NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 08/03/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Géométries

 

Débutants

Géométrie

CONIQUES

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Courbes

 

Géométrie

 

Coniques

Ellipse

Hyperbole

Parabole

Cercle

Segment de Parabole

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Apollonios de Perge

http://www.coolmath.com/sites/cmat/files/flashlight.gif>>> Historique

>>> Section du cône

>>> Excentricité des coniques

>>> Équations

>>> Théorème de Brianchon

>>> Dessiner les coniques

>>> Vocabulaire

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Les CONIQUES

 

Les coniques sont des courbes obtenues par la section d'un cône de révolution par un plan. Trois coniques: ellipse, parabole et hyperbole.

 

Propriétés majeures qui peuvent être prises comme définitions:

*      ELLIPSE: ensemble* des points M tels MF + MF' = constante. Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse.

*      HYPERBOLE: ensemble des points M tels MF – MF' = constante

*      PARABOLE: ensemble des points équidistants d'un point F et d'une droite D. Le point F est  le foyer de la parabole.

*autrefois et dans ce cas, on disait: lieu.

 

Les planètes décrivent une ellipse autour de leur étoile. Les comètes non périodiques suivent des paraboles ou hyperboles. Les fusées ou engins spaciaux décrivent des courbes constituées de tronçons de coniques (approximation). Les télescopes à réflexion concentrent la lumière en utilisant les propriétés d'une des trois coniques (la parabole dans la majorité des cas). Le grand public connait bien les antennes paraboliques servant à capter la télévision. L'antenne d'Arecibo (écoute des émissions extraterrestres) est composée d'une parabole de 305 m de diamètre (photo).

 

 

 

Approche

 

Chacun connaît le cornet à glace en forme de cône dont l'origine remonterait à une centaine   d'années. Le vendeur de glaces se trouve à court de coupelles en carton. Son voisin vendeur de gaufres lui propose une association …

Voir Inventions

 

 

 

 

Ce dessin du chat Garfield  a été créé avec des morceaux de coniques.

 

Par exemple, les deux yeux sont des ellipses dont les équations sont:

 

 

 

Source de ce dessin (et bien d'autres): desmos creative art

 

APOLLONIUS DE PERGE

vers 262 à 180 av. J.-C. - environ 82 ans

 

*  Il écrit un ouvrage de référence sur les coniques: Kônika (traité sur les sections coniques).

 

Ouvrage qui sera restauré par Fermat sous le titre: Lieux plans d'Apollonius



*  Apollonius analyse les sections d'un cône, et donne un nom à chaque conique:

 

*    ellipse: omis => en moins;

*    parabole: comparaison => égal, même, ce qu'il faut;

*    hyperbole: en excès => en plus.

 

Voir Contemporains d'Apollonius

 

 

Historique

 

*       IVe siècle av. J.-C. Ménechme ( -375 à – 325), élève de Platon et précepteur d'Alexandre le Grand, découvre les coniques en tentant de réaliser la duplication du cube.

*       Un siècle plus tard dans son traité, Apollonius de Perge nommera les trois courbes: parabolé, ellipsis et hyperbolé qui signifient: "jeter à côté" à fin de comparaison, manque et excès.

 

*       Johannes Werner (1468-1522), prêtre, fabricant d'instruments, adepte d'astrologie, voisin et ami d'Albrecht Dürer. Étudiant de Regiomontanus, il écrit un traité sur les coniques en 1522: Libellus super viginti duobus elementis conicis (22 théorèmes sur les coniques).

*       Albrecht Dürer (1471-1528) en quête des secrets de la beauté, cet artiste de la renaissance s'est intéressé à la géométrie des Grecs anciens. Il est convaincu que la connaissance des mathématiques, surtout la géométrie, éviterait nombre d'erreurs dans la pratique de l'art.
Il met au point une méthode de construction des coniques (entre-autres).

1525 – Instructions pour la mesure, à la règle et au compas, des lignes, plans et corps solides (Ce document passe comme le premier ouvrage important de mathématiques en allemand).

Dürer commet une erreur en représentant l'ellipse comme un œuf (ovoïde). C'est Kepler (1604) qui est le premier à faire la distinction entre ovale et ellipse. Notamment en modélisant l'orbite de Mars.

 

*       Girard Desargues (1591-1661) étude les coniques comme perspective du cercle; bases de la géométrie projective.

 

*        Pascal (1623-1662) à 16 ans écrit un traité sur les coniques.
 

*        Les autres mathématiciens qui ont travaillé sur les coniques: La Hire, Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, et Steiner

 

 

 

Section du cône

 

*  Les coniques sont des courbes planes algébriques.
Selon le type de section du cône de révolution, on a: 

Coniques non dégénérées:

Parabole,

Hyperbole et

Ellipse.

 

Coniques dégénérées:

Cercle,

Droite et

Point.

 

 

 

Section du cône

Illustration d'après Tangente Hors-série n° 21 – L'astronomie (2005) – Page 48

 

 

Section du cône vue  du dessus, de profil et en perspective

 

 

 

Excentricité des coniques

 

Excentricité

Les coniques peuvent être définies et distinguées par leur excentricité (eccentricity).

*    Une droite D, dite directrice;

*    Un point fixe F, dit foyer;

*    Un point P situé sur la conique;

*    La distance PH du point P à la droite D (PH est perpendiculaire à D);

*    La distance du point P au foyer F; et

C'est rapport entre ces deux distances qui est baptisé excentricité.

 

 

Définition des coniques

 

 

Exemples

 

 

 

 

Dessiner des coniques

 

Deux jeux de cercles concentriques (gris pointillés) dont les centres sont espacés.

Alors les intersections (billes rouges) sont situés sur, à la fois:

*    une série d'ellipses (roses) et

*    une série d'hyperboles (vertes)
 

 

Ces coniques, ellipses et hyperboles, sont mutuellement orthogonales.

 

Deux jeux de paraboles de même foyer, mais de sens opposés, sont également mutuellement orthogonales (ci-contre).

 

 

 

 

Théorème de Julien Brianchon (1785-1864)

 

Une conique et six tangentes; leurs points d'intersection (billes rouges).

Les droites reliant les paires de points opposés sont concourantes.

    

 

Voir Étoile mystérieuse de Pascal / Théorème de Pappus

 

 

Équations

 

Équations des coniques

Leur équation est de forme quadratique (second degré):

 

 

Algorithme de caractérisation de la conique selon l'équation

 

Exemples

 

Programme correspondant (Maple)

 

Œil de Garfield

Les deux équations de l'ellipse dessinant les yeux de Garfield:

 

Cette équation en Ax² + By² (x et y sont au carré et tous deux de même signe) est bien celle d'une ellipse.

 

 

 

Vocabulaire des coniques

*    Section conique

Conic section

Courbe issue de la section d'un cône.

*    Cône circulaire droit ou cône de révolution

Right circular cone

Cône dont la base est un cercle et dont la perpendiculaire en son centre passe par le sommet (axe du cône).

*    Centre

Center

Centre du cercle, de l'ellipse ou de l'hyperbole.

*    Sommet

Vertex, vertices

Parabole: point de rebroussement.

Ellipse: extrémités du grand axe.

Hyperbole: point d'inflexion sur une branche de l'hyperbole.

*    Foyer

Focus, foci

Un point à partir duquel est mesurée la distance définissant la conique. Point de convergence de toutes les droites définissant la distance.

*    Directrice

Directrix, directrices

La droite à partir de laquelle la distance est mesurée pour définir la conique.

*    Axe

Axis, axes

La droite perpendiculaire à la directrice passant par le sommet de la parabole. Axe de symétrie.

*    Axe principal ou axe focal

Major Axis

Semi-major axis

Horizontal radius

Ellipse: ligne joignant les foyers. Elle est perpendiculaire à la directrice.

Les demi-droites issues du centre sont les demi-grands axes

*    Axe secondaire

Minor Axis

Semi-minor axis

Vertical radius

Médiatrice du grand axe.

Les demi-droites issues du centre sont les demi- axes secondaires

*    Ensemble de points ou lieu des points

Set of points or locus, loci

Il définit les conditions d'appartenance à la conique.

Voir Vocabulaire des mathématiques

 

 

 

English corner

 

*      A conic section (or just conic) is a curve obtained as the intersection of a cone (more precisely, a right circular conical surface) with a plane.

 

 

 

*      Conic sections are the curves which can be derived from taking slices of a "double-napped" cone. (A double-napped cone, in regular English, is two cones "nose to nose", with the one cone balanced perfectly on the other.)



 

 

 

 

 

Suite

*    Ellipse

*    Étoile mystérieuse de Pascal

*    Théorème de Pascal

*     Problème des trois cercles

Voir

*    Cercle

*    Cône

*    Courbes élémentaires

*    DicoMot

*    Équation des coniques

*    GéométrieDébutants

*    Géométrie Glossaire

*    GéométrieIndex

*    Hyperbole

*    Parabole

*    Sphère

*    Théorème de Pascal

Livre

*    Des courbes célestes par Jacky Couvret –Tangente Hors-série n° 21 – L'astronomie (2005) – Pages 48 à 53

Sites

*      Les coniques – Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET

*      Les coniques – Serge MEHL

*      Les coniques – Applets par XiTi

*      Les coniquesBibm@th

*      Les coniques – Simples par M@ths et tiques

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Coniques/Coniques.htm