NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Aire et volume

Volumes proches

Empilement

Calotte …

Calcul d'Archimède

Et cubes

 

Sommaire de cette page

>>> EMBALLAGE PAPIER

>>> POLYÈDRES

>>> TRANCHES

>>> INTÉGRALE

>>> VOLUME dans d'autres dimensions

 

 

 

 

 

SPHÈRE – CALCUL de l'AIRE et du VOLUME

 

Anglais: surface area of the sphere, volume of the sphere

 

Comment faut-il s'y prendre ? Et la première fois ? Ce n'est effectivement pas simple. Les mathématiciens anciens procédaient par approximations. Les modernes ont inventé un outil: le calcul intégral.

 

 

Voici quatre approches successives ou comment  aboutir au calcul moderne par intégrales:

 

1

Emballage papier

Analogique ou intuitive.

2

Polyèdres emboîtés

Approximations globales et successives.

3

Découpe en tranches fines

Approximations locales.

4

Calcul intégral

Passage à la limite.

 

Voir Rubik's cube

 

 

VOLUME SPHÈRE UNITÉ

 

*    Avec R = 1, le volume de la sphère unité est égal à 4/3  = 4,188 790 …

*    Archimède est le premier à avoir démontré la formule.

C'est la découverte dont il était le plus fier.

Sur sa tombe, on plaça une sculpture représentant une sphère inscrite dans un cylindre.

 

 Voir Volume de l'hypersphère  /  DicoNombre 4,18

 

 

EMBALLAGE PAPIER

 

*    Prenons une feuille de papier ayant les dimensions suivantes:

*    La feuille enveloppe complètement la sphère, à condition de faire les "découpes nécessaires".

 

*    Sa surface (en maths on dit "aire") est donnée par:

 

A sphère

= périmètre x diamètre

= 2 r * 2r

= 4  

 

On utilise * pour la multiplication pour éviter la confusion avec la lettre x

 

Note

Aire du cercle

Aire de la sphère

=      

= 4  

Asphère = 4 Acercle

 

 

 

POLYÈDRES

 

Principe

 

La circonférence du cercle,

 

*    Elle est calculée en encadrant ce cercle par des polygones dont le nombre de côté va croissant.

 

L'aire de la sphère,

 

*    Elle est calculée en encadrant cette sphère par des polyèdres:

*    un dedans qui donnera la valeur par défaut,

*    un dehors qui donnera la valeur par excès.

*    L'opération est recommencée avec des polyèdres ayant davantage de faces.

*    Et, ceci, jusqu'à obtenir l'approximation souhaitée.

*    Voire même, en prolongeant à l'infini, la valeur limite donnant l'aire de la sphère.

 

*    Commençons avec des octaèdres:

Un octaèdre est formé de deux pyramides à base carrés

dont les faces sont 2x4 = 8 triangles équilatéraux.

 

 

Premier encadrement

 

Octaèdre intérieur (inscrit)

Rayon de la sphère

Hauteur de chaque pyramide

Longueur des côtés des triangles

Hauteur du triangle équilatéral

r

r

a = r 2

h = r 3/4

   = r 2 x 3 / 4

   = r 3 / 2

Aire de chaque triangle

Aire de tous les triangles

A = ah/2

S = 8 A = 4ah

   = 4 r 2 x r 3 / 2

   = 4 r² 3

 

Octaèdre extérieur (circonscrit)

Rayon de la sphère

Hauteur de chaque pyramide

Longueur des côtés des triangles

Hauteur du triangle équilatéral

r

r

a = r 6

h = a 3 / 4

   = r 6 x 3 / 4

   = r 12 / 4

   = r 3 / 2

Aire de chaque triangle

Aire de l'octaèdre

A = ah/2

S = 8 A = 4ah

   = 4 r 6 x r 3 / 2

   = 12 r² 3

 

 

Pour poursuivre

 

*    Pour poursuivre le calcul, considérons chaque face de l'octaèdre et

posons sur chacune une pyramide à base triangulaire (évidemment)

dont les sommets touchent la sphère.

*    La surface de ce nouveau solide à 24 faces isocèles

se rapproche de celle de la sphère

 

Longueur des côtés

Aire de chaque triangle

Aire du polyèdre

a = 2 r 3 / 3

à calculer …

 

*    Même chose pour l'octaèdre circonscrit:

les angles saillants seront coupés par un plan tangent à la sphère

pour obtenir un polyèdre à 14 faces: 8 carrés et 6 triangles équilatéraux. Il s'agit d'un cuboctaèdre.

