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		Sommaire de cette page >>> Le carré magique 3 x 3 >>> Pourquoi 15 est la somme magique ? >>> Huit sommes égales à 15 >>> Pourquoi 5 au milieu ? >>> Esthétique et symétrie >>> Il existe un seul carré magique 3 x 3

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CARRÉS MAGIQUES

Spécial débutants

Pourquoi le carré magique de 3 x 3 existe-t-il ?

Nous découvrirons

qu'il est unique

que la somme magique est 15

que le chiffre du centre est 5

Mais, est-il si magique que cela ?

Notez bien qu'il existe plus simple que les carrés magiques; ces sont les carrés latins.

Le fameux jeu de Sudoku dérive des ces types de carrés.

LE CARRÉ MAGIQUE 3 X 3
Voici un carré et des lettres. Chaque lettre représente un chiffre de 1 à 9. Le carré est magique si les sommes des chiffres sont égales sur: les lignes, les colonnes, et les diagonales. Ainsi, on doit trouver 8 sommes dans le carré, dont les valeurs sont égales.	Lignes A + B + C = N D + E + F = N G + H + I = N Colonnes A + D + G = N B + E + H = N C + F + I = N Diagonales A + E + I = N C + E + G = N

Voir jeux des cryptogrammes

Pourquoi 15 est la SOMME MAGIQUE ?
Selon notre hypothèse du départ: les lettres A, B, C, D, E, F, G, I correspondent aux chiffres. Bien sûr, on ne sait pas encore quelle lettre correspond à quel chiffre.	A + B + C + D + E + F + G + H + I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
Reprenons les sommes sur les trois lignes.	A + B + C = N D + E + F = N G + H + I = N
Et ajoutons tout cela.	A + B + C + D + E + F + G + H + I = 3N
La somme de toutes les lettres est égale à:	3N
Calculons la somme des chiffres:	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
La somme des lettres est égale à la somme des chiffres.	3N = 45
Et, la valeur de la somme magique est:	N = 15

HUIT SOMMES ÉGALES À 15 …
Nous avons vu que le carré magique de 3 x 3 nécessite 8 sommes de trois chiffres qui donnent 15. Cela tombe bien car 15 peut être découpé en 8 sommes de trois chiffres qui donnent 15. Observons combien de fois chacun des chiffres apparaît dans ces sommes.	1 + 5 + 9 = 15 1 + 6 + 8 = 15 2 + 4 + 9 = 15 2 + 5 + 8 = 15 2 + 6 + 7 = 15 3 + 4 + 8 = 15 3 + 5 + 7 = 15 4 + 5 + 6 = 15 4 fois pour le 5 3 fois pour 2, 4, 6, 8 (pairs) 2 fois pour 1, 3, 5, 7 (impairs)

Pourquoi CINQ au MILIEU ?
La case du centre apparaît 4 fois dans les sommes du carré magique. Seul le 5 répond à cette exigence: E = 5. Un nombre en coin comme le A est présent dans trois sommes; ce sera donc un nombre pair. Un nombre en milieu de côté comme le B est impliqué dans deux sommes; se seront les nombres impairs. Avec ces indications, on trouve facilement la structure du carré: On verra facilement que toutes possibilités pour placer les nombres en périphérie (le 5 est toujours au centre) donnent, en fait, le même carré magique.

Les huit façons de positionner les nombres impairs

Il y a 4 positions pour le 1, le 9 étant en face.

Pour chaque cas, il existe deux manières de placer le couple 3, 7.

Pour placer les nombres pairs en coin, on remarque que la ligne avec 9 impose le couple (2, 4), seule possibilité pour donner 15.

Deux cas possibles, dont un qui conduit à une impossibilité.

Au total, huit façons de construire ce carré magique de 3x3.

Chacun étant une forme permutée des autres.

Le carré magique 3 x 3 est unique, aux permutations près des nombres.

Voir Formule générique des carrés 3 x 3

ESTHÉTIQUE ET SYMÉTRIE
Un autre raison de trouver le 5 au centre: 5 est juste au milieu des chiffres: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Et, on peut trouver des chiffres équidistants de 5: 1 = 5 - 4 et 5 + 4 = 9 2 = 5 - 3 et 5 + 3 = 8 3 = 5 - 2 et 5 + 2 = 7 4 = 5 - 1 et 5 + 1 = 6 Ces chiffres vont donc par paires (1, 9) (2, 8) … et ils forment les extrémités des rayons d'une roue autour du cinq.

Conclusion

Il existe un carré magique 3 x 3, mais un seul. Il est curieux de trouver une correspondance de 8 sommes donnant 15, et un besoin tout juste de 8 sommes pour réaliser le carré magique de 3 x 3. Il est extraordinaire de trouver que les chiffres de 1 à 9 se trouvent le bon nombre de fois dans les sommes de 15, juste ce qui faut pour faire un carré magique de 3 x 3. En fait 15 permet une telle prouesse; et il est le seul. Je vous invite à apprécier cette magie en allant sur la page: Digipartition et carré magique

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