NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/12/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Un nombre – Premier et composé >>> deux nombres – Divisible ou non >>> Divisible >>> Non divisible >>> Un peu divisible

DIVISIBILITÉ

Sujet incontournable, exercice imposé.

Comme les gammes pour apprendre le piano.

Cette première page introduit simplement les notions abordées dans les pages suivantes:

division

nombre premier

diviseurs

plus grand commun diviseur

…

Pas difficile, et même très intuitif. Mais mérite d'y passer un petit peu de temps pour bien s'imprégner. C'est fondamental pour la suite.

Notations: on ne sait jamais où les chercher !

a divise b	PGCD de (a, b)	PPCM de (a, b)
ab	(a, b)	[a, b]

Personnellement, je conserve le point pour signifier multiplication: a . b

Beaucoup d'ouvrages l'omettent: ab

Tous les nombres n'ont pas la même façon de se comporter!

Voir Pensées & humour / Introduction aux nombres géométriques

Nombre un par un – PREMIER ET COMPOSÉ
Premier cas: nombre COMPOSÉ >>> Le nombre "se laisse" faire.		Second cas: nombre PREMIER >>> Il refuse de " se plier" à notre volonté.
On peut le plier en 2, en 3 ou autres. On peut le matérialiser avant autant de petits carrés disposés en rectangle. Il se laisse décomposer: il est le produit de deux nombres autre que 1 et lui-même.		On ne peut pas le plier, il est droit. Avec des petits carrés, on ne peut le matérialiser qu'en colonne. Il ne se laisse pas décomposer: il n'est le produit que de lui-même par l'unité. Il est premier.

Nombre deux par deux – DIVISIBLE ou non
L'un divise l'autre	Tous deux "un peu" divisibles	Premiers entre eux	Tous deux premiers
Un nombre au moins est composé			Deux nombres premiers
L'un au moins se laisse faire. L'un divise l'autre exactement; sans reste.	Ils ont un petit quelque chose en commun. Tous deux se plient de la même façon. Ils ont un diviseur commun.	Tout composé qu'ils soient, ils sont différents. Ils sont étrangers ou premiers entre eux.	Tous deux premiers. Tout les sépare. Ils n'ont que l'unité en commun. Ils sont vraiment très différents.
Divisibles >>>	Non divisibles, mais un peu divisibles >>>	Non divisibles >>>
		Premiers entre eux	A fortiori, premiers entre eux

Récapitulatif des cas possibles selon la nature des deux nombres

Pour ceux qui aiment les tableaux logiques

(l'aire n'est pas représentative de la quantité de cas; idée topologique seulement)

Cas 1 – Nombres NON divisibles

Nous sommes dans le cas ou la division ne "tombe" pas juste. il y a un reste.

Dans ce cas, il existe deux nombres q et r tels que b = a . q + r

a, b, q et r sont des nombres entiers.

b est premier ou composé.

a est premier ou composé.

Exemples

b	= a	. q	+ r
13	2	6	1
12	5	2	2
11	4	2	3
100	13	7	9

Néanmoins, certains partagent des diviseurs en commun. Deux problèmes se posent:

les détecter, et

trouver les diviseurs les plus grands possibles >>>

Diviseurs de

140 2 x 2 x 5 x 7

84 2 x 2 x 3 x 7

Plus grand commun diviseur (PGCD):

2 x 2 x 7 = 28

Alors 28 divise aussi bien 140 que 48.

Plus petit commun multiple (PPCM):

2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420

Alors 420 est divisible par 140 et par 84.

Cas 2 – Nombres divisibles ou multiples
Si a divise b, alors b est composé et a peut être premier ou composé. Un nombre b est divisible par a s'il existe un nombre d tel que b = a . d Il s'agit d'une division de reste nul. Tous les nombres composés sont divisibles par au moins deux nombres	a, b et d sont des nombres entiers a et d sont des diviseurs de b. b est un multiple de a. Diviseurs de 4 1, 2, 4 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Bilan

Nous venons d'introduire les notions suivantes:

Divisible et divisibilité,

Diviseurs,

Nombres premiers ou nombres composés,

Nombres premiers entre eux ou étrangers, et

PGCD et PPCM.

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Autour	La division en pratique c'est quoi? – Débutant La division en résumé c'est quoi? – Glossaire Nombres premiers – Glossaire
Voir	Cryptage Des jeux sur les partages Jeux et puzzles – Index L'arithmétique de l'horloger Le calcul mental Théorie des nombres – Index
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