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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carrés plus que parfaits

Most-Perfect magic square

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Carrés magiques d'ordre 4 – Généralités

Carrés plus que parfaits

 

Sommaire de cette page

Ordre 4 et ses propriétés

>>> Approche

>>> Carré plus que parfait (PQP)

>>> Les six propriétés du carré PQP

>>> Les seize carrés 2x2

>>> Les 6 pandiagonales

>>> Les 8 carrés 3x3

>>> Les 16 dominos

>>> Les triangles rectangles 3x3

>>> Concaténation

Autres carrés d'ordre supérieur

>>> Carré plus que parfait d'ordre 8

>>> Carré plus que parfait d'ordre 12

>>> Quantité et Formule d'Ollerenshaw-Brée

Méthode de construction (principe)

>>> Carré réversible

 

 

 

 

Carrés PLUS QUE PARFAITS

Carrés fortement magiques

Carrés ENCHANTÉS

 

Carrés magiques dont tous les carrés 2x2 produisent la même somme. Alors les pandiagonales, les carrés 3x3, les triangles 3x3 et les concaténations de nombres sont magiques. On se demande ce qui leur manque pout être parfaits.  Il en existe 48 d'ordre 4.

Anglais: Most-perfect magic squares / strongly magic squares

 

 

Carré plus que parfait d'ordre 4 et toutes ses propriétés

 

Approche

 

Ce carré d'ordre 4 est magique: les sommes sur lignes, colonnes et diagonales sont égales à 34 et les nombres dans la grille vont de 1 à 15.

 

Il est aussi enchanté ou plus que parfait: les sommes des quatre nombres dans les sous-carrés 2x2 sont égales à la constante magique 34.


D'autres sommes de quatre nombres sont aussi égales à 34: les quatre coins ou les quatre du centre.

 

 

 

 

Voir Classement de tous les carrés magiques d'ordre 4

 

 

Carré plus que parfait (PQP) – Définition

 

Un carré magique plus que parfait d'ordre n est d'abord un carré magique,

*    formé avec les nombre de 1 à n² et

*    dont la constante magique vaut: m = 2(n² + 1)

 

et, il a deux propriétés supplémentaires:

*    la somme des quatre nombres des sous-carrés 2x2 est égale à la constante magique; et

*    sur les diagonales principales la somme de deux nombres espacés d'une cellule vaut m/2
(Ex: 12 + 5 = 3 + 14).

 

Tous les carrés PQP sont d'ordre n = 4k.

 

 

Carré magique et un exemple de permutation

 

La colonne de gauche du second correspond à la région bas-gauche du premier. Etc.

Ces deux carrés sont plus que parfaits.

 

De nombreuses transformations conservent le carré enchanté.

 

 

 

Les six propriétés fondamentales du carré plus que parfait

De cette définition découlent de nombreuses autres propriétés que nous énonçons et détaillerons ensuite (m est la constante magique):

*    Les 16 carrés 2x2 somment en 34 = m  >>>

*    Les 6 pandiagonales somment en 34 = m  >>>

*    Les 8 sommets des diagonales des carrés 3x3 somment en 17 = m / 2 >>>

*    Les dominos horizontaux comme verticaux somment identiquement, ou complémentairement à 34. >>>

*    Les 4 x 16 triangles rectangles 3x3  somment en 51 = 3/2 m >>>

*    Les nombres de deux colonnes quelconques ou de deux lignes quelconques, concaténés produisent des sommes typiques >>>

 

Rappel: pour tout carré magique d'ordre 4, il possible associer les seize nombres par paires de sorte que le total soit égal  à 34, la moitié de la constante magique. >>>

 

 

Les 16 carrés 2 x 2

 

Utilisons le tapis magique: le carré magique est répété (autre image: imaginez que le carré est enroulé sur une sphère)

 

Prenons le premier carré 2x2 en haut à gauche et a somme des nombres:
12 + 6 + 13 + 3 = 34 = m. La somme est inscrite dans le tableau du bas.

Faisons glisser ce carré vers la droite et vers le bas (avec un tableur, c'est immédiat). Les sommes sont inscrites dans le tableau du bas. En rouge les sommes uniques et en noir les cas redondants.

Ainsi: il existe 16 carrés 2x2 présentant la somme magique.

Notez que cette façon de faire permet de capter automatiquement  la somme des quatre sommets (12 + 1 + 7 + 14) comme un carré 2x2 (encadré en bleu). Le carré central est lui aussi automatiquement balayé grâce à ce procédé.

