triangle équilatéral

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index /Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - *M'écrire* - Édition du: 21/03/2011
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SPHÈRE - CALCUL de l'AIRE et du VOLUME

Aire	Volume
A = 4 R²	S = 4/3 R³

Anglais: surface area of the sphere, volume of the sphere

Comment faut-il s'y prendre ?

Et la première fois ?

Ce n'est effectivement pas simple.

Les mathématiciens anciens procédaient par approximations.

Les modernes ont inventé un outil: le calcul intégral.

Voici quatre approches successives

ou comment aboutir au calcul moderne par intégrales:

1	Emballage papier	Analogique ou intuitive.
2	Polyèdres emboîtés	Approximations globales et successives.
3	Découpe en tranches fines	Approximations locales.
4	Calcul intégral	Passage à la limite.

VOLUME SPHÈRE UNITÉ

Avec R = 1, le volume de la sphère unité est égal à 4/3 = 4,188 790 …

Archimède est le premier à avoir démontré la formule.

C'est la découverte dont il était le plus fier.

Sur sa tombe, on plaça une sculpture représentant une sphère inscrite dans un cylindre.

Voir Volume de l'hypersphère / DicoNombre 4,18

EMBALLAGE PAPIER

Prenons une feuille de papier ayant les dimensions suivantes:

La feuille enveloppe complètement la sphère, à condition de faire les "découpes nécessaires".

Sa surface (en maths on dit "aire") est donnée par:

A_sphère

= périmètre x diamètre

= 2 r * 2r

= 4 r²

On utilise * pour la multiplication pour éviter la confusion avec la lettre x

Note

Aire du cercle

Aire de la sphère

= r²

= 4 r²

A_sphère = 4 A_cercle

POLYÈDRES

Principe

La circonférence du cercle,

Elle est calculée en encadrant ce cercle par des polygones dont le nombre de côté va croissant.

L'aire de la sphère,

Elle est calculée en encadrant cette sphère par des polyèdres:

- un dedans qui donnera la valeur par défaut,

- un dehors qui donnera la valeur par excès.

L'opération est recommencée avec des polyèdres ayant davantage de faces.

- Et, ceci, jusqu'à obtenir l'approximation souhaitée.

- Voire même, en prolongeant à l'infini, la valeur limite donnant l'aire de la sphère.

Commençons avec des octaèdres:

Un octaèdre est formé de deux pyramides à base carrés

dont les faces sont 2x4 = 8 triangles équilatéraux.

Premier encadrement

Octaèdre intérieur (inscrit)

Rayon de la sphère

Hauteur de chaque pyramide

Longueur des côtés des triangles

Hauteur du triangle équilatéral

a = r 2

h = r 3/4

= r 2 x 3 / 4

= r 3 / 2

Aire de chaque triangle

Aire de tous les triangles

A = ah/2

S = 8 A = 4ah

= 4 r 2 x r 3 / 2

= 4 r² 3

Octaèdre extérieur (circonscrit)

Rayon de la sphère

Hauteur de chaque pyramide

Longueur des côtés des triangles

Hauteur du triangle équilatéral

a = r 6

h = a 3 / 4

= r 6 x 3 / 4

= r 12 / 4

= r 3 / 2

Aire de chaque triangle

Aire de l'octaèdre

A = ah/2

S = 8 A = 4ah

= 4 r 6 x r 3 / 2

= 12 r² 3

Pour poursuivre

Pour poursuivre le calcul, considérons chaque face de l'octaèdre et

posons sur chacune une pyramide à base triangulaire (évidemment)

dont les sommets touchent la sphère.

La surface de ce nouveau solide à 24 faces isocèles

se rapproche de celle de la sphère

Longueur des côtés

Aire de chaque triangle

Aire du polyèdre

a = 2 r 3 / 3

à calculer …

…

Même chose pour l'octaèdre circonscrit:

les angles saillants seront coupés par un plan tangent à la sphère

pour obtenir un polyèdre à 14 faces: 8 carrés et 6 triangles équilatéraux

Il s'agit d'un cuboctaèdre.

Le même procédé (ajouter des pyramides et couper des angles) est répété.

Il est évident que le calcul devient de plus en plus lourd.

Archimède aurait utilisé une méthode de ce type.

Anglais: polyhedral, octahedron

TRANCHES

Aire

La sphère est coupée

- en petites tranches horizontales

- toutes de la même hauteur h = dy.

La surface de la sphère sera égale à

la somme des surfaces des rondelles.

On va calculer

- l'aire de chaque rondelle et

- trouver que cette aire est indépendante de la place de la rondelle sur la sphère.

Chacune des rondelles est un tronc de cône.

Anglais: frustum of a cone

En première approximation, la courbure de chaque cône est ignorée.

La surface des rondelles se calcule ainsi:

A_r	= circonférence _{au milieu} * longueur _{le long de la} _pente = C . dl
C	= 2 x
dl	= longueur _{le long de la} _pente = valeur qui varie selon la place de la tranche = plus grande aux pôles, car plus de pente Avec la règle des triangles semblables dl/dy = R / x
dl	= R . dy / x
A_r	= 2 x . R . dy / x = 2 R dy R est constant la hauteur de la tranche dy est aussi une valeur constante
A_r	= constante = aire d'un cylindre de rayon R est de hauteur dy Chaque rondelle de taille variable donne un cylindre de taille fixe Empilons les rondelles l'une sur l'autre la hauteur du cylindre résultant sera 2R et son aire est
A_S	= aire de la sphère = somme des aires des rondelles A_r = aire du cylindre équivalent = 4 R²

On utilise * pour la multiplication pour éviter la confusion avec la lettre x

Volume

Ayant déterminé l'aire, le passage au volume de la sphère est très simple:

- Imaginons un tout petit carré dessiné sur la surface de la sphère (ou un polygone).

- Formons la pyramide ayant ce carré pour base et le centre de la sphère pour sommet.

Son volume est celui de la pyramide (rappel: le carré est vraiment tout petit!).

V_p	= 1/3 A_base * hauteur = 1/3 A_base * R

Le volume de la sphère est égal à la somme du volume de toutes les petites pyramides possibles

- Ces pyramides ont pour base tous les petits carrés (ou polygones) possibles: ces surfaces élémentaires ajoutées les unes aux autres couvrent toute la sphère

A_Base

= aire de la sphère

= 4 R³