 

Hermann Weyl (1885-1955) définit les "agrégats" qui peuvent comporter plusieurs éléments du même type et les utilisent pour traiter des problèmes de physique, chimie et génétique.

Parker-Rhodes développe une théorie mathématique qui traite des multiensembles. Sa théorie généralise la théorie des ensembles tout en l'englobant.

D'autres mathématiciens, comme Knuth, utilisent les multiensembles comme outil pratique pour développer des algorithmes numériques.

En 1976, Lake propose une axiomatique des multiensembles fondée sur les développements de von Neumann en théorie des ensembles (1925)

Le terme multiensemble ou multiset en anglais est de facture récente. En anglais, on trouvait les termes: bag, bunch, fireset

 

 

 

English corner

 

A multiset is a collection of objects (called elements) in which elements may occur more than once. The number of times an element occurs in a multiset is called its multiplicity. The cardinality of a multiset is the sum of the multiplicities of its elements.

MST: Muliset théory

mset: abbreviation of multiset.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*       Balles en paniers

*       Méthode des étoiles et des barres

Voir

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*       Football – parties

*       Fréquences de chiffres

*       Loi des grands nombres

*       Oiseaux

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Aussi

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*       Football

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Sites

*       Multiset theory** – Wayne Blizard – 1989 – Traité théorique avancé

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http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/aaaBalle/Multiset.htm