NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

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Carrés magiques

 

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Sommaire de cette page

>>> Le carré magique 3 x 3

>>> Pourquoi 15 est la somme magique ?

>>> Huit sommes égales à 15

>>> Pourquoi 5 au milieu ?

>>> Esthétique et symétrie

>>> Il existe un  seul carré magique 3 x 3

>>> Magie du carré magique

 

 

 

 

CARRÉS MAGIQUES

Spécial débutants / novices

 

 

Pourquoi le carré magique de 3 x 3 existe-t-il ?

Nous découvrirons:

*    qu'il est unique;

*    que la somme magique est 15; et

*    que le chiffre du centre est 5.

Mais, est-il si magique que cela ? Oui !

 

Notez bien qu'il existe plus simple que les carrés magiques; ces sont les carrés latins.

 

Le fameux jeu de Sudoku dérive des ces types de carrés.

 

Anglais: Magic squares for beginners, for dummies (pour les nuls)

 

 

LE CARRÉ MAGIQUE 3 X 3

 

 

*    Voici un carré et des lettres.

*    Chaque lettre représente un chiffre de 1 à 9.

 

 

 

*    Le carré est magique si les sommes des chiffres sont égales sur:

*    les lignes,

*    les colonnes, et

*    les diagonales.

 

*  Ainsi, on doit trouver 8 sommes dans le carré, dont les valeurs sont égales.

 

 

Lignes

A  +  B  +  C  =  N

D  +  E  +  F  =  N

G  +  H  +  I   =  N

Colonnes

A  +  D  +  G  =  N

B  +  E  +  H  =  N

C  +  F  +  I    =  N

Diagonales

A  +  E  +  I    =  N

C  +  E  +  G  =  N

 

Voir Jeux des cryptogrammes / Tous les chiffres de 1 à 9

 

 

Pourquoi 15 est la SOMME MAGIQUE ?

 

*    Selon notre hypothèse du départ: les lettres A, B, C, D, E, F, G, I correspondent aux chiffres.
Bien sûr, on ne sait pas encore quelle lettre correspond à quel chiffre.

A + B + C + D + E + F + G + H + I

=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

 

*    Reprenons les sommes sur les trois lignes.

 

A + B + C = N

D + E + F = N

G + H + I =  N

*    Et ajoutons tout cela.

A + B + C + D + E + F + G + H + I

=  3N

*    La somme de toutes les lettres est égale à:

3N

*    Calculons la somme des chiffres:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 45

*    La somme des lettres est égale à la somme des chiffres.

3N = 45 

*    Et, la valeur de la somme magique est:

N = 15

 

 

 

 

HUIT SOMMES ÉGALES À 15 …

 

*    Nous avons vu que le carré magique de 3 x 3 nécessite 8 sommes de trois chiffres qui donnent 15.

 

*    Cela tombe bien car 15 peut être découpé en 8 sommes de trois chiffres qui donnent 15.

 

 

*    Observons combien de fois chacun des chiffres apparaît  dans ces sommes.

 

 

1 + 5 + 9 = 15

1 + 6 + 8 = 15

2 + 4 + 9 = 15

2 + 5 + 8 = 15

2 + 6 + 7 = 15

3 + 4 + 8 = 15

3 + 5 + 7 = 15

4 + 5 + 6 = 15

 

 

4 fois pour le 5

3 fois pour 2, 4, 6, 8 (pairs)

2 fois pour 1, 3, 5, 7 (impairs)

 

 

 

Pourquoi CINQ au MILIEU ?

 

*    La case du centre apparaît 4 fois dans les sommes du carré magique. Seul le 5 répond à cette exigence: E = 5.

 

*    Un nombre en coin comme le A est présent dans trois sommes; ce sera donc un  nombre pair.

 

*    Un nombre en milieu de côté comme le B est impliqué dans deux sommes; ce sera un nombre impair.

 

*    Avec ces indications, on trouve facilement la structure du carré:

 

*    On vérifiera facilement que toutes les possibilités de placement des nombres en périphérie (le 5 est toujours au centre) donnent, en fait, le même carré magique.

 

 

Les huit façons de positionner les nombres impairs

 

*    Il y a 4 positions pour le 1, le 9 étant en face.

*    Pour chaque cas, il existe deux manières de placer le couple 3, 7.

 

*    Pour placer les nombres pairs en coin, on remarque que la ligne avec 9 impose le couple (2, 4), seule possibilité pour donner 15.

*    Deux cas possibles, dont un qui ne permet pas d'obtenir la somme 15.

 

*    Au total, huit façons de construire ce carré magique de 3x3.

*    Chacun étant une forme permutée des autres.

*    Le carré magique 3 x 3 est unique, aux permutations près des nombres.

 

Voir Formule générique des carrés 3 x 3

 

 

ESTHÉTIQUE ET SYMÉTRIE

 

*    Un autre raison de trouver le 5 au centre: 5 est juste au milieu des chiffres:

1 2 3 4   5   6 7 8 9

 

*    Et, on peut trouver des chiffres équidistants de 5:

1 = 5 – 4 et  5 + 4 = 9

2 = 5 – 3 et  5 + 3 = 8

3 = 5 – 2 et  5 + 2 = 7
4
= 5 – 1 et  5 + 1 = 6

 

*    Ces chiffres vont donc par paires (1, 9) (2, 8) … et ils forment les extrémités des rayons d'une roue autour du cinq.

 

 

Conclusion

 

Il existe un carré magique 3 x 3, mais un seul.

 

*         Il est curieux de trouver une correspondance de 8 sommes donnant 15, et un besoin tout juste de 8 sommes pour réaliser le carré magique de 3 x 3.

 

*         Il est extraordinaire de trouver que les chiffres de 1 à 9 se trouvent le bon nombre de fois dans les sommes de 15, juste ce qui faut pour faire un carré magique de 3 x 3.

 

*         En fait 15 permet une telle prouesse; et il est le seul.

 

*         Je vous invite à apprécier cette magie en allant sur la page:

Digipartition et carré magique

 

 

 

Magie du carré magique

Chaque cellule du milieu est dépliée sur le milieu opposé (en rose). Alors les nombres de 1 à 9 apparaissent sur des diagonales, à la suite les uns des autres (nombres en bleu).

C'est précisément une des méthodes de construction du carré magique.

 

Notez que le nombre 7 prendrait sa place naturellement de l'autre côté si le carré était enroulé en cylindre. Et cela est vrai pour les quatre nombres qui débordent.

Lançons-nous et utilisons cette méthode pour construire notre premier carré magique avec 5 x 5 cases. Les nombres à placer vont de 1 à 25 et la somme magique est 65.

La case centrale est 13 et tous les couples opposés par rapport à cette case centrale donnent une somme égale à 2 x 13 = 26.

Vous pouvez poursuivre avec de carrés n x n pourvu que n soit impair.

 

Les nombres de 1 à 25 sont placés à la suite les uns des autres,  le long des diagonales. Ceux qui débordent sont "enroulés" de l'autre côté.

 

 

 

 

Suite

*    Introduction aux carrés magiques

*    Carré 3 x 3

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