 

Le même procédé (ajouter des pyramides et couper des angles) est répété.

Il est évident que le calcul devient de plus en plus lourd.

Archimède aurait utilisé une méthode de ce type.

 

 

Anglais: polyhedral, octahedron

 

 

TRANCHES

 

Aire

 

*    La sphère est coupée

*    en petites tranches horizontales

*    toutes de la même hauteur h = dy.

 

*    La surface de la sphère sera égale à

la somme des surfaces des rondelles.

 

*    On va calculer

*    l'aire de chaque rondelle et

*    trouver que cette aire est indépendante de la place de la rondelle sur la sphère.

 

*    Chacune des rondelles est un tronc de cône.

Anglais: frustum of a cone

 

*    En première approximation, la courbure de chaque cône est ignorée.

 

 

*    La surface des rondelles se calcule ainsi:

 

Ar

= circonférence au milieu  * longueur le long de la pente 

= C . dl

C

= 2  x

dl

= longueur le long de la pente 

= valeur qui varie selon la place de la tranche
= plus grande aux pôles, car plus de pente

Avec la règle des triangles semblables

dl/dy = R / x

dl

= R . dy / x

Ar

= 2  x . R . dy / x

= 2  R dy

R est constant

la hauteur de la tranche dy

est aussi une valeur constante

Ar

= constante

= aire d'un cylindre de rayon R est de hauteur dy

Chaque rondelle de taille variable

donne un cylindre de taille fixe

Empilons les rondelles l'une sur l'autre

la hauteur du cylindre résultant sera 2R

et son aire est

AS

= aire de la sphère

= somme des aires des rondelles Ar

= aire du cylindre équivalent

= 4  

On utilise * pour la multiplication pour éviter la confusion avec la lettre x

 

 

Volume

 

*    Ayant déterminé l'aire, le passage au volume de la sphère est très simple:

*    Imaginons un tout petit carré dessiné sur la surface de la sphère (ou un polygone).

*    Formons la pyramide ayant ce carré pour base et le centre de la sphère pour sommet.

 

*    Son volume est celui de la pyramide (rappel: le carré est vraiment tout petit!).

 

Vp

= 1/3 Abase * hauteur

= 1/3 Abase * R

 

*    Le volume de la sphère est égal à la somme du volume de toutes les petites pyramides possibles

*    Ces pyramides ont pour base tous les petits carrés (ou polygones) possibles: ces surfaces élémentaires ajoutées les unes aux autres couvrent toute la sphère

 

ABase

= aire de la sphère

 = 4  R2

 

 

Voir Méthode d'Archimède / Dérivées

 

 

INTÉGRALE

 

*    En utilisant une sphère centrée sur l'origine.

L'aire de la sphère est simplement donnée par l'intégrale double:

 

 

Qui correspond à une intégrale sur 360° puis une rotation de celle-ci de 180°.

 

*    Le calcul donne:

As

= 2  r² [ cos(0) – cos(p) ]

= 4  

 

 

*    Le volume est obtenu par une intégrale semblable, mais triple:

 

 

*    Cette méthode est:

*       plus rapide,

*       plus précise,

*       mais elle nécessite un bagage mathématique plus avancé.

 

 

Voir Calcul intégral

 

 

 

VOLUME de la SPHÈRE selon sa dimension

 

*             Volume de la sphère selon le nombre de dimensions du monde considéré:

 

Dimension

Volume – Formule

Volume – Valeur

1

2

2

3,141592654

3

4,188790204

4

4,934802202

5

5,263789015

6

5,167712783

7

4,724765972

8

4,058712129

 

 

*             Le volume est maximal en dimension 5 puis diminue ensuite. Sa limite pour une dimension infinie est nulle.

 

*             En dimension non-entière le volume maximum correspondrait à:

 

Dimension

Volume

5,256 946

5,277 768

 

 

Voir Diconombre 5,25

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Calcul avec cylindre et cônes

*    Volumes proches

*    Empilement

*    Sphère terrestre

Voir

*    Cercle

*    Cône, demi-sphère et cylindre

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