NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sphère

Géométrie

 

Introduction & index

Aire et volume

Volumes proches

Empilement

Calotte …

Calcul par intégrales

Calcul d'Archimède

Et cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Emballage papier

>>> Encadrement par polyèdres

>>> Calcul par tranches

>>> Bilan

>>> Volume dans d'autres dimensions

 

 

 

Copie d'élève, citée par Tangente n° 66 – Avril 2018

Voir Pensées & humour

 

SPHÈRE – CALCUL de l'AIRE et du VOLUME

 

A = 12,56637061 … R2

 

S = 4,1887902047…R3

 

La sphère prise pour son volume s'appelle la boule

Anglais: surface area of the sphere, volume of the sphere

 

Archimède est sans doute le premier à avoir démontré ces formules. Il était fier de ses découvertes sur la sphère.

Comment faut-il s'y prendre ? Et la première fois ? Ce n'est effectivement pas simple. Les mathématiciens anciens procédaient par approximations. Les modernes ont inventé un outil: le calcul intégral.

 

Voici quatre approches successives ou comment  aboutir au calcul moderne par intégrales:

 

1

Emballage papier

Analogique ou intuitive.

2

Polyèdres emboîtés

Approximations globales et successives.

3

Découpe en tranches fines

Approximations locales.

4

Calcul intégral

Passage à la limite.

 

Voir Rubik's cube

 

EMBALLAGE PAPIER

 

Prenons une feuille de papier rectangulaire ayant les dimensions suivantes:

*      Longueur = diamètre de la sphère, et

*      Largeur = périmètre d'un grand cercle de la sphère

 

La feuille enveloppe complètement la sphère, si on imagine pouvoir  faire les "découpes nécessaires".

 

Sa surface (en maths on dit "aire") est donnée par:

 

A sphère

= périmètre x diamètre

=

=

  

Note

 

 

Aire du cercle

Aire de la sphère

=    

=

Asphère = 4 Acercle

 

 

 

Encadrement par polyèdres (Exhaustion)

Principe

 

La circonférence du cercle,  est calculée en encadrant ce cercle par des polygones dont le nombre de côtés va croissant.

Méthode d'exhaustion.

 

 

 

 

De la même manière, l'aire de la sphère est calculée en encadrant cette sphère par des polyèdres:

*      un dedans qui donnera la valeur par défaut,

*      un dehors qui donnera la valeur par excès.

L'opération est recommencée avec des polyèdres ayant davantage de faces.

*    Et, ceci, jusqu'à obtenir l'approximation souhaitée.

*    Voire même, en prolongeant à l'infini, la valeur limite donnant l'aire de la sphère.

 

Faisabilité

 

Trouver des polyèdres proches de la sphère est un problème difficile. On sait facilement inscrire et circonscrire un cube, ou même un octaèdre >>>

Une tactique consiste à superposer d'autres polyèdres sur les faces pour s'approcher progressivement de la sphère. les calculs deviennent vite compliqués.

Une autre possibilité consiste à approximer la sphère par une surface faite de triangles: c'est la sphère géodésique de Buckminster Fuller.

 

Solutons

 

Les solutions retenues consistent plutôt à sectionner la sphère en tranches (en rondelles de saucisson ou de salami) ou alors a considérer toutes les pyramides issues de l'origine.

L'astuce consiste à imaginer des objets avec de très fines épaisseurs pour opérer une approximation sans conséquence sur le résultat final. Affirmation qui, aujourd'hui, est confirmée par le calcul formel avec des intégrales.

 

Voir Calcul du segment de parabole par exhaustion

 

 

Méthode des tranches

Le principe du calcul par tranches consiste à sectionner la sphère en tranches parallèles très fines.

 

Cette méthode s'applique au calcul du volume de la sphère: empilement de petites tranches de sphères.

Elle s'applique aussi au calcul de l'aire de la sphère: somme des surfaces externes des tranches.

 

Les tranches en question sont, en fait, légèrement courbes sur leur surface externe. Ces segments de sphère s'approchent des troncs de cônes

La méthode consiste à ramener le calcul sur la sphère à un calcul sur le cylindre enveloppant. Tranches orange sur la figure. 

 

Nous allons donc étudier ce segment de sphère en le réduisant le plus possible et en approximant sa partie courbe par une partie droite.

 

Données géométriques du calcul

 

Notez tout de suite que le petit triangle bleu est semblable au grand triangle en pointillés: tous deux rectangles et avec des côtés parallèles qui dessinent des angles égaux deux à deux.

Note plus formelle: le calcul par tranches tel que le pratiquaient les Anciens produit des résultats justes. Pourtant, on peut s'interroger sur la légitimité des approximations qui "deviennent justes"  pour des tranches de plus en plus petites. En analyse moderne, ce doute est levé en introduisant la notion de limite et en pratiquant un calcul par intégrales.

 

Anglais: determining volumes by slicing

Voir Calcul avec les infinitésimaux / Calcul avec intégrales

 

 

Calcul de l'aire de la sphère

 

Calcul de l'aire de la sphère A comme somme des aires des segments de sphère Ar.

 

 

Calculs

Aire du segment de sphère = circonférence moyenne  x longueur (approximation avec le segment oblique)

Circonférence moyenne (rayon x) 

Relation dans les triangles  semblable

Longueur latérale du segment (pris comme droit)

Aire du segment avec ces valeurs

 

Conclusion: l'aire d'un segment de sphère (orange) est indépendant de x, et c'est aussi l'aire d'un segment de cylindre de rayon R est de hauteur dy (bleu).

 

Du fait de cette égalité d'aires, la somme des aires des segments de sphère est égale à la somme des aires des segments de cylindre.

Dit-autrement: l'aire de la sphère est égale à l'aire latérale du cylindre.

 

Note: il faut bien réaliser que les tranches orange et bleues sont en relief; sorte de rondelles, de disques dont on s'intéresse à l'aire de la bordure.

 

Sachant que la hauteur du cylindre est 2R, son aire latérale, égale à l'aire de la sphère, vaut:

 

Théorème de la boite à chapeau (hat box theorem)

The orthogonal projection from the lateral face of the cylinder onto the sphere is area-preserving. This of course can be shown by calculus. Remarkably, Archimedes proved it without using calculus.

La projection orthogonale de la face latérale du cylindre sur la sphère préserve la surface. Bien sûr, cela peut être démontré avec des intégrales. Fait remarquable, Archimède l'a prouvé sans connaitre l'analyse moderne.

 

 

Calcul du volume de la boule

 

Ayant déterminé l'aire, le passage au volume de la boule est très simple.

 

Imaginons un tout petit carré (jaune) dessiné sur la surface de la boule, ou toute autre forme polygonale.

 

Formons la pyramide (rouge) ayant ce carré pour base et le centre de la boule pour sommet.

 

La boule est enveloppée par ces tous petits carrés qui approximent la surface courbe.

 

Volume de la petite pyramide à base carrée.

Volume de la sphère = somme du volume de toutes les pyramides élémentaires formant la boule sphérique complète.

La somme des aires de type Acarré est égale à l'aire de la sphère entière.

Soit le volume de la sphère:

Voir Méthode d'Archimède avec cylindre et cône / Dérivées

 

 

Bilan

La méthode par tranches fines  ou celle par découpage en petites pyramides conduisent aux formules de l'aire et du volume de la sphère.

La méthode par exhaustion introduisant le volume du cylindre et du cône est une autre méthode géométrique >>>

Quant au calcul intégral il est présenté sur une page spéciale >>>

 

 

 VOLUME de la SPHÈRE selon sa dimension

Volume de la sphère selon le nombre de dimensions du monde considéré => Tableau.

 

 

Le volume est maximal en dimension 5 puis diminue ensuite. Sa limite pour une dimension infinie est nulle.

 

En dimension non-entière le volume maximum correspondrait à:

 

Dimension

Volume

5,256 946

5,277 768

Voir Diconombre 5,25

 

MERCI A M. Jurkiewicz pour avoir susciter la révision de cette page

 

 

 

 

Suite

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Sites

*      Spherical polyhedron (polyèdres sphériques) – Wikipedia

*      Geodesic polyhedron – Wikipedia

*      Surface Area of a Sphere – Ask Dr. Math / Rob

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Sphere.htm