 

 

 

Dans un carré plus que parfait,  le carré glissant 2x2 (comme celui en bleu) balaye 16 carrés qui somment tous en m, la constante magique.

 

 

Les seize carrés 2x2  explicités

À gauche, les seize sous carrés 2 x 2 et à droite sept autres configurations dont certaines peuvent s'imaginer comme des sous-carrés 2 x 2 à condition d'enrouler le carré  .

         

 

Bilan pour ce carré plus que parfait: quantité de sommes magiques:

Lignes / colonne / diagonales (10) + pandiagonales (2 x 3) + carrés 2x2 (16) => 32.

Notez que les cas : 12 + 6 + 2 + 16 = 36 ne marchent pas.

Remarquez pour les quatre configurations en bas à droite (sommets des sous-carrés 3 x3): la somme des diagonales vaut 17 = m/2.

 

 

 

Les 6 pandiagonales – Carré panmagique

 

 

Pour visualiser les pandiagonales (ou diagonales secondaires), les répliques du carré son juxtaposées comme indiqué.

Les encadrements de couleur montrent une des pandiagonales (8, 2, 9, 15).

Il en existe quatre en descendant et quatre en montant (somme en rouge); les autres sont identiques.

Avec ce carré particulier toutes les pandiagonales produisent une somme identique. Le carré est panmagique.

 

 

 

Dans un carré 4x4, il y a deux diagonales principales (12, 3, 5, 14 et 1, 10, 16, 7) et six pandiagonales:
6, 10, 11, 7 / 15, 8, 2, 9 / 1, 13, 16, 4
12, 8, 5, 9 / 6, 13, 11, 4 / 15, 3, 2, 14

  

 

 

Carrés 3x3 – Somme des sommets

Observation

12 +   5 =   2 + 15 = m/2

  6 + 11 = 16 +   1 = m/2

13 +   4 = 10 +   7 = m/2

  3 + 14 =   8 +   9 = m/2

 

Démonstration: les quatre coins

 

Dans les carrés 2x2, trois coins et un central pour se concentrer dans le triangle supérieur gauche

A1 = m – (A2 + B1 + B2)

A3 = m – (A4 + B3 + B4)

C1 = m – (C2 + D1 + D2)

C3 = m – (C2 + B2 + B3)

La somme des termes à soustraire sont montré par une croix. On y voit: une ligne, une colonne et une diagonale soit une somme de 3m.

 

La somme des quatre coins

A1 + A3 + C1 + C3 = 4 m – 3 m = m = 34

Démonstration: deux à deux

 

Évaluations des quatre sommets en fonctions des équerres indiquées

A1 = 34 – (A2 + B1 + B2)

C3 = 34 – (B2 + B3 + C2)

A3 = 34 – (A2 + B2 + B3)

C1 = 34 – (B1 + B2 + C2)

En observant les termes

A1 + C3 = A3 + C1

 

 

Dominos – Sommes particulières

 

Dominos horizontaux

12 + 6 = 10 + 8 = 2 + 16 = 4 + 14 = 18

15 + 1 = 13 + 3 = 5 + 11 = 7 + 9 = 16 = 34 – 18

 

Dominos verticaux

12 + 13 = 16 + 9 = 15 + 10 = 11 + 14 = 25

2 + 7 = 6 + 3 = 5 + 4 = 1 + 8 = 9 = 34 – 25

 

Démonstration

Dans le rectangle A1C2 en haut à gauche, par exemple:

A1 + A2 + B1 + B2 = m

C1 + C2 + B1 + B2 = m

A1 + A2 = C1 + C2

 

 

 

 

Les dominos jaunes somment en 18 et les bleus en 16, avec 16 + 18 = 34. Même propriété pour les dominos verticaux.

 

 

 

Triangles rectangles

 

La somme des nombres dans les triangles rectangles 3x3 est égale à 3/2 de la somme magique. Il a 4 x 16 configurations.

 

Exemples (un pour chacune des quatre orientations):

       12 +   6 + 15 + 13 +   3 +   2 = 51
     1 + 15 +   6 +   8 + 10 + 11 = 51

         7 +   9 +   4 +   2 + 16 + 13 = 51

      14 +    4 +   9 + 11 +   5 +   8 = 51

 

Explication

Le triangle est composé d'un carré 2x2 (somme 34) et de deux sommets du carré 3x3 (somme 17)

 

 

 

Tous les triangles rectangles 3x3 somment en 51 = 34 + 17

 

 

 

Concaténation

 

Les nombres de deux colonnes sont juxtaposés pour donner de nouveaux nombres.

