NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉQUATIONS

 

Débutants

Équations

Troisième degré

 

Glossaire

Équations

 

 

INDEX

Équations

 

Théorie

Exemple 1

Méthode

Historique

Factorisation

Exemple 2

Exemple 3

 

Sommaire de cette page

>>> En résumé

>>> Del Ferro

>>> Tartaglia

>>> Cardan

>>> Bombelli

>>> La saga du 3e degré (problèmes de Fior)

>>> Le quatrième degré

 

 

 

 

 

 

En résumé

 

Antiquité (Vers - 1700)

*         Quelques exemples apparaissent chez les Babyloniens.

 

Ménechme (-375 à -325)

*         Résolution géométrique suite à l'étude de l'intersection des coniques.

 

Archimède (-287 à -212)

*         Archimède pose des problèmes nécessitant de telles équations et donne des solutions géométriques. Notamment: comment trancher une sphère pour obtenir deux volumes dans un rapport donné.

 

Période arabe (vers 1100)

*         Omar Khayyâm (1048-1131), puis Sharaf ad Din at Tusi (vers 1160). Tous deux traitent des équations du 3e degré à coefficients positifs.

*         Omar dénombre 14 types d'équations cubiques (il n'utilise pas les nombres négatifs).

 

Les pionniers (autour de 1500),

une bande de mathématiciens italiens

 

Del Ferro     1465-1523 (58)

Tartaglia      1499-1557 (58)

Cardano      1501-1576 (75)

Ferrari          1522-1565 (43)

Bombelli      1526-1572 (46)

 

*         Cardan constate que quand D < 0, il existe des solutions (Archimède en a trouvé), mais on ne peut pas les calculer avec des nombres réels.

*         Il introduit timidement les racines négatives avec des nombres dits " impossibles " ou " imaginaires " et montre qu'il y a 3 racines.

 

*         Bombelli en 1572 sera plus net sur le sujet. Les nombres complexes sont nés.
 

 

 

Scipione del FERRO

 

*    Résolution par radicaux de l'équation de degré trois

*    Ne publia pas. Se réserve sans doute pour un concours d'amission à une chaire.

*    Mourant, il confie la solution à un de ses étudiants, Antonio Fior. En fait, il ne savait traiter qu'un seul cas parmi les quatorze.

*    Sans texte attestant de sa découverte, le mérite ne lui sera pas reconnu.
 

 

 

Niccolò Fontana dit TARTAGLIA

 

*    Tartaglia, mathématicien italien, dit le bègue (suite à une blessure au palais); tartagliare en italien: bégayer

*    En 1535, à Bologne, lors d'un duel entre savants, Antonio Maria Fior lui soumet trente équations du 3e degré qu'il résout en quelques heures et invente la méthode générale de résolution de telles équations. Méthode qu'il garde pour lui. Il réduit le nombre de type de cubiques à résoudre à seulement deux au lieu de 14. À l'inverse, Fior fut incapable de résoudre les équations cubiques soumises par Tartaglia.

*    Tartaglia cédera aux suppliques de Cardan lui demandant de dévoiler la méthode sous le sceau du secret.

*    Cardan ne tiendra pas parole et s'en suivra une profonde querelle entre les deux hommes.

 

*    Tartaglia est aussi connu pour ses travaux sur

*      l'artillerie: description de la trajectoire d'un projectile (1606);

*      la géométrie: volume du tétraèdre.

*      le commerce: opérations arithmétiques à connaître;

*      les traductions: Euclide et Archimède.
 

 

Girolamo Cardano ou Jêrôme Cardan

 

*    Sous le sceau du secret, Tartaglia lui dévoile la solution des équations du troisième degré. Lorsque Del Ferro annonce qu'il a la solution, Cardan se juge libre de communiquer la solution. Il la publie dans son ouvrage: Ars Magna en 1545.

*    La méthode de résolution sera longtemps baptisée méthode de Cardan, désormais rectifiée en méthode Cardan-Tartaglia.

 

English corner: Cardano cajoled Tartaglia into revealing his solution to the cubic equations, by promising not to publish them. Tartaglia divulged the secrets of the solutions of three different forms of the cubic equation in verse. (Abstract from Wikipedia)

 
 

 

Raffaele Bombelli

 

*    Traité d'algèbre intitulé Algebra (1572).

*    Travaux sur les racines carrées de nombres négatifs et introduction des complexes

*    Connu pour ses calculs de racines carrées en utilisant les fractions continues. 

 

 

 

Problèmes de Fior – Tartaglia (1535)

*    Trente problèmes posés par Fior à Tartaglia en défi de résolution des équations du troisième degré du type x3 + px = q.

Scipione DEL FERRO

(1465-1526)

Antonio Mari FIOR

 

 

Niccolo Fontana TARTAGLIA

(vers 1500-1557)

Gerolamo Cardano ou

Jérôme CARDAN

(1501-1576)

1520

*      Le premier à résoudre les équations cubiques:
x³ = px + q et
x³ + q = px

*       Les deux formes existent, car à cette époque les nombres négatifs n'étaient pas connus.

*      Transmet son secret à Fior.

 

*      Tartaglia trouve lui aussi une méthode pour résoudre des équations cubiques.

 

 

1535

*      Fior, lance un défi à Tartaglia: résoudre trente équations du type x³ + px = q

*      Seul type qu'il sait résoudre.

*      Tartaglia trouve les solutions.

*      Il sait résoudre:

x³ + px = q et

x³ + px² = q

1539

*      Cardan, lui aussi, s'attaque au 3e et même au 4e degré.

 

*    Les formules de résolution des équations du troisième degré. sont appelées formules de Cardan.

 

*    Elles devraient plutôt être attribuées à 
del Ferro.

*      Sous le sceau du secret et en échange d'une aide financière, Tartaglia confie la méthode à Cardan.

 

*      Cardan développe la méthode générale de résolution des équations du troisième degré en x³ + bx2 + cx + d = 0

*      Découvrant que Del Ferro connaissait la solution, il se sent libéré du secret.

*      Il publie ses travaux: Ars magna.

 

 

1545

*      Tartaglia et Cardan se disputent la paternité.

 

 

 

 

Les quartiques (4e degré)

 

*    Lodovico Ferrari, élève de Cardan, trouve les solutions. Cardan les publie dans Ars Magna en précisant l'auteur.

*    François Viète en 1615, reprend et explicite les solutions de Ferrari.

*    Descartes (1596-1650) trouvera une autre méthode de résolution dite des coefficients indéterminés.

 

Du temps de Cardan, les quartiques semblaient ne pas présenter d'intérêt. Les équations de degré 1, 2 et 3 s'appliquaient aux problèmes de géométrie pratique: longueur, surface ou volume. Quel pouvait être l'intérêt du degré quatre sans équivalent en géométrie?

Voir Hypercube

 

 

 

 

 

Voir

*    Équations

Aussi

*    Algèbre

*    Les années 1400 et 1500

Livre

*         La symétrie ou les maths au clair de Lune – Marcus du Sautoy – Héloïse d'Ormesson - 2012

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