factorisation du troisième degré

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/09/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	ÉQUATIONS
Débutants Équations	Troisième degré				Glossaire Équations
INDEX Équations	Théorie	Exemple 1	Méthode	Historique
	Factorisation	Exemple 2	Exemple 3	Symétrie
	Nombre d'argent	Système (3 équa.)
		Sommaire de cette page >>> Forme générale >>> Exemples de résolution rapide >>> Signe >>> Première série – À l'envers >>> Deuxième série – À l'endroit >>> Troisième série – Dégénéré >>> Quatrième série – Identités >>> Tables de polynôme du 3^e degré

Polynôme du troisième degré

Factorisation

Familiarisation et résolution des équations SIMPLES du troisième degré.

Avant de vous lancer dans les calculs longs et fastidieux de résolution de telles équations, vérifiez qu'il n'y a pas une racine évidente. Dans l'équation, le terme constant est riche de renseignements sur les racines du polynôme.

Forme générale

La constante R est égale au produit des trois racines: R = – abc.

Le coefficient P est égal à leur somme: P = – (a + b+ c).

Remarques mises à profit pour résoudre rapidement certaines équations.

Exemples de résolutions immédiates

Résolution possible si les racines sont entières et petites.

Une vérification ultime consiste à remplacer x par sa valeur dans le polynôme initial. Par exemple, pour x = 1 => 1 – 6 + 11 – 6 = 0.

Dans ce cas pour atteindre la somme 5, nous avons dû doubler l'un des diviseurs.

Ce troisième exemple montre l'intérêt de la vérification: pour s'assurer que le choix des racines est bon et que les signes sont bien attribués.

Voir Tables de ce type d'équations / Diviseurs et facteurs

Histoire de signe

Quel est le signe de R selon les signes des racines?

R est positif si les trois facteurs sont en + ou si un seul est en +.

R est négatif si les trois facteurs sont en – ou si un seul est en –.

Les racines ont le signe inverse des signes dans la factorisation.

Exemples détaillées

Première série – À l'envers
Observons le produit de trois facteurs. Pour a = 1 ou 2 ou 3, le polynôme est égal à 0. Ces trois nombres sont les racines de l'équation proposée. Je remarque que la constante 6 est bien le produit de 1, 2 et 3 Les trois facteurs accompagnés du signe moins engendrent bien une constante R négative (–6).	(x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 Racines: {1, 2, 3} 1 – 6 + 11 – 6 = 0 8 – 24 + 22 – 6 = 0 27 – 54 + 33 – 6 = 0
La factorisation avec trois signes positifs engendre bien une constante R positive. R est bien le produit de 1 x 2 x 3 Les racines, de signe opposé à ceux de la factorisation, sont toutes les trois négatives.	(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0 x³ + 6x² + 11x + 6 = 0 Racines: {–1, –2, –3} 1 – 6 + 11 – 6 = 0 8 – 24 + 22 – 6 = 0 27 – 54 + 33 – 6 = 0

Deuxième série – À l'endroit
Avec une telle équation, je suspecte des racines en: {1, 12, 12}, aux signes près. Le coefficient de x², somme des racines, étant unitaire, je confirme que la configuration –1, –12 et +12 doit convenir.	x³ – x² – 144x + 144 = 0 12³ – 12² – 144 x 12 + 144 = 0 (–12)³ – (–12)² – 114 (–12) + 144 = –12³ – 12² + 12³ + 12² = 0 1 – 1 – 144 + 144 = 0 (x – 1) (x – 12) (x + 12) = 0
Avec 144, j'ai sans doute à faire aux mêmes racines {1, 12, 12}. 144 est négatif: un facteur ou les trois sont négatifs La somme, coefficient de x² est égale à 23. C'est la somme: 12 + 12 – 1. Les racines sont: {+1, –12, –12}	x³ + 23x² – 120x – 144 = 0 (x – 1) (x + 12) (x + 12) = 0

Troisième série – Dégénéré
Factorisation immédiate avec x. Puis, reconnaissance d'une identité remarquable. Les racines sont évidentes	x³ – x = 0 x (x² – 1) = 0 x (x – 1) (x + 1) = 0 Racines: {–1, 0, + 1}
Factorisation immédiate avec x. Les racines sont celles vues ci-dessus, plus le 0.	x⁴ – 6x³ + 11x² – 6x = 0 x (x³ – 6x² + 11x – 6) = 0