Exemple avec les colonnes 1 et 2 puis 3 et 4. La somme des nombres obtenue est la même.

Propriété vraie pour toutes les combinaisons pour aboutir à deux sommes différentes seulement.

Suite en amusement décimal

 

 

 

Un autre carré plus que parfait d'ordre 4

Carré magique avec

*       Toutes les pandiagonales sommant en 34;

*       Tous les carrés 2x2 sommant en 34; et

*       Sur les diagonales, toutes les sommes de deux sommets distant de 2 valent 17 (ex: 1 + 16 = 14 + 3 = 11 + 6= 5 + 12 = …

 

 

 

 

 

Autres carrés plus que parfait

Carré plus que parfait d'ordre 8

 

 

 

Ce carré magique est exceptionnel puisque les 64 carrés 2 x 2 somment en 130. 

Les couples en diagonale, séparés de quatre pas, somment en 65 = 8² + 1. Par exemple: 1 + 64 ou encore12 + 53.

Diagonales et pandiagonales montantes et descendantes (2 x 64) somment également en 260. 

 

 

 

 

Varin=ante du carré du haut, les deux carrés 4x4 en jaune sont conservés et les deux autres remaniés.

 

Notez que les quatre nombres de chaque ligne sont conservés: ils ont été simplement inversés (57, 7, 59, 5 devient ( 5, 59, 7, 57).

 

Carré plus que parfait d'ordre 12

 

 

Quantités

Kathleen Ollerenshaw (1912-2014) et David S. Brée donnent une méthode de construction et d'énumération de tous les carrés magiques plus que parfaits. dans leur livre: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration (1998).

Ordre   4: 48

Ordre   8: 368 640

Ordre 12: 2,22953 1010

Ordre 16: 9,32243 1014

Ordre 36: 2,76754 1044

 

Formule d'Ollerenshaw-Brée

Soit n un nombre

Doublement pair (divisible par 4)

p1 = 2 et S1 >1

Sa quantité de diviseurs

Avec

Et

Quantité de carrés magiques plus que parfaits

 

 

 

Construction – Principe

 

Carré réversible et carré plus que parfait

 

Carré nnqui contient les nombres de 0 à n² – 1 (carré dit "mathématique") et tel que:

*       sur les lignes et les colonnes, la somme des extrêmes est égale à la somme de la zone centrale (réversibilité)
Ex: 0 + 12 = 4 + 8 ou 4 + 7 = 5 + 6 …

*       dans tous les rectangles possibles, les deux sommes des sommets opposés sont égales.
Ex: 0 + 5 = 1 + 4 ou 0 + 6 = 2 + 4 ou 4 + 11 = 7 + 8 …

 

Réversible: une colonne et son inversée: les sommes deux à deux sont égales.

0       4     8   12

12     8     4     0

12   12   12   12

 

Kathleen Ollerenshaw et David S. Brée ont montré que tout carré réversible d'ordre 4k peut être transformé, selon une procédure mise au point par eux, en un carré magique plus que parfait; et que tous sont produit par cette procédure.

La construction proposée fait appel à des combinaisons de matrices. Cependant, pour l'ordre 4, il est possible de résumer la procédure comme suit.

 

Pour construire un carré plus que parfait, inverser les deux colonnes de droite

Inverser les deux lignes du bas

En divisant le carré 4x4 en carrés 2x2, et pour chacun:

*       haut-gauche reste en place;

*       bas-gauche avance de 2 positions;

*       bas-droit descend de 2 positions; et

*       haut-droit descend en diagonale de 2 positions vers la droite.

 

La figure du haut montre ces mouvements pour chacun des carrés 2x2, avec la position finale de nombres en rouge. Notez l'effet d'enroulement classique pour loger les nombres qui sortent du cadre.

 

Le carré 4x4 du centre récapitule ces positions et donne un carré magique plus que parfait mathématique (nombres de 0 à 15).

 

Le carré 4x4 du bas est le carré plus que parfait classique (nombres de 1 à 16).

 

 

 

 

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*         Rectangles magiques

Sites

*         Carrés plus que parfait – Wikipédia

*         Most-perfect magic square Wikipedia pour d'autres exemples

*         Strongly Magic SquaresT.V. Padmakumar

*         Most-perfect Magic Squares – Harvey Heinz

*         Most-Perfect Magic Squares – Ian Stewart

*         The Ollerenshaw-Brée Formula – Theorem of the day – Robin Whitty

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