NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Division

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Sommaire de cette page

>>> Un       nombre – Premier et composé

>>> deux nombres – Divisible ou non

>>> Divisible

>>> Non divisible

>>> Un peu divisible

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ

 

Sujet incontournable, exercice imposé.

Comme les gammes pour apprendre le piano.

Cette première page introduit simplement les notions abordées dans les pages suivantes:

*    division

*    nombre premier

*    diviseurs

*    plus grand commun diviseur

*   

Pas difficile, et même très intuitif. Mais mérite d'y passer un petit peu de temps pour bien s'imprégner. C'est fondamental pour la suite.

 

Notations: on ne sait jamais où les chercher !

 

a divise b

PGCD de (a, b)

PPCM de (a, b)

ab

(a, b)

[a, b]

 

Personnellement, je conserve le point pour signifier multiplication: a . b

Beaucoup d'ouvrages l'omettent: ab

 

 

Tous les nombres n'ont pas la même façon de se comporter!

 

image004

Voir Pensées & humour / Introduction aux nombres géométriques

 

 

Nombre un par un – PREMIER ET COMPOSÉ

Premier cas: nombre COMPOSÉ >>>

Le nombre "se laisse" faire.

 

Second cas: nombre PREMIER >>>

Il refuse de " se plier" à notre volonté.
 

 

*         On peut le plier en 2, en 3 ou autres.

*         On peut le matérialiser avant autant de petits carrés disposés en rectangle.

*         Il se laisse décomposer: il est le produit de deux nombres autre que 1 et lui-même.

 

*         On ne peut pas le plier, il est droit.

*         Avec des petits carrés, on  ne peut le matérialiser qu'en colonne.

*         Il ne se laisse pas décomposer: il n'est le produit que de lui-même par l'unité. Il est premier.

 

 

Nombre deux par deux – DIVISIBLE ou non

L'un divise l'autre

Tous deux "un peu" divisibles

Premiers entre eux

Tous deux premiers

Un nombre au moins est composé

Deux nombres premiers

 

*    L'un au moins se laisse faire.

*    L'un divise l'autre exactement; sans reste.

 

*    Ils ont un petit quelque chose en commun.

*    Tous deux se plient de la même façon.

*    Ils ont un diviseur commun.
 

 

*    Tout composé qu'ils soient,

ils sont différents.

*    Ils sont étrangers ou premiers entre eux.

 

*    Tous deux premiers.

*    Tout les sépare. Ils n'ont que l'unité en commun.

*    Ils sont vraiment  très différents.

Divisibles

>>>

Non divisibles, mais un peu divisibles

>>>

Non divisibles >>>

Premiers entre eux

A fortiori,

premiers entre eux

 

 

Récapitulatif des cas possibles selon la nature des deux nombres

 

 

Pour ceux qui aiment les tableaux logiques

(l'aire n'est pas représentative de la quantité de cas; idée topologique seulement)

 

 

 

 

Cas 1 – Nombres NON divisibles

*         Nous sommes dans le cas ou la division ne "tombe" pas juste. il y a un reste.

*         Dans ce cas, il existe deux nombres q et r tels que  b = a . q + r

 

a, b, q et r sont des nombres entiers.

b est premier ou composé.

a est premier ou composé.

 

Exemples

b

=  a

. q

+ r

13

2

6

1

12

5

2

2

11

4

2

3

100

13

7

9

 

*         Néanmoins, certains  partagent des diviseurs en commun. Deux problèmes se posent:

*       les détecter, et

*       trouver les diviseurs les plus grands possibles >>>

 

Diviseurs de

  140   2 x 2 x       5 x 7

    84   2 x 2 x 3 x       7

 

*    Plus grand commun diviseur (PGCD):

               2 x 2 x 7 = 28

Alors 28 divise aussi bien 140 que 48.

 

*    Plus petit commun multiple (PPCM):

               2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420

Alors 420 est divisible par 140 et par 84.

 

 

 

Cas 2 – Nombres divisibles ou multiples

*         Si a divise b, alors b est composé et a peut être premier ou composé.

*         Un nombre b est divisible par a s'il existe un nombre d tel que b = a . d

*         Il s'agit d'une division de reste nul.

*         Tous les nombres composés sont divisibles par au moins deux nombres

 

a, b et d sont des nombres entiers

a et d sont des diviseurs de b.

b est un multiple de a.

 

Diviseurs de

  4   1, 2, 4

12   1, 2, 3, 4, 6, 12

60   1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

 

 

 

Bilan

Nous venons d'introduire les notions suivantes:

*    Divisible et divisibilité,

*    Diviseurs,

*    Nombres premiers ou nombres composés,

*    Nombres premiers entre eux ou étrangers, et

*    PGCD et PPCM.

 

 

 

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