NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

Général

 

Glossaire

Complexes

 

 

INDEX

 

COMPLEXES

Introduction

Complexes

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres complexes 

>>> Quaternions

>>> Algèbres 

 

 

 

 

Histoire des

NOMBRES IMAGINAIRES

 

D'abord révélés lors la tentative de résolution des équations du troisième degré avec la nécessité de traiter des racines de nombres négatifs.

 

 

 

APPROCHE

 

*    Partant de la racine carrée de -1, on a inventé les nombres complexes. On les interprète comme des points sur le plan.
 

*    On est ensuite passé aux quaternions qui servent en géométrie dans l'espace.

*    Peut-on généraliser? On cherche à systématiser, à trouver la théorie de l'existence de ces systèmes de nombres ou algèbres.

 

 

NOMBRES COMPLEXES 


D'un point de vue historique, les nombres complexes sont issus de la recherche de solutions à des équations du genre : x2 = – 1 intervenant dans la résolution des équations du troisième degré.

Il n'existe pas de nombre réel x dont le carré soit –1. Les premiers mathématiciens prétendaient donc que cette équation n'admettait pas de solution.

 

Cardan (1501-1576) Cependant, vers le milieu du XVIe siècle, Jérôme Cardan et ses contemporains expérimentèrent des solutions d'équations faisant intervenir des racines carrées de nombres négatifs.

Pour résoudre l'équation:

x (10 – x) = 40   x² – 10x + 40 = 0

Voir Variations sur cette équation

 

 

Cardan suggéra d'exprimer le nombre réel 40 sous la forme suivante:

 

Voir Identités remarquables

 

Bombelli (1526-1572)  imagine une technique de calcul avec les racines de nombres négatifs. Il se trouve confrontée à l'énigme suivante:

 

 

Leibniz, en 1702, fera part de sa découverte à Christian Huygens et à Pierre Varignon:

Jusqu'à cette époque, on cherchait à résoudre les équations du troisième degré. Ce n'est que plus tard que cette technique de calcul avec les racines négatives servira à résoudre les équations du second degré dont le déterminant est négatif (à quelques exceptions près, comme celle de Cardan indiquées ci-dessus).

 

Euler, quant à lui, introduisit en 1777, le symbole moderne i pour . Il établit la célèbre relation:  
Cette relation crée des liens entre cinq des nombres fondamentaux en mathématiques.

 

Voir nombre pi, nombre e

 

QUATERNIONS 

 

William Rowan HAMILTON



1805 Né à Dublin.

1835 Légitime l'emploi des nombres complexes en mathématiques.

1843 Sa grande découverte: les quaternions.

1865 Mort à Dunsink

 Voir Hamilton et ses contemporains / Nombres complexes

 

En faisant des calculs avec les nombres complexes, il s'intéresse à l'interprétation géométrique de l'addition et de la multiplication dans le plan à 2 dimensions. Il se demanda si avec des nombres hypercomplexes, on ne pourrait pas obtenir des résultats analogues dans l'espace à 3 dimensions. Ses recherches sont bien décrites par la célèbre anecdote avec son fils:

 

Durant de nombreuses années, HAMILTON avait espéré trouver une forme de multiplication satisfaisante pour les triplets de nombres réels avec de bonnes propriétés. En particulier: conservation de la multiplication des modules. Peu de temps avant sa mort en 1865, il écrivit à son fils: "Tous les matins, alors que descendais pour prendre le petit déjeuner, tu me demandais : 'Eh bien, papa, est-ce que tu peux multiplier les triplets ?' J'étais toujours obligé de répondre, avec un triste hochement de tête : 'Non, je peux seulement les ajouter et les soustraire'."

 

Finalement, HAMILTON a l'idée géniale de passer à un paramètre de plus: "Ainsi naquit l'idée en moi d'admettre une quatrième dimension pour calculer avec des triplets." (1843)

 

a + ib + jc

 

Ne marche pas.

a + ib + jc + kd

Hamilton passe à une composante de plus: une 4e dimension pour calculer les triplets

 

Il aboutit aux quaternions :

*       en imposant de respecter la multiplication des modules,

*       en conservant l'associativité,

*       mais, hélas, il est obligé d'abandonner la commutativité. 

 

C'est Frobenius qui démontrera en 1877, que les triplets ne peuvent pas exister!

 

Euler, bien avant Hamilton, en 1748, il connaissait la règle de multiplication des quaternions, sous la forme du théorème des quatre carrés

 

Gauss, lui aussi, connaissait la règle de calcul des quaternions en 1819.

 

 

 

À la recherche des autres ALGÈBRES 

 

Gauss en 1831: il n'existe pas d'autre système de nombres avec les mêmes lois fondamentales que celles des nombres complexes.

 

Hamilton octobre 1843: découverte des quaternions par Hamilton. Encouragés par la découverte des quaternions, de nombreux mathématiciens tentèrent de trouver d'autres systèmes de nombres, d'autres algèbres hypercomplexes.

 

Octonions ou octavions décembre 1843, John Graves, puis indépendamment en 1845, Arthur Cayley construisent les octonions ou octaves de Cayley, algèbre non associative.

 

Bi quaternions: quaternions à coefficients complexes introduits par Hamilton en 1853. Ils ne forment pas une "vraie" algèbre (pas une algèbre à division).

 

Clifford crée les algèbres associatives qui portent son nom en 1878.
 

Sur le plan théorique:

 

Hamilton incapable de prouver qu'il n'existe pas de système à triplets (algèbre à division associative et commutative de dimension 3). Il reconnaît que Gauss et Grassmann ont été les précurseurs de la découverte des quaternions.

 

Frobenius en 1877: il n'existe que 3 algèbres à division associative de dimension finie: Réels (R), Complexes(C) et Quaternions (H).
Prouvé indépendamment en 1881 par Charles Peirce.

 

Hopf

1940: Cherche toutes les algèbres possibles

Montre que, si on exige la commutativité, il n'existe pas d'algèbre de dimension supérieure à 2

Il utilise la topologie pour sa démonstration. Un début! Largement utilisée de nos jours

 

Mazur et Gelfand

1938 et 1940: démontrent que R, C et H sont les seules algèbres complètes (de Banach)

 

 

Suite

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Voir

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*         Nombres périodiques

*         Nombres périodiques

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