NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 24/10/2016

 

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Sommaire de cette page

 

>>> NOMBRES ET OPÉRATIONS

>>> STRUCTURES ET ENSEMBLES

>>> LOGIQUE

>>> GÉOMÉTRIE

>>> FONCTIONS

 

Pages Voisines

 

*       Glossaire mathématique

*       Lettres en tant que symboles

*       Vocabulaire des nombres complexes

 

*       Les types de nombres

*       Théorie des nombresIndex

*       Calcul

*       Langages minimums

*       Logique

*       Géométrie

*       Jeux et puzzles

 

 


 

SYMBOLES

 

Voici les plus utilisés

Il en existe quantité d'autres …

 

Fontes: on les trouve en:

-       Cambria math

-       Symbol

-       Bookshelf Symbol 5.

NON NOTATIONES,

SED NOTIONES

Ce qui est important ce sont les notions, pas les notations.

Carl Friedrich Gauss

Voir Pensées & humour

 

Un caractère spécial non disponible au clavier

Cherchez son Unicode sur Internet puis tout en appuyant sur Alt, taper le nombre et lâchez Alt, le caractère apparait. Essayez avec l'introuvable "ne divise pas" codé par 8740 (décimal), vous obtiendrez ce symbole: 

 

 

 NOMBRES ET OPÉRATIONS

 

Pi

*    William Oughtred.

e

Nombre de Neper

*    Base des logarithmes népériens.

Nombre d'or

 

C

Constante d'Euler

 

a, b, c …

Quantités connues

Coefficients

*    Murolico XVI.

*    Viète.

*    Descartes (généralise l'usage).

x, y z

Inconnues

 

|a|

Valeur absolue de a

*    |-3| = 3

Partie entière de x , plancher et plafond

*    [3/2] = 1

{x}

Partie fractionnaire de x

*    {3,14} = 0,14 

*    {-1,75} = 0,25

Nombre, comme 123

*    Et non pas un produit.

 

 

a = b

a égal b

*    Robert Recorde XVI.

a:= a+1

a prend la nouvelle valeur de a+1

*    Symbole d'affectation.

a correspond à b

a == b mod p

a congru à b modulo p

Note: dans certains texte on peut voir \equiv mal interprété, qui donne:

(Théorème de Wilson)

a presque égal à b

 

a différent de b

 

a > b

a supérieur à b

*    (Le symbole s'ouvre vers le plus grand).

a supérieur ou égal à b

 

a < b

a inférieur à b

 

a inférieur ou égal à b

*    (Le symbole rentre dans le plus petit).

 

a + b

a plus b

 

a – b

a moins b

 

a plus ou moins b

 

ab

ab

a  b

a multiplié par b
(Notez le point médian)

*    En algèbre, on évite le signe x car confusion possible avec le symbole de l'inconnue x.

Voir Symboles de la multiplication

n!

Nombre factoriel

ou factorielle

*    n! = 1 x 2 x 3 x … x n

Kramp XVII.

!n

Sous-factorielle

*    Factorielle divisée.

n!!

Double factorielle

*    Factorielle avec produit d'un nombre sur deux.

n#

Primorielle

*    Factorielle avec produit des nombres premiers.

Somme de toutes les valeurs de xk pour k variant de 1 à n

Produit de toutes les valeurs de xk pour k variant de 1 à n

 

1/a = a -1

Inverse de a

 

a

b

a divisé par b

*    Oresme XIV.

a / b

a : b

a ¸ b

a divisé par b

*    De Morgan.

a divise b

b est divisible par a

 

a ne divise pas b

*    Utilisation du symbole de négation.

a ne divise pas b

 

indique que pa  a

et         que pa+1 a

*    Divise

Ne divise pas.

 

 (a,b)

PGCD de a et b

*    aussi PGCD (a,b

 [a,b]

PPCM de a et b

*    aussi PPCM (a,b).

 

an

a ^ b

a puissance n

*    soit: a . a . a … n fois.

Racine carrée de a

*    Christophe Ruduff.

Racine nième de a

 

 

Racine nième de a puissance p

 

i =

Racine carrée de -1

*    Base des nombres imaginaires.

Nombre complexe

 

j

Une des racines cubiques de 1

 

Infini

*    John Wallis XVII.

 

Matrices de nombres

A, aij

Matrices et ses éléments

*    Sylvester.

ij

Symbole de Kronecker

 

 

STRUCTURES ET ENSEMBLES

 

a, b , c …

Élément d'un ensemble.

 

E, A, B, C …

Ensembles.

 

E = {a, b, c}

Définition d'un ensemble par énumération.

*    a, b et c sont les trois éléments (les seuls) de l'ensemble E.

{x  E(x)}

x appartient à l'ensemble qui a la propriété E.

*    Exemple:

*    {2, 3, 5, 7} = {x | P(x) et x<10} avec P(x) qui signifie x est un nombre premier.

Classe d'équivalence avec x

*    Tous les éléments de E qui ont la même propriété que x

E:
f:

L'ensemble E est défini par ce qui suit; la fonction f est définie par …

(x, y)

Couple d'éléments.

*    Dans un ensemble E ou, chacun dans les ensembles E et F.

E x F

E X F est l'ensemble des couples (x, y). Produit cartésien

*    x étant un élément de E et y un de F.

En semble des couples de réels. Produit cartésien

*    Généralisable à
Puissance.

Ensemble vide.

 

Card E, #E,

 ou n(E)

Cardinal de l'ensemble E.

*    Quantité d'éléments.

Coefficient du binôme.

*    Quantité de combinaisons.

Coefficient de multiensemble.

*    Quantité de combinaisons avec répétitons.

 (E)

Toutes les parties de E. Y compris E et l'ensemble vide.

Card  (E) = 2Card (E)

Un ensemble de n éléments comporte 2n parties.

 (E, F)

Ensemble des applications de E dans F. Toutes les permutations.

*    Card  (E, F) = (Card ())Card (E)

a appartient à E.

 

a n'appartient pas à E.

 

A  et B sont équipotents ou en bijection.

*    Tous les éléments de l'un correspondent à un seul des éléments de l'autre.

A  Union  B

= { x  x  A ou x  B }

*    On conserve tous les éléments appartenant aussi bien à A qu'à B.

A  Intersection B

= { x  x  A et x  B }

*    On ne conserve que les éléments appartenant à la fois à A et à B.

A inclus dans B

*    Tous les éléments de A sont aussi dans B.

A

Ensemble complémentaire de = { x  x  A }

*    Aucun élément n'appartient à A.

A \ B

A sans B

*    Tous les éléments de A à l'exception de tous ceux de B.

A   B

Double différence entre A et B

*    Réunion de A et B sans leur partie commune.

A*

A sans le 0

*    Tous les éléments de A à l'exception du zéro.

N* = {1,2,3 …}

N sans le 0

*    L'ensemble des nombres entiers naturels en éliminant le zéro.

N+

N en positif

*    L'ensemble des nombres entiers positifs. Exemples

N, Z, Q, R, C

Ensembles des nombres

*    Voir Définitions

    Groupes, anneaux, corps

= {1, 2, …, n}

*    Ensemble des entiers jusqu'à n

Groupe de congruence

*    Groupe des entiers modulo 4 muni de l'addition

Exemple de parties d'un ensemble (Groupe cyclique)

*    Ici les éléments sont {0,1,2}; calcul modulo 3.

Groupe de symétries

*    Groupe des permutations d'ordre 3

Ensemble des unités

*    Ensemble des nombres complexes de module 1 (sur le cercle unité).

Quels que soient les éléments x et y appartenant chacun à l'ensemble E.

*    Même si les ensembles sont les mêmes, l'exposant spécifie la quantité.

Aleph zéro et aleph n

*    Ensembles liés à l'infini.

a  b

a * b

a T b

a est composé avec b

*    Application: opération algébrique généralisée. (Loi de composition des ensembles).

a  b

Relation entre a et b

*    Elle est vraie ou fausse.

Relation d'ordre comme: supérieur, inclus, divisible …

ev

Espace vectoriel

 

 LOGIQUE

V, F

Vrai, Faux

 

Non (P)

Non P, négation

Si P est une proposition vraie, alors non(P) est une proposition fausse et réciproquement.

\

tel que

Faire: AltGr 8

Quel que soit l'élément x

Quantificateur universel

*    Hilbert.

Il existe au moins un élément x

Quantificateur existentiel

*    Peano Frege.

Il existe un élément x unique

 

Il existe un élément x unique tel que

 

P

Proposition logique (ou mathématique

  (Vraie: tout nombre peut être porté au carré)

   (Fausse: un nombre n'est pas toujours un carré parfait)

=>

Implication

*    Nicolas Bourbaki.

Implication directe et réciproque

Équivalence

a ou b

Connecteur OU

Disjonction

*    Symbole OUvert, qui élargit

a et b

Connecteur ET

Conjonction

*    Symbole qui chapeaute, qui restreint.

 a ou exclusif b

Connecteur OU exclusif

Disjonction exclusive

Alternative

 

A infère B

Inférence

*    Équivalent à: 

*    l'énoncé A => B est vrai.

Conclusion,

Donc

*    Marque la conclusion d'un raisonnement.

 

 GÉOMÉTRIE

 

A, B, C …

Points.

*    Voir Géométrie

{ A, B, C …}

Liste de points.

 

Angle A.

 

°

rad

Degré.

Radian.

 

[AB]

Segment AB.

 

/

Segment biffé du même symbole

= segment de même longueur.

D // D'

Parallèles.

 

D ^ D'

Orthogonaux

(formant un angle droit).

Vecteur AB.

 

Mesure algébrique de AB.

 

Norme du vecteur AB.

*    Caractérise l'intensité d'une grandeur.

(AB)

Droite passant par AB.

 

 

FONCTIONS

y = f(x)

Fonction f.

*    y est l'image de x par f.
x est l'antécédent de y par f.

f : E  F

     x  f(x)

Application ou fonction de E dans F qui associe x à f(x).

*    Écriture générale.
On peut écrire y = f(x).

f : R  R

     x  

Application ou fonction de R dans R qui associe à x son carré.

*    Ici, l'exemple montre l'élévation au carré.
On peut écrire y = x²

R  {h}

Ensemble R privé de l'élément h.

*    Par exemple: pour éliminer le cas d'un dénominateur nul.

Exemple:

f -1

Fonction symétrique.

*    Pour x², c'est 1/x²

IdE

Application identique.

*    Images et antécédents sont les mêmes

f = O(g)

Indique qu'il existe une constante positive C telle que |f| < Cg.

*    Notation de Landau.
Compare les vitesses de croissance des fonctions ou des séries.

 

 

CALCUL DIFFÉRENTIEL et INTÉGRAL

Petite différence sur x

Petite variation de x 

Petite contribution de x

*    Simple différence.

*    Utilisée pour de calcul intégral ou dérivée.

*    Même chose, mais partiel, le long d'un axe.

grad, div,

rot

Nabla, Laplacien,

Gradient, Divergence, Rotationnel.

*    Opérateurs différentiels.

Intégrale simple sur la plage de a à b.

*    Sorte de somme continue.

Intégrale triple sur le volume fermé V.

*    Souvent vectorielle, comme calcul du champ électrique (Maxwell)

 

 

Fonction logarithme intégral (pour x ³ 2).

 

 

 

 

 

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Suite

*         Définition des domaines mathématiques

*         Groupes

*         Cardinal

Voir

*         Opérations

*         Calcul algébrique

*         Équations

Site

*         Origine des symboles

*         Liste des symboles - Wikipedia

*         Earliest Uses of Various Mathematical Symbols

*         Mathematical symbols

*         Comment composer des symboles (touche alt appuyée puis code à quatre chiffres